多元一次不定方程整数解的通解公式

一九九五年 萍乡高等专科学校 (自然科学版 )第四期 N O . 4 1 9 9 5 . 多元一次不定方程整数解的通解公式 易逢荣 摘 要在不定方程 中 , 二元 一次不定方程的全部整数解可 用公 式表示 , 而 多元一次 不定方程 al x ; + 处 x : 十 ⋯⋯ + 心x , ~ 。 , 我们知道其有整数解的充要条件是 (a l , a Z , ⋯ , a 。 ) }。 , 并且求它的整数解的方法 , 一般是通过解 n 一 1 个二元 一次不定方程来进 行的 。本文将给出多元一次不定方程 整数解的通解公式 。 关键词 多元一次不定方程 。引理 、定理 、通解公式 。 1 01 1一 才 r一一“引理 : 证明 : 若 (a , , a : , ⋯a , ) = 用数学归纳法证 。 1 , 则存在 n 个整数 u : , u Z , ⋯ u 二 , 使 a lu l + a : u : + ⋯a , u , 当 2 2 二二二二 假设 则当 护7 n 2 时 ,命成立 。 一 k 时 , 命题成立 。 = k + l 时 , 丫 (a l , a : , ⋯ a * , a * + 1 ) = 1 令 (a , , a Z , ⋯ a * ) = d ,则 (d . a * + , ) = x , 于是存在整数 u 、v , 使得 : d 、 + a , + lu 一 1 设 a : = d a , ‘(i = 1 , 2 , ⋯ ⋯k ) , 则 (a , ‘ , a : , ⋯ ⋯ a 汤‘) = 1 存在 K 个整数 u l , , u 。‘ , ⋯⋯ u 走‘ 使得 a :‘u , ’ + a : ‘u 。‘ + ⋯ ⋯ + a , ‘ 、u , ‘ = . ‘. a l‘u l’d + a Z‘u : ‘d + ⋯⋯ 十 a 汤 , u 是 , d 一 d 将 (2 )代入 (1 ) 得 : a l‘u 、‘d 。 + a : ‘u Z ‘d y + ⋯ ⋯ + a “u 。‘d y + a , + , u ~ l 即 a , u iv + a Zu z ‘v + ⋯⋯ + a ; u , ‘v + a * + l u 一 1 令 u , 一 绮‘v (i 一 1 , 2 , ⋯⋯ k) 则 a lu l 十 a Zu : + ⋯ ⋯ + a 去+ l u * + 1 一 1 : . 当 n 一 k 十 1 时 ,命题成 立 于是 , 命题成立 。 定理 : 设 (a , , a Z , ⋯⋯ , a 。 ) = 1 1 (2 ) (a l , a : , · · , ⋯ , a , 一 1 ) 一 d , a , = n 一 1 1 , 又爪 ,“a , 乙J a , u 一 1 · 了一 1 月 一 2 (a l ‘ , a : ‘ , ⋯⋯ , a , 。 一 : ) = d ‘ , a , ~ dl a 。 , 又么” u , ,‘ . . J 护一 1 1 (a l’‘ , a : , ‘ , · ·一 , a ” , 一 3 ) = d , ‘ , a “ = d , ‘a :3 , 艺a沂3 , u , ” = l 本丈 收稿 日期 : 9 5 . 10 . 13 30 (a , (”一 5 ) , a : (”一 5 ) , “ 3 (”一 5 ) , a 、(, 一 ‘) ) 一 d (”一 5 ) , a ‘(”一 5 ) - d (n 一 5 , a 、‘一 ‘, , 苏、 a于月 一 4 , u 、(n 一 5 , ‘‘. J 苦= l 1 (a 一( ”一‘) , a : (”一‘) , a 3 (, 一‘) ) = d ( ” 一 4 ) , a 、(” 一 4 ) = d ( ”一 4 ) a (” 一 3 ) , 艺a :一 ” u 、‘”一 ‘, 1 (a : ‘”一 , , , a : ‘”一 3 , ) 一 d ‘”一 3 , , a l一 3 , ~ d (一” a“”一“, , 艺a丁一 “, u “一 3 、 一 1 则不定方程 : al x ; + a Zc Z + aa x , + ⋯⋯ 十 气xn 的所有整数解可表示为 : 二二二 C ”” ““ ““ “ ’ (A ) = 石 + a : ‘一2 , t , 一 二 l‘。