2012年4月全国初中数学联赛试题（一试、二试）答案

2012年全国初中数学联合竞赛试 参考答案 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知 ， ， ，那么 的大小关系是 （ C ） A. B. C. D. 2．方程 的整数解 的组数为 （ B ） A．3. B．4. C．5. D．6. 3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ D ） A． B． C． D． 4．已知实数 满足 ，则 的最小值为 （ B ） A． . B．0. C．1. D． . 5．若方程 的两个不相等的实数根 满足 ，则实数 的所有可能的值之和为 （ B ） A．0. B． . C． . D． . 6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数 （数字可重复使用），要求满足 .这样的四位数共有 （ C ） A．36个. B．40个. C．44个. D．48个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数 满足 ，则 ． 2．使得 是完全平方数的整数 的个数为 1 ． 3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则 ＝ ． 4．已知实数 满足 ， ， ，则 ＝ ． 第二试 （A） 一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为 （ ），则 . 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值. 由 及 得 ，所以 . 由 及 得 ，所以 . 又因为 为整数，所以 . 根据勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，所以 ， 因为 均为整数且 ，所以只可能是 解得 所以，直角三角形的斜边长 ，三角形的外接圆的面积为 . 二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明： . 证明：连接OA，OB，OC. ∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， . 又由切割线定理可得 ，∴ ，∴D、B、C、O四点共圆， ∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ，∴ . 三．（本题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M ，若AM//BC，求抛物线的解析式. 解 易求得点P ，点C . 设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 . 显然， 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，又AB的中点E的坐标为 ，所以AE＝ . 因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 . 又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）. 又因为AM//BC，所以 ，即 . 把 代入解得 （另一解 舍去）. 因此，抛物线的解析式为 . 第二试 （B） 一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解 设直角三角形的三边长分别为 （ ），则 . 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 ，下面先求 的值. 由 及 得 ，所以 . 由 及 得 ，所以 . 又因为 为整数，所以 . 根据勾股定理可得 ，把 代入，化简得 ，所以 ， 因为 均为整数且 ，所以只可能是 或 解得 或 当 时， ，三角形的外接圆的面积为 ； 当 时， ，三角形的外接圆的面积为 . 二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB. 证明：连接OA，OB，OC，BD. ∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得 ， . 又由切割线定理可得 ， ∴ ，∴D、B、C、O四点共圆， ∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC， ∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD， ∴ ， ∴ ，∴ . 又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC， ∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C） 一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线 的顶点为P，与 轴的正半轴交于A 、B （ ）两点，与 轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移 个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式. 解 抛物线的方程即 ，所以点P ，点C . 设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为 . 显然， 是一元二次方程 的两根，所以 ， ，又AB的中点E的坐标为 ，所以AE＝ . 因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得 ，即 ，又易知 ，所以可得 . 又由DA＝DC得 ，即 ，把 代入后可解得 （另一解 舍去）. 将抛物线 向左平移 个单位后，得到的新抛物线为 . 易求得两抛物线的交点为Q . 由∠QBO＝∠OBC可得 ∠QBO＝ ∠OBC. 作QN⊥AB，垂足为N，则N ，又 ，所以 ∠QBO＝ ＝ EMBED Equation.DSMT4 . 又 ∠OBC＝ EMBED Equation.DSMT4 ，所以 . 解得 （另一解 ，舍去）. 因此，抛物线的解析式为 . _1393173353.unknown _1393218729.unknown _1393218899.unknown _1393219163.unknown _1393219538.unknown _1393219780.unknown _1393220332.unknown _1393995689.unknown _1395988955.unknown _1395989044.unknown _1395989074.unknown _1393995700.unknown _1393220628.unknown _1393220774.unknown _1393221069.unknown _1393221131.unknown _1393515897.unknown _1393221114.unknown _1393220858.unknown _1393220715.unknown _1393220612.unknown _1393220624.unknown _1393220388.unknown _1393220029.unknown _1393220185.unknown _1393220214.unknown _1393220290.unknown _1393220199.unknown _1393220091.unknown _1393219901.unknown _1393219998.unknown _1393219644.unknown _1393219723.unknown _1393219687.unknown _1393219347.unknown _1393219421.unknown _1393219447.unknown _1393219272.unknown _1393219207.unknown _1393219236.unknown _1393218974.unknown _1393219110.unknown _1393218947.unknown _1393218794.unknown _1393218845.unknown _1393218769.unknown _1393218563.unknown _1393218606.unknown _1393218497.unknown _1393173581.unknown _1393218250.unknown _1393218316.unknown _1393218391.unknown _1393218408.unknown _1393218371.unknown _1393218286.unknown _1393174350.unknown _1393174590.unknown _1393173623.unknown _1393173489.unknown _1393173528.unknown _1393173378.unknown _1392174353.unknown _1392177354.unknown _1393172938.unknown _1393173311.unknown _1393173332.unknown _1393173344.unknown _1393173320.unknown _1393173289.unknown _1393173300.unknown _1393172968.unknown _1392177632.unknown _1392177823.unknown _1392178033.unknown _1392182052.unknown _1392182278.unknown _1392182337.unknown _1392182399.unknown _1392182097.unknown _1392181941.unknown _1392182019.unknown _1392178034.unknown _1392177931.unknown _1392178031.unknown _1392178032.unknown _1392178030.unknown _1392177879.unknown _1392177700.unknown _1392177739.unknown _1392177510.unknown _1392177553.unknown _1392177373.unknown _1392176279.unknown _1392176354.unknown _1392176415.unknown _1392176491.unknown _1392176711.unknown _1392176467.unknown _1392176408.unknown _1392176334.unknown _1392176345.unknown _1392176315.unknown _1392176251.unknown _1392176266.unknown _1392176190.unknown _1392176219.unknown _1392175572.unknown _1392175552.unknown _1392165508.unknown _1392167943.unknown _1392170379.unknown _1392170974.unknown _1392171740.unknown _1392172810.unknown _1392170938.unknown _1392170341.unknown _1392167975.unknown _1392170325.unknown _1392166573.unknown _1392167266.unknown _1392167295.unknown _1392166635.unknown _1392166502.unknown _1392166554.unknown _1392166262.unknown _1392162534.unknown _1392165401.unknown _1392165464.unknown _1392165495.unknown _1392165414.unknown _1392163467.unknown _1392165384.unknown _1392165296.unknown _1392163134.unknown _1392162400.unknown _1392162483.unknown _1392162494.unknown _1392162435.unknown _1392162185.unknown _1392162376.unknown _1392162164.unknown