6.数学名题与文化

null第六讲 数学猜想与数学名题第六讲 数学猜想与数学名题希尔伯特和他的23个问题 费马大定理 哥德巴赫猜想 四色猜想 新世纪的数学难题一、 希尔伯特的23个问题一、 希尔伯特的23个问题 希尔伯特（Hilbert，【德】，1862—1943年）是19世纪末、20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出23个问题功勋卓著、影响深远。 那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上，年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著名讲演。他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。nullnull 在世纪之交提出的这23个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推动作用。希尔伯特的23个问题希尔伯特的23个问题1. 证明“连续统假设”，即证明“可数基数” 与“连续统基数”之间不存在任何基数。 （1938年，哥德尔证明了连续统假设和策梅洛--弗伦克尔集合论ZFC公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和ZFC公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在ZFC公理体系内证明其正确性与否。 ） 2. 研究算术公理的相容性。(S) 3.两个等底等高的四面体的体积相等。(S) (问题的意思是，存在两个等底等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。) 4.直线作为两点间最短距离的问题。（P） 此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。 《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。 null5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。(S) 6.物理学的公理化。(P) 7.某些数的无理性和超越性。(P) 8.素数问题。(P) 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。(S) 10.丢番图方程的可解性。(F) 11.系数为任意代数数的二次型。(P)null12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。(P) 13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。(W) 14.证明某类完全函数系的有限性。(F) 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基 础。(W) 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。(P,W)null17.正定形式的平方和表示。(S) 18.用全等多面体构造空间。(P) 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？(P) 20.一般边值问题。(P) 21.具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。(S) 22.通过自守函数使解析关系单值化。(P) 23.变分法的进一步发展。(P)适当的问题对科学发展的价值适当的问题对科学发展的价值 1． 有问题的学科才有生命力 问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。 数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽罗瓦理论；代数不变量理论。2． 提出问题是解决问题的一半2． 提出问题是解决问题的一半■问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的 ■要想预先判断一个问题的价值是困难的。问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。 ■只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出有较大价值的“好的问题” 。 3． “好的问题”的 3． “好的问题”的标准希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。 1）清晰易懂: “一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。” 2）难而又可解决 3）对学科发展有重大推动意义 问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。 判断一个数学问题是否是好的，其标准就是看它能否产生新的 数学，而不是问题本身----Wiles “好的问题” 举例“好的问题” 举例费马大定理 三体问题 （Hilbert 在提出23个问题时指出的好问题的2个典范，在整整一百年后回顾，这两个问题对于二十世纪数学的整体发展所起的作用恐怕要比希尔伯特提出的23个问题中任何一个都大。 ） 五次方程根式解 最速降线问题 三体问题 三体问题 N体问题：在三维空间中给定N个质点，如果在它们之间只有万有引力的作用，那么在给定它们的初始位置和速度的条件下，它们会怎样在空间中运动。（会碰撞吗？） 三体问题最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。在浩瀚的宇宙中，星球的大小可以忽略不记，所以我们可以把它们看成质点。如果不计太阳系其他星球的影响，那么它们的运动就只是在引力的作用下产生的，所以我们就可以把它们的运动看成一个三体问题。 