一 3 , a 3 ‘二一 ‘, z : 一 u , ‘, 一 ‘’a “。一 ‘, t 3 一 ⋯ 一 a l (一2 )t一 u Z (门一 3 )a 3 (月一 3 ) t Z 一 u Z (一 4 )a 4 (一 4 )ts 一 ⋯ 材1 即 a l, 二一 Z t 。一 3 “ 2 即 a ll 一 Z t 。一 3 u l ‘a , 一 l么一 么 一 封 l a o t。一 x 必 u Z , a , 一 It , 一 2 一 u Z a . t , 一 1 + 己, (一’)tZ 一 林 3 (。 一‘) a ‘ (。 一‘) t 3 一 · ·一 u 3 即。 “ 。一 : t 。 一 3 一 封 3 , a ‘, 一、t一 : 一 u 3a , ‘t。一 ; + J ( ” 一‘) t 3 一 ··一 u 。“ a “ 。一 : t一。 一 u ; ‘a ‘。一 ; l二一 : 一 u “a 。‘一 t 一介一肠一x’一一一一一一 ,且,山JJ咭XXXX x . _ 2 = 匕, _ 2 沈 . 一 1 ~ X一 1 + d 即几一 3 + d, t 。 _ 2 + d 几_ 1 u , 。 _ Za , , 一 I t一 2 u , 一 1心人一 1 u一 Z a , t 。 一 1 石 = 其中不 , 不 , , 五是方程 (A ) 的一组整数解 , t , (i 一 1 , 2 , ⋯ ,z) (B ) 为任意整数 一几” 证明 : 先证必要性 al x , + 气x : + 电 x 3 + , 将伍 ) 代入 (A ) 得 : ⋯⋯ 十 气x , 一 a , x ; 十 a : x : + + a , 五 + ( a l a 。‘。一 3 ) a Za l ‘”一” ) t l ( a : u { ”一3 , a 互’一 3 , + a Zu 轰”一” a ;n 一 3 , 一 d ‘”一 3 , a , ) t : 一 ( a , u ; ”一‘, a ; ”一 ‘, + a Zu ; ”一‘, a ; n 一 ‘, + a 3 u 3 (”一‘, a ; ” 一 ‘, 一 a ‘d ‘”一 “ ) t 3 一 ( a : u 工” a 即一 : + a Z u : ”a # , 一 : + a 3 u s ll a 即 , 一 : + a ‘u ‘Il a 刀 。一 : + ⋯ + ( a , u ; ‘a ‘, 一 1 + a z u : , a ’, 一 ; + a 3 u 3‘a , 。一 ; + a 4 u “a ‘, 一 1 + a , 一 3 u 即 , 一 3 a ll 。一 么 + a 。一 : u ‘, 一 : a ‘, 一 , 气 一 : d ” )人一 : 一 a n 一 ; d ‘) t , 一 : 一 ( a lu , a n + a Zu Za 。 + ⋯ + a , 一 ; u , 一 , a , 丫久 ~ da il “ J己, 久 即 ~ 一 d a 。 ) t。一 1 d d ‘ d “a { ”, - 一 牟dl d ”⋯d( 一 ‘吸 :一 3 ~ d d ‘ d ,, ⋯d (”一 3 ) a ‘(”一 2 ) (i 一 1 , 2 , ⋯ n ) . ‘. a : a玉n 一2 , 一 a Za {”一 2 , 一 。 