有界变差函数

138§5.2有界变差函数教学目的本节介绍有界变差函数的性质.证明有界变差函数的Jordan分解定理.教学要点有界变差函数的概念,变差函数的性质,Jordan分解定理.定义1设f是定义在区间],[ba上的实值函数.对],[ba的任一分割,}{0niixP==其中niix0}{=满足,10bxxxan=<<<="作和式:.)()(),(110∑=−−=niiinfxfxfxxV"称),(0nfxxV"为f关于分割niix0}{=的变差.令)(fVba}.],[},,{:),,(sup{00分割是baxxxxVnnf""=称)(fVba为f在],[ba上的全变差.若,)(+∞<fVba则称f是],[ba上的有界变差函数.],[ba上的有界变差函数的全体记为].,[baV例1区间],[ba上的单调函数是有界变差函数.事实上,不妨设f在],[ba上是单调增加.则对],[ba的任一分割,}{0niix=我们有.).()())()(()()(),(11110afbfxfxfxfxfxxVniiiniiinf−=−=−=∑∑=−=−"因此).()()(afbffVba−=所以∈f].,[baV例2若f在],[ba上满足Lipschitz条件:].,[,,)()(21221baxxxxMxfxfi∈−≤−其中0>M为一常数.则f是],[ba上的有界变差函数.证明对],[ba的任一分割,}{0niix=我们有).()()()(),(1111110abMxxMxxMxfxfxxVniiiniiiniiinf−=−=−≤−=∑∑∑=−=−=−"因此).()(abMfVba−≤所以∈f].,[baV139下面的例子表明连续函数不一定是有界变差函数.例3设=≤<=.00,101sin)(xxxxxf若若则f是]1,0[上的连续函数.但f在]1,0[上不是有界变差函数.事实上,对任意,1≥n作]1,0[的分割niix0}{=使得.1,,1,]2)[(,1,010−=+−===−niinxxxin"ππ则∑∑−==−−+−++−−>−=1211102)(12)1(11sin1sin),(niniiiiinfininxxxxxxVππππ"∑∑−=−=+>−=+++−=2121)1(1)(212)1(1nknkkinkkkπππππ令令∞→n知道.)(+∞=fVba因此f在]1,0[不是有界变差函数.定理2有界变差函数具有如下性质:).i(若∈f,],[baV则f是有界函数.).ii(若∈f,],[baV,1R∈α则∈fα,],[baV并且).()(fVfVbabaαα≤).iii(若∈gf,,],[baV则∈+gf,],[baV并且).()()(gVfVgfVbababa+≤+(1)).iv(若∈gf,,],[baV则∈gf.],[baV).v(若∈f,],[baV则对任意,c,bca<<成立).()()(fVfVfVbccaba+=(2)140证明我们只证明)iii(和)v(,)i(,)ii(和)iv(的证明留作习题.对],[ba的任一分割,}{0niix=我们有∑=−−+−−+=niiiiingfxgxfxgxfxxV1110)()()()(),,(").()()()()()(1111gVfVxgxgxfxfbabaniiiniii+≤−+−≤∑∑=−=−因此gf+是],[ba上的有界变差函数,并且(1)式成立.故)iii(得证.往证)v(成立.对],[ca的任一分割niix0}{=和],[bc的任一分割,}{0miix=′将它们合并后得到],[ba的一个分割.00bxxcxxamn=′<<′==<<=""我们有).(),,()()()()(),,(),,(0111100fVxxVxfxfxfxfxxVxxVbamfmiiiniiimfnf≤′=′−′++−=′′+∑∑=−=−"""分别对],[ca的分割和],[bc的分割取上确界得到).()()(fVfVfVbabcca≤+(3)另一方面,对任意,0>ε存在],[ba的一个分割,}{0niix=使得.)(),,(0ε−>fVxxVbanf"设.1kkxcx≤<−则},,,,{110cxxxk−"和},,,{nkxxc"分别是],[ca和],[bc的分割.