可积与近可积系统可积与近可积系统一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，目前还只能得到三体问题的10个初积分，因此还远不能解决三体问题。 由于三体问题不能严格求解，在研究天体运动时，都只能采用各种近似的解法。 方法大致可分为3类：第一类是分析方法，其基本原理是把天体的坐标和速度展开为时间或其他小参数的级数形式的近似分析表达式，从而讨论天体的坐标或轨道要素随时间的变化；第二类是定性方法，采用微分方程的定性理论来研究长时间内三体运动的宏观规律和全局性质；第三类是数值方法，得出天体在某些时刻的具体位置和速度。这三类方法各有利弊，对新积分的探索和各类方法的改进是研究三体问题中很重要的课题。 “希尔伯特问题”解决的现状“希尔伯特问题”解决的现状 经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。 能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。null 希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。 第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。 史无前例史无前例解决著名猜想的人很牛！ 提出这些猜想的人更牛！ 如此集中地提出一批猜想，并持久地影响了一门学科的发展，史无前例！千禧年难题千禧年难题 在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题----新世纪的数学难题 。但由于20世纪数学的分支越来越细，已没人能像当年的Hilbert那样涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数学家小组。 七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24日公布的数学难题，称为千禧难题。 但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题，而不是要去指导数学。 null 当然，希尔伯特当年所提的问题也不是尽善尽美的。其局限性是，希尔伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这两者在20世纪也成了数学的前沿和热点， 这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数学。 希尔伯特其人希尔伯特其人 希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德；令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的人品。1．第一次世界大战时拒绝在“宣言”上签字1．第一次世界大战时拒绝在“宣言”上签字 在第一次世界大战爆发时，德国政府让它的一批最著名的科学家和艺术家出来发表一个“宣言”，声明他们拥护德国皇帝威廉二世。 “宣言”的题目是《告文明世界》。 “宣言”的第一句是：“说德国人发动了战争，这不是事实”。 拒绝签字拒绝签字 数学家中只邀请了世界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签名。 克莱因的主要贡献是发表埃尔朗根纲领、用不变量观点统一几何学。 他未有什么怀疑就签了名。 但希尔伯特仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言”内容的真实性，从而拒绝签字。null 在宣言上签字的，除了克莱因，还有德国的另一些著名的科学家，如普朗克，伦琴等。 这份1914年10月15日发表的“宣言”，使文明世界震惊：那些素来受人尊敬的科学家们怎么会同意在这样一份欺骗文明世界的“宣言”上签字？null 希尔伯特拒绝签字，也特别引人注目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当1914年11月开学时，许多学生不再来听希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同行理解和同情他。 克莱因也很快就后悔自己的所谓“爱国”行动。 当时世界上最著名的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特则更加受到尊重。2．为法国数学家达布写悼念文章2．为法国数学家达布写悼念文章 “达布上和”、“达布下和”，在定积分理论中为大家所熟知。 达布是法国人，而当时法国是与德国交战的敌国。所以1917年达布逝世时，德国人不敢悼念他。而希尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇悼念文章。null 文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家”的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。希尔伯特一生只写过四篇悼念文章，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造 语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。苹果树下散步者苹果树下散步者希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接下来的一个学期，本来可以允许他再转到柏林去听课，但他恋家，于是他又回到了哥尼斯堡大学． 1882年春天，赫尔曼•闵可夫斯基从柏林学习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大学．闵可夫斯基从小就数学才能出众，据说有一次上数学课，老师因把问题理解错了而“挂了黑板”，同学们异口同声叫道：“闽可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时，他因为出色的数学工作曾得到过一笔奖金．这件事轰动了整个哥尼斯堡．希尔伯特的父亲因此曾告诫自己的儿子不要冒冒失失地去和“这样知名的人”交朋友．