a : u l ”一” a 互”一 ” + a : u : ‘”一 ” a 丢”丁3 , 一 d ‘” 一” a 3 = ( a , u ;”一” + a : u 二一 3 , ) a ;”一 3 , d d ‘ d ”⋯d ‘, 一” ( a ;二一 2 , u {’一 3 , + a 盖一 2 , u盖一 3 , ) a ;n 一 3 , 一 d ;一 3 , a 3 a 3 d ( ”一 3 , - 一 d ( , 一 3 ) a 3 一 d (’一 3 ) a 3 一 0 同理 : a : u ;”一 峨, a乏”一 4 , 十 a : u ;”一 4 , a “” 一盛’ + a 3 u 互”一 ‘) a乏”一‘, 一 d ‘, 一 ‘, a ; 一 。 . . . ⋯⋯ ( a : u , a 。 十 a : u : a 二 + ⋯ 斗· a , 一 l u , 一 , a , 一 d a , ) ~ 0 : . a , x ; 十 a zx : + ⋯ 十 a o x , al x ; 十 a : x 。 + ⋯ 十 an x 。 一 C 即 x ; , x Z一 x , 是 (八 ) 的整数解 。 二 必要性成立 。 再证充分性 , 用数学归纳法证明 , 首先证明对于三元一次不定方程 a : x , 十 。 Zx 。十 内x 3 一 C充分 性成立 。 31 设 ‘a , , “。 , a : ) 一 1 , 物 , , a 。 ) 一 ‘Z a : 二 价 , ’ , “ 1 八 十 “拼 : 书 。。、 。一 c 的科一组整数解 。 又设 。 则 “ ? :艺a : , a l , u z + a : , u 。 ~ 1 , x , , x : , x 3 , ‘ ‘ 是“ : 二 * + 内二 : + 。 3 x : 一 。的任 是不定方程 一 组整数解 , a IJ ‘ 一 。屯汇 夕 探 l注一 i 小 “名了二 一 , a 3 老3 一 C 一 C (3 ) 一 (4 ) 得 : a : (、1 丫 (d 议户 ~ l j 、) 丫 a : (几 一 劣夕 一 一 a 3 吸x 3 一 x 3 ) : , 川 二 。 一 云 , 。: 存在整数 t : , 使 x3 a : L艾 : 一 劣 工) 即 a : ‘ f石 一于一 灸 ‘x : 一 ￡ : ) - 一 二3 一 x 3 十 dt : , 于是 (5) 一 a 3 d t : 又3 ) (4 ) (5 ) 式变为 工户 十一 电 , (x 。 一 x : ) 一 一 “ 3 t2 ·⋯ ,. · · · · · ·⋯⋯ (6 ) (6 ) 式可看成是关于 , , 一 妥, 一与x , 一 历: 的二元一次不定方程 , 且知 一 ul o 3t Z , 一 “ :码t : 是 (6 ) 的一 组解 。 (6) 的整数解可以表示成 一 一 “ , 之3 t : 十 a 。‘t : u 夕 3之 (t , 为整数 ) 二 : , x : , 二。可表示为 : 万 1 一 x : 十 议 : ’八 习、 : 一 王: 一 之1 , 】 一 处气 t: 。 (t , , t 。为整数 ) { 刃2 一 王。 二 澎‘ 即对于三元一次不定方程 。卜T ; 十 内二 : + 听、 , 一 ‘一 , 命题的充分性成立 。 假设对 一于 。 一 1元 一次不定方程命题的充分性成立 。对于不定方程 (A ) , 设 x , , x : ⋯x , 是 (A ) 的 任 一整数解 ·则 : 山了 : + 内; 一: 4 - ⋯ 十 气了。 一 ‘ · · · · · · ·“ · ·一 (7) a l x , 一 a 。刃 : 二 - ⋯ 下 a , x , = c 二 , · · · · · ·⋯⋯ (8 ) (7 ) 一 (8) 得 : a l (、 : 一 二 ) 斗 a 。行 ‘: 一 二 : ) 一-一 + “ 厅一 、(几 一 , 一 几 一 1 ) ~ 一 a 。(x , 一 瑟 , ) ” · “ · ~ · ” · “ · ” · ~一 (9 ) 丫 (以 以 ,,) 一 l , : d {j 一 ‘勺 : . 