注意到在niix0}{=中增加一个分点c后,f关于新的分割的变差不会减小.因此我们有).()(),,,(),,,(),,,,,,(),,()(10100fVfVxxcVcxxVxxcxxVxxVfVbccankfkfnkkfnfba+≤+=≤<−−−"""""ε由0>ε的任意性得到).()()(fVfVfVbccaba+≤(4)综合(3),(4)两式得到(2)式.因此结论)v(得证.■设f是],[ba上的有界变差函数.则对任意],,[bax∈由定理2)v(知道f也是],[xa上的有界变差函数.因此)(fVxa是],[ba上的实值函数,称之为f的变差函数.由定理1412)v(容易知道)(fVxa是单调增加的.定理3(Jordan分解定理)f是],[ba上的有界变差函数当且仅当f可以表成,hgf−=其中g和h是],[ba上的单调增加的实值函数.证明由例1和定理2,充分性是显然的.必要性.设f是],[ba上的有界变差函数.令)),()((21)(xffVxgxa+=)).()((21)(xffVxhxa−=(5)则.hgf−=当12xx>时,利用定理2)v(,我们有).()()(),()()(12212121fVfVfVxxVxfxfxaxaxxf−=≤≤−因此).()()()(2121xffVxffVxaxa+≤+这表明).()(21xgxg≤即g是单调增加的.类似可证h也是单调增加的.■推论4设f是],[ba上的有界变差函数.则(1)f的不连续点的全体至多是一可数集.(2)f在],[ba上是Riemann可积的.(3)f在],[ba上几乎处处可导并且f′是Lebesgue可积的.证明由§5.1单调函数的相应性质直接可得.由定理3,每个有界变差函数可以分解成两个单调增加函数之差.但这种分解显然不是唯一的.例如,若hgf−=是一个这样的分解,则对任意常数c,)()(chcgf+−+=也是f的一个分解.为避免这种不唯一性,我们令)),()()((21)(afxffVxpxa−+=)).()()((21)(afxffVxnxa+−=则)(xp和)(xn都是单调增加的,并且满足).()()()(xnxpafxf−=−(6)).()()(xnxpfVxa+=我们称(6)式为f的分解.分别称)(xp和)(xn为f的正变差函数和负变差函数.定理5设f是],[ba上的有界变差函数.则)(fVxa在],[ba上是右连续的(或左连续的)当且仅当f在],[ba上是右连续的(相应地,左连续的).证明我们只证右连续的情形.左连续的情形证明是类似的.必要性.设)(fVxa在],[ba上是右连续的,).,[0bax∈则对任意,0bxx≤<利用定理2)v(,我们有142).()()(),()()(0000fVfVfVxxVxfxfxaxaxxf−=≤=−由此知道f在0x点是右连续的.充分性.设f在],[ba上是右连续的,).,[0bax∈对任意,0>ε存在,0>δ使得当),(00δ+∈xxx时,.)()(0ε<−xfxf取区间],[00δ+xx的一个分割,0100δ+=<<<=xtttxn"使得.)()()(0011εδ−>−+=−∑fVtftfxxniii(7)由于niit1}{=是区间],[01δ+xt的一个分割,因此).()()(0121fVtftfxtniiiδ+=−≤−∑(8)利用(7),(8)两式,我们有.2)()()()()()()()()(012111010010εεεδδ<−+=−−+−<−=∑∑=−=−++tftftftftftffVfVfVniiiniiixtxxtx于是当],[10txx∈时,.2)()()()(1000ε<≤=−fVfVfVfVtxxxxaxa因此)(fVxa在0x点是右连续的.■小结有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数.它们可以表为两个单调增加的函数之差.与单调函数一样,有界变差函数几乎处处可导并且Lebesgue可积.与单调函数不同,有界变差函数类对线性运算是封闭的.这在分析中具有重要意义.习题习题五,第4题—第14题.