但由于对数学的热爱和共同的信念，希尔伯特和比他小两岁的闵可夫斯基很快成了好朋友．null1884年春天， 25岁的阿道夫•赫尔维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，他在函数论方面已有出色的研究成果．希尔伯特和闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系．三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果树下散步． 希尔伯特回忆道： “日复一日的散步中，我们 全都埋头讨论当前数学的实 际问题；相互交换对问题新 近题新近获得的理解， 彼此的想法和研究．”　 例行的散步例行的散步在他们三人中，赫维尔茨有着“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以理所当然的是带头人。但后来者居上。当时希尔伯特发现，这种学习方法比钻在教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍！这种例行的散步一直持续了整整八年半之久．以有趣的学习方式，他们探索了数学的“每一个角落”，考察着数学世界的每一个王国。 希尔伯特回忆：“那时从没有想到竟会把自己带到那么远！”三个人就这样“结成了终身的友谊．” 3．对康托集合论的支持 3．对康托集合论的支持 康托的集合论打出实无限的旗帜，遭到另一些持潜无限观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给予支持，这表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。二、费马（Fermat）大定理二、费马（Fermat）大定理费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图的《算术》时作为一条页边批注而提出来的。 1670年费马之子连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最著名的数学问题，历代数学家为它的证明付出了巨大努力. 1994年,这一旷世难题终被英国数学家 A.Wi1es解决。 旷日持久的努力，不仅解决了猜想本身，更是有力地推动了数论乃至整个数学的进步。业余数学家之王业余数学家之王费马(Fermat,1601—1665),法国人，职业是议员。他非常喜欢数学，常常利用业余时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被人称為“业余数学家之王” 费马凭借丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想。费马小猜想 费马小猜想 1640年，费马在研究质数性质时，发现了一个有趣的现象： 当n=1时，22n+1=221+1=5； 当n=2时，22n+1=222+1=17； 当n=3时，22n+1=223+1=257； 当n=4时，22n+1=224+1=65537； 猜测：只要n是自然数， 22n+1一定是质数 1732年，欧拉否定了此猜想！ 费马小定理 费马小定理 如果P是一个质数，那么对于任何自然数n，nP-n一定能够被P整除. 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为“费马小定理”. 利用费马小定理，是目前最有效的鉴定质数的方法 .nullPierre de Fermat 1601-1665nullnullCubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere;Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。nullxn + yn = zn, (n > 2) 无整数解 （1637年）这是真的 （1994年）费马大定理产生的历史性背景 费马大定理产生的历史性背景 费马大定理，起源于两千多年前，挑战人类三个多世纪，多次震惊全世界，耗尽人类最杰出大脑的精力，也让千千万万业余者痴迷 古希腊,丢番图《算术》第II卷第八命题： “将一个平方数分为两个平方数” 即求方程x2 + y2 = z2 的正整数解 nullPythagoras of Samos B. C. 572 – B. C. 497毕达哥拉斯定理： 在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。x2 + y2 = z2 万物皆数null上帝恩赐他生命的1/6为童年；再过生命的1/12，他双颊长出了胡子；再过1/7后他举行了婚礼；婚后5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，4年之后亦撒手人寰。—丢番图的墓志铭L = 84Diophantus of Alexandria B.C150-A.D.364不定方程: 是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。 null（1）为什么费马猜想叫做费马定理呢？ 因为费马曾经提出过的命题，都已经被证实或否定，只剩下这一题，未能获证。 因为经过三百多年，都没有人能作出反例，所以人们相信是它是正确的，是一个定理。（2）费马提出这命题后三十年才去世，为什么会把这个命题叫做“费马最后定理”呢？ 两个问题 n = 4的证明n = 4的证明费马在给朋友的信中，曾经提及他已证明了 n = 4 的情况。但没有写出详细的证明步骤 1674 年，贝西在少量提示下，给出这个情形的证明 证明步骤主要使用了“无穷递降法”再进一步再进一步欧拉1770年提出n=3的证明 xn + yn = zn ， 当n=3, 4时无整数解nullLeonhard Euler, 1707-1783欧拉的策略： 证明某结论对于简单情形成立，再证明任何使情形复杂化的操作都将继续保持该结论的正确性。null 若xk + yk = zk 无正整数解， 则xmk + ymk = zmk 也无正整数解。 为证明费马大定理对n 的一切值成立，我们仅仅需要证明它在n 取素数值时成立。 