存在整数 , n 一 1 , 使 二 , 一 云 \二 dt 。 一 1 , 即 x 。 一 三 + dt 一 ; , (9 ) 式变为 ; a : (二 ; 一 不) 十 a : (x 。 一 必: ) 十 · · 、 一 a 二一 、(么 , 一 若, 一 * ) 一 一 汽北 一 ; 即 a : ’ (二 2 一 x : ) + 内 , 恤 : 一 、 : ) 一于- ⋯ + 澎 一 、(舌 一 : 一 x ~ l ) 一 一 a 。t 。一 , · · · · · ·⋯ ⋯ (1 0 ) (1 0) 是一个关于 、 , 一 ‘ : 、 . 二 : 一二 , . ⋯ : 一 , 一 二 , 的 n 一 l 元一次不定方程 , 且知 一 叹l心 tn 一 , , 一 叽“击 _ _ , , ⋯ , 一 “ , , 一 , 。 ,洋, 一 、是 ‘10) 的一组整数解 , 根据假设 . (1 0) 的整数解可以表示成 : - 一 “ 1叭乙,一 , + a (n 一 亡、l 、l “必心 一 1 一 a[ 伽 一 , tl “声泌。 一 1 十 澎~ 肘‘ 价 、”一 3认 〔份 u Z 、 月一 3 , a 3 (, 2 一 z‘一(”一 4 ) a 、 (n 一 4 2 3 一 : 一 “。 (”一坛 4 如 一价 3 一 一 u , ‘a 气_ Z t , _ 3 一 u , ‘a ‘, 一 : t ”_ 2 一 u olla 气一 : t , 一 。 一 “。‘a ‘。一 : t , _ : 一朴一燕工工广r卜l!l 劣3 纯 (n 一 奇认 切 4 ) · ·一 , ‘3 )la 气一 :了。 一 。 一 :‘ : , a ‘一 , t , _ :沈.lesJ矛、 了”一 2 一 、刃 , 一 2 二 机 一 叽t二 一 , + J介 (二 一 : 、 一 丫 。一 :口一 : ‘。 - 怀犯￡。一 1 一 劣 。 一 , 一 一 u整理后即可得到 (B ) 对于不定方程 (A ) , 命题的充分性成立 命题成立 3 2 例 : 求不定方程 1 5x , 十 10 x : 十 6 x : 十 7x ‘二 63 的整数解 。 解 ,. . (a , , a Z , a 3 , a ; ) ~ (1 5 , 2 0 , 6 , 7 ) 一 1 (a ; , a : , a 3 ) ~ (1 5 , 1 0 , 6 ) = d ~ l , a , , 一 a ‘ (i ~ 1 , 2 , 3 ) (a z‘a : ‘) ~ (1 5 , 1 0 ) 一 5 = d ‘ , a , ‘ = sa , 即 (i ~ 1 , 2 ) a , ‘ , u l + a Z‘u Z + a 3‘u : 二 1 5 X (一 1 ) + 1 0 X I + 6 X l a , ,Iu : ‘十 a 。、。‘ 一 3 又 1 + Z X (一 1 ) 二 l 而不 ~ 2 , 不 一 2 ,不 一 l , 五 ~ 1 为 15 x , + lo x Z 十 6 x 。 十 7x ‘ 一 63 的一组整数解 由定理知 , 原不定方程的整数解为 x ; 二 x : + a : 性: 一 u l‘a 3 , t : 一 u 、a ‘t : ~ 2 + 2 tl 一 6t : + 7t 3 x : 二 x : 一 a l ,)t ; 一 u : ‘a 3 ‘t: 一 u z a ‘t : ~ 2 一 3 t , + 6t : 一 7t 3 x : 一 x 3 + d ‘t : 一 u 3 a ‘t 3 二 1 + st : 一 7 t 3 x ‘ ~ x ‘ + d 乙。 一 1 + 九 (t , , t : , t 。为整数 ) 责任编辑 李汝全 (上接 2 6 页) F (十 co ) 一 F (O ) - 一 2 1 从而 1 2 一音尸(。) 一番 故 广+ 伪 , J 。 e 一’ 一 d 二 = , 了万 ~ 2 责任编辑 昌增高 3 3