数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的“原子”。素数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个素数相乘而得。n = 5 的证明n = 5 的证明勒让德 Legendre (1752 - 1833)狄利克雷 Dirichlet (1805 - 1859)法国人 1823 年，证明了 n = 5德国人 1828 年，独立证明了 n = 5 1832 年，解决了 n = 14 的情况null索非▪热尔曼,法国数学家 热尔曼素数：使2p + 1 为素数的那些素数p 热尔曼定理：当p和2p+1皆为素数时xp + yp = zp无整数解 热尔曼初步完成了 n = 5的证明新的方向Sophie Germain 1770-1831n = 7 的证明n = 7 的证明拉梅 Gabriel Lamé (1795 - 1870)法国人 1839年，证明了n = 7null3月1日，拉梅宣布他已证明了“费马最后定理”： 拉梅将x n+y n分解成(x+y)(x+ y)(x+2y)…(x+n-1y)其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程 r n=1的复根 如果x n+y n=z n ，那么拉梅认为每一个 (x+k y)都会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾但是，拉梅的好友刘维尔Liouville指出，拉梅的证明中有很大的漏洞拉梅忽略了“唯一分解定理”的考虑null同时，柯西（Cauchy）亦宣布他早已取得“费马最后定理”的初步证明3月22日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证明。不过，对于“唯一分解定理”的问题，二人都未能成功地解决。 5月24日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指出“唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示，拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。“唯一分解定理”“唯一分解定理”在一般的整数中，每一个合成数都只可能被分解成一种“质因数连乘式” 但在某些“复整数”中，情况未必相同 例如：突破性的进展突破性的进展Ernst Kummer 1810-1893 德国数学家E·库莫尔1847年他证明了对于小于100的除了37，59和67这三个所谓非正则素数以外，费马大定理成立。为了重建唯一分解定理，库默尔在1844-1847年间创立了理想数理论。1857 年，库麦尔获巴黎科学院颁发奖金三千法郎悬赏十万马克悬赏十万马克德国的沃尔夫斯克勒 Wolfskehl (1856 - 1908)订立遗嘱，悬赏十万马克，奖赏在他死后一百年内能证明“费马最后定理”的人在最后时刻挽救自杀 德国商人，学习医学， 1883 年跟库麦尔学习nullDavid Hilbert, 1862-1943 “费马猜想是一只会下金蛋的鸡”。 “证明这种不可能性的尝试，提供了一个明显的例子，说明这样一个非常特殊、似乎不十分重要的问题会对科学产生怎样令人鼓舞的影响”。 无数英雄尽折腰无数英雄尽折腰1941年，雷麦证明 当n〈 253747887时 ，“费马最后定理”的第一种情况成立。 1977年，瓦格斯塔夫证明 当 n < 125000 时，“费马最后定理”成立。 无数英雄尽折腰无数英雄尽折腰1983年德国数学家G.法尔廷斯证明： 对于每一个大于2的指数n，方程xn+yn=zn 至多有有限多个解。 赢得1986年的菲尔兹奖 1988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分几何的角度，证明了“费马最后定理”！ 不过，该证明后来被发现有重大而无法补救的缺陷，证明不成立！ nullRobert Langlands 1936.10.06 -“朗兰兹纲领”，是美国数学家罗伯特·朗兰兹在20世纪70年代提出的。“朗兰兹纲领”是对数论领域中重大难题的一个系统研究计划和纲领。 null 朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题之间存在着的统一的连接的环链。 在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。费马大定理的解决费马大定理的解决 费马大定理被彻底征服的途径涉及到的领域出乎所有前人的意外，最后的攻坚路线跟费马本人、欧拉和库莫尔等人的完全不同，他是现代数学诸多分支(椭圆曲线论、模形式理论、伽罗华表示理论等等)综合发挥作用的结果。其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论。 谷山—志村猜想谷山—志村猜想谷山 丰 (1927 - 1958)志村五郎（生于1926）谷山—志村猜想谷山—志村猜想1954 年，志村五郎于东京大学结识谷山丰。 之后，就开始了二人对“模形式”的研究。 1955 年，谷山开始提出他的惊人猜想。 1958 年，谷山突然自杀身亡。 其后，志村继续谷山的研究，并提出以下猜想： 谷山—志村猜想 每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。“模形式”的起源“模形式”的起源庞加莱 Poincaré (1854 - 1912) 所谓“自守函数”，就是周期函数的推广，而“模形式”可以理解为在复平面上的某种周期函数发明“自守函数”null起初，大多数数学家都不相信“谷山志村猜想” 60 年代后期，众多数学家反复地检验该猜想，既未能证实，亦未能否定它。 到了 70 年代，相信“谷山志村猜想”的人越来越多，甚至以假定“谷山志村猜想”成立的前提下进行论证。null“谷山志村猜想”与“费马定理”的关系德国数学家弗赖（Gerhand Frey）弗赖曲线（ 猜想）1984 年秋，弗赖提出以下的观点：如果“费马最后定理”不成立，那么“谷山志村猜想”也是错的！null费马最后定理弗赖曲线谷山志村猜想错假如错null 再换句话说，如果“谷山志村猜想”正确，那么“费马最后定理”就必定成立！ 可惜的是弗赖在1984年的证明中出现了错误，他的结果未获承认。 因此只能称之为“猜想”null 美国数学家里贝特经过多番尝试后，终于在 1986 年的夏天成功地证得以下结果： 如果“谷山志村猜想”对每一个半稳定椭圆曲线都成立，则费马最后定理成立。里贝特 （Kenneth Ribet）null 里贝特的工作使得费马大定理不可摆脱地与谷山--志村猜想联结在了一起三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。现在，重新回到台前。 17世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题结合在了一起，一个在历史上和感情上极为重要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结在了一起。 怀尔斯 Andrew Wiles怀尔斯 Andrew Wiles英国人，出生于 1953 年10 岁已立志要证明“费马最后定理” 1975 年，开始在剑桥大学进行研究，专攻椭圆曲线及岩泽理论 在取得博士学位后，就转到美国的普林斯顿大学继续研究工作秘密计算秘密计算1986 年，当里贝特提出 猜想后，怀尔斯就决心要证明“谷山志村猜想”由於不想被别人骚扰，怀尔斯决定秘密地进行此证明 经过三年的努力，他开始引入“伽罗瓦表示论”来处理将“椭圆曲线”的分类问题null费马最后定理谷山志村猜想椭圆曲线可模形化=?到了1991年，怀尔斯发觉无法以「水平岩泽理论」完成「类数公式」的计算在一个数学会议中，他得到了一个新的计算方法。null费马最后定理谷山志村猜想椭圆曲线可模形化=怀尔斯将此方法改造后，成功地解决了有关问题剑桥演讲剑桥演讲1993年6月23日，在剑桥大学的牛顿研究所，怀尔斯以“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦表示论”为题，发表了他对“谷山志村猜想”（即“费马最后定理”）的证明演讲非常成功，“费马最后定理”已被证实的消息，很快便传遍世界噩梦开始！噩梦开始！演讲会过后，怀尔斯将长达二百多页的证明送给数论专家审阅 起初，只发现稿件中的有些细微的打印错误 但是同年 9 月，证明被发现出现了问题，尤其是“科利瓦金—弗莱契方法”，并未能对所有情况生效！ 怀尔斯以为此问题很快便可以修正过来，但结果都失败！ 怀尔斯已失败的传闻，不径而走。同年 12 月，怀尔斯发出了以下的一份电子邮件：null标题：费马状况 日期：1993年12月4日 　　对于我在谷山志村猜想和费马最后定理方面的种种推测，我要作一个简短的说明。在审查过程中，我们发现了许多问题，其中大部分已经解决，只剩一个问题仍然存在……。我相信不久后，我就能用在剑桥演讲中说明的概念解决它。基于尚有许多工作未能完成，所以目前不适宜发送预印本。……我将对这工作给出一个详细的说明。 安德鲁.怀尔斯再次闭关再次闭关1994 年 1 月，怀尔斯重新研究他的证明。但到了同年 9 月，依然没有任何进展。 其间，不断有数学家要求怀尔斯公开他的计算方法。 更有人怀疑：既然过去都无法证明“费马最后定理”，到底现在又能否证实“谷山志村猜想”呢？ 但在 9 月 19 日的早上，当怀尔斯打算放弃并作最后一次检视“科利瓦金—弗莱契方法”时，……null费马最后定理谷山志村猜想椭圆曲线可模形化=成功！怀尔斯发现，只要配合使用“岩泽理论”，就可以解决目前的问题！经过八年的努力，怀尔斯终于证实了“谷山志村猜想”和“费马最后定理”！最后胜利最后胜利1995年5月，怀尔斯长一百页的证明，在杂志《数学年鉴》中发表null 1996年怀尔斯获，美国国家科学院奖，菲尔兹特别奖 1997年怀尔斯获得沃尔夫斯克勒10万马克悬赏大奖nullnull费马大定理只是千千万万个丢番图方程中的一个，其它许许多多丢番图问题并未解决，或者并没有彻底解决，而这些方程仍将成为数学继续前进的动力.费马大定理引出的代数数论已经成为一门独立的前沿学科，它经历过代数数理论、类域论、局部理论、非阿贝尔理论，现在已汇入伟大的朗兰兹纲领的框架之中，与许多学科，如代数K理论，群表示等密切相关。另外，它的一些原始问题如类数的计算仍是令人头痛的事。 null代数数论与代数几何已密不可分，特别是韦依猜想证明之后，这种关系越发密切，有一些统一的猜想，如贝林森猜想等正等待大手笔的解决。 代数曲线论仍有一些遗留问题，特别是椭圆曲线的三大猜想仍然迫在眉睫，但人们已经开始向代数曲线进军了。代数曲面问题很难，但是这条路肯定要走。 三、哥德巴赫（Goldbach）猜想三、哥德巴赫（Goldbach）猜想数学是自然科学的皇后； 数论是皇后的皇冠； “哥德巴赫猜想”则是皇冠上的明珠！中国数学家做出了最好的成绩；华罗庚， 陈景润、王元、潘承洞….. 徐迟与《哥德巴赫猜想》徐迟与《哥德巴赫猜想》1978年，徐迟在《人民文学》第1期发表报告文学 《哥德巴赫猜想》，报告着科学的春天的到来！ 1978年“全国科学大会“召开 在即，从文化大革命对知识的藐视、对知识分子的摧残到逐渐地重视知识和人才（恢复高考），《哥德巴赫猜想》写出了知识分子的心声，所以在全国范围内，特别是知识界、教育界和学术界引起强烈反响。 普通老百姓都会说到“1+1”，“1+2”，尽管他们并不知道其真正含义。 无数民间人士梦想成为陈景润第二。直到今天，在中文互联网上几乎每一个科学探索论坛都可以见到这些被戏称为“哥德巴赫猜想家”的人几年如一日孜孜不倦推销其证明的盛况。 null华罗庚，陈景润王 元 陈景润 潘承洞邓小平接见陈景润华罗庚， 潘承洞Goldbach(德国数学家，1690-1764)Goldbach(德国数学家，1690-1764)1725定居俄罗斯，圣彼得堡帝国科学院院士，1728年，彼得二世的宫廷教师。 1742年在与好友欧拉的通信中提出了两个有关正整数和素数的命题； 其中，第二个问题很容易由第一个推得。而第一个问题就是著名的哥德巴赫猜想！1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；1+1 2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。 1.每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；1+1 2.每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。 歌德巴赫的两个问题： 叙述如此简单，连小学生都能明白，但至今没有完全解决，最好的结果1+2属于陈景润！验证: 验证: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等， 直到330 000 000的偶数都对，但欧拉等人也都无法证明！ Hilbert 23个问题的第8个1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛法证明，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为（9+9）。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛法证明，得出了一个结论：每一个比较大的偶数都可以表示为（9+9）。 布朗筛法的思路是这样的： 任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数。2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n =1+(2n-1) =2+(2n-2) =3+(2n-3) =… =n+n 布朗筛法的思路是这样的： 任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数。2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n =1+(2n-1) =2+(2n-2) =3+(2n-3) =… =n+n再筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，并且p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。筛法筛法这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。 在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15” 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1920年，挪威的布朗证明了“9 + 9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15” 1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。 1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。 1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。 1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。 1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”， 中国的王元证明了“1 + 4”。 1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “1+2 ”。 陈景润的工作发表时，英国数学家哈伯斯坦和德国数学家黎希特的著作《筛法》正在印刷厂校印，他们立即暂停付印，并在书里把陈景润的结果写为第十一章：陈氏定理，并荣誉之为筛法的顶峰！《哥德巴赫猜想》走进了千家万户！《哥德巴赫猜想》走进了千家万户！陈景润的成就伴随徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》走入了1978年科学的春天，走进了千家万户！ 陈景润成了家喻户晓的明星，成了科学家和年轻人攀登科学高峰的楷模！nullnull 北京解放军309医院 被称为“痴人”和“怪人”的数字家陈景润有了一个温暖的家。 null 1984年4月27日，陈景润在横过马路时，被一辆急驶而来的自行车撞倒，后脑着地，酿成意外的重伤。雪上加霜，身体本来就不大好的陈景润，受到了几乎致命的创伤。他从医院里出来，苍白的脸上，有时泛着让人忧郁的青灰色，不久，终于诱发了帕金森氏综合症。 null 1996年3月19日，著名数学家陈景润因病长期住院，经抢救无效逝世，终年63岁。 哥德巴赫猜想有什么用？哥德巴赫猜想有什么用？由于哥德巴赫猜想通常被简写为“1+1”，这就让相当多的人误以为它要证明的是1+1=2，就未免让人疑惑证明它有什么用。 徐迟在其报告文学中回答说：“大凡科学成就有这样两种：一种是经济价值明显，可以用多少万，多少亿来精确地计算出价值来的，叫做‘有价之宝’;另一种成就是在宏观世界、微观世界、宇宙天体、基本粒子、经济建设、国防科研、自然科学、辩证唯物主义哲学等等等等之中有这种那种作用，其经济价值无从估计，无法估计，没有数字可能计算的，叫做‘无价之宝’。哥德巴赫猜想有什么用？哥德巴赫猜想有什么用？“陈氏定理”号称无价之宝，听上去怪吓人的，但是究竟有什么用，仍然是语焉不详。于是就有人对这个“无价之宝”展开了更具体的科学幻想。美国航天飞机试飞成功时，有人说，陈景润的证明被美国人用来制造航天飞机了，可惜咱中国人反倒不知道怎么用。 这当然只是幻想。皇冠上的明珠之美皇冠上的明珠之美数论属于所谓纯数学，而纯数学是不考虑是否有实际用途的。在一些数学家(例如英国大数学家哈代〔G.H.Hardy,1877-1947〕)看来，纯数学才是真正的数学，就像绘画和诗歌，有着永恒的美，而应用数学则是丑陋和无趣的。哈代是20世纪上半叶最重要的数学家之一，也是华罗庚在剑桥大学留学时的导师。 常人能够欣赏绘画、诗歌和大自然之美，却难以理解数学之美。 徐迟：“这些是人类思维的花朵。这些是空谷幽兰、高寒杜鹃、老林中的人参、冰山上的雪莲、绝顶上的灵芝、抽象思维的牡丹。” 纯数学总有一天也会有用纯数学总有一天也会有用有的数学家认为纯数学总有一天也会有用。 作为意识形态的数学总是超越社会存在而走在前头： 非欧几何的创始人之一、俄国数学家罗巴切夫斯基曾经说过：“没有哪个数学分支有一天会不被用于解决现实世界的问题，不管它是多么抽象。” 1992年俄罗斯中央银行发行纪念币纪念罗巴切夫斯基诞辰200周年。在当时非欧几何还只是抽象的数学游戏，后来却被爱因斯坦用在了广义相对论，所以罗巴切夫斯基的预言至少在其开创的领域应验了！纯数学总有一天也会有用纯数学总有一天也会有用早在300多年前数理逻辑就为当今计算机准备好了理论基础； 20世纪最伟大的相对论，其数学基础是19世纪的黎曼几何； 杨振宁场出现之前5年，陈省身的纤维丛理论就已经为它铺好了温床； 拓扑学过去认为用处不大，现在电路分析上少不了它； 群论空洞而抽象，一直没有用处，现在在结晶学上却离不开； 素数是纯之又纯的东西，已经成为密码学里的主力军，关系到国家的安全。这就是数学的信念！这就是数学的信念！但是，人类社会往往会从一个极端而走向另一个极端。由极端的追求精神需要到极端的物质追求，在追求精神建设的时候忽略了经济的发展，在发展经济的时候忽略了精神的建设，直至出现了许多问题的时候才有所警醒。 当今的消费主义，享乐观念的坏境下，金钱成了衡量一切的标准。文学，科学，知识的边缘化。人们价值观念缺失。 数学总是以青春的热情来欢迎时代的每一种进步，并以为自己有责任来推动这种变革。 涉深水者得蛟龙，渡远洋者见奇珍，这就是数学的信念！ 四、四色问题 四、四色问题 四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。 但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。null 德•摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。 null但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地图着色》的文章,才引起了更大的注意。 null1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上发表论文，宣布证明了“四色猜想”。 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。 null一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要,重要的是它们的相互位置。 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。 合理的退让——不得已而求其次 加强命题的条件， 或者减弱命题的结论合理的退让——不得已而求其次 加强命题的条件， 或者减弱命题的结论希伍德证明了“五色定理” 一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究,获得了一系列成果。null1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地图,四色猜想是正确的。 1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以用四种颜色着色。 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。 四色问题的解决四色问题的解决直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证明了四色猜想。 null这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。 拓展了人们对“证明”的理解拓展了人们对“证明”的理解由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对“证明”的思考。五、千禧年大奖难题五、千禧年大奖难题千禧年大奖难题(Millennium Prize Problems), 又称世界七大数学难题， 是七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24日公布的数学难题。 根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证。 只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金1,000,000美元。 这些难题是呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年大奖难题的破解，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。 七大数学难题七大数学难题庞加莱猜想； 黎曼猜想；戴尔猜想；纳维-斯托克斯方程求解；  杨-米尔斯场问题； 霍奇猜想；  P对NP问题。     “七大世纪数学难题”之一的庞加莱猜想，近日被科学家完全破解。 丘成桐曾在国内宣称：中国科学家完成“最后封顶”工作——中山大学朱熹平教授和旅美数学家、清华大学讲席教授曹怀东以一篇长达300多页的论文，给出了庞加莱猜想的完全证明。庞加莱猜想 庞加莱猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 生下来就是为了证明天才的存在生下来就是为了证明天才的存在　一位数学史家曾经如此形容庞加莱:“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其中的一个。 高维庞加莱猜想高维庞加莱猜想1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。 但1905年发现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。 早期的证明早期的证明20世纪30年代以前，庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然，英国数学家怀特海（Whitehead）对这个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明，但不久就撤回了论文，失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中，他发现了三维流形的一些有趣的特例，而这些特例，现在被统称为怀特海流形。 null30到60年代之间，又有一些著名数学家宣称自己解决了庞加莱猜想，如有名的帕帕奇拉克普罗斯（Papa-kyriakopoulos）。 在普林斯顿大学流传着一个故事。直到1976年去世前，帕帕仍在试图证明庞加莱猜想，临终之时，他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友，然而，只是翻了几页，那位数学家就发现了错误，但为了让帕帕安静地离去，最后选择了隐忍不言。 柳暗花明的突破柳暗花明的突破一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而，因为它是几何拓扑研究的基础，数学家们又不能将其撂在一旁。这时，事情出现了转机。 1966年菲尔茨奖得主斯梅尔（Smale），在60年代初想到了一个天才的主意：如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？1960年到1961年，在里约热内卢的海滨，经常可以看到一个人，手持草稿纸和铅笔，对着大海思考。他，就是斯梅尔。 1961年的夏天，在基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立刻引起轰动。 引入几何结构的方法引入几何结构的方法10多年之后的1983年，美国数学家福里德曼（Freedman）将证明又向前推动了一步。他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。但是，再向前推进的工作，又停滞了。 这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究，虽然没能产生他们所期待的结果，但是，却因此发展出了低维拓扑学这门学科 。 拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿（Thruston）就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割，并因此获得1983年的菲尔茨奖。 最后的决战最后的决战然而，庞加莱猜想，依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。可是，解决庞加莱猜想的工具在哪里？ 理查德·汉密尔顿 终于提供了终于的工具。 他比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候，丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”，但提起他的数学成就，却只有称赞和惺惺相惜。 丘成桐获得菲尔茨奖(1982年)丘成桐获得菲尔茨奖(1982年)1972年，丘成桐和李伟光合作，发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了卡拉比猜想，并因此于1982年获得菲尔茨奖。 1979年，在康奈尔大学的一个讨论班上，当时是斯坦福大学数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候，汉密尔顿刚刚在做Ricci流，别人都不晓得，跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到，1980年，他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说，“于是我跟他讲，可以用这个结果来证明庞加莱猜想，以及三维空间的大问题。” 　　Ricci流是以意大利数学家里奇命名的一个方程。用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形。看到这个方程的重要性后，丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后，1993年，汉密尔顿发表了一篇重要论文。此时，丘成桐隐隐感觉到，解决庞加莱猜想的那一刻，就要到来了。 佩雷尔曼的临门一脚佩雷尔曼的临门一脚地球的另一端，一个叫格里戈里· 佩雷尔曼的数学家在花了8年时间 研究这个足有一个世纪的数学难 题后，将3份关键论文的手稿在2002年11月和2003年7月之间，粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上，并用电邮了几位数学家。声称证明了几何化猜想。到2005年10月，数位专家宣布验证了该证明，一致的赞成意见几乎已经达成。 　　“如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣，都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博士说，“我已经发表了我所有的算法，我能提供给公众的就是这些了。” 　　无视100万美元的奖金无视100万美元的奖金佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩，宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后，才能获得100万美元的奖金。显然，佩雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。 对于佩雷尔曼，人们知之甚少。 从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。大约10年前，他回到斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。 隐士般的学者隐士般的学者证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。 2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太人家庭很少对外开放。 朱熹平、曹怀东的工作朱熹平、曹怀东