2.2.1 综合法与分析法

”的形式，对于给定的两个函数，S(x)＝eq \f(ax－a－x,2)，C(x)＝eq \f(ax＋a－x,2)，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是(　　) ①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y)； ④C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)． A．①③ B．②④ C．①④ D．①②③④ [答案]　D [解析]　∵S(x)＝eq \f(ax－a－x,2)，C(x)＝eq \f(ax＋a－x,2)， ∴S(x＋y)＝eq \f(ax＋y－a－x－y,2)， S(x)C(y)＋C(x)S(y) ＝eq \f(ax－a－x,2)·eq \f(ay＋a－y,2)＋eq \f(ax＋a－x,2)·eq \f(ay－a－y,2) ＝eq \f(ax＋y＋ax－y－ay－x－a－x－y＋ax＋y－a－x－y＋ay－x－a－x－y,4) ＝eq \f(2(ax＋y－a－x－y),4)＝eq \f(ax＋y－a－x－y,2). ∴S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y) 同理：S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y) C(x＋y)＝C(x)C(y)－S(x)S(y) C(x－y)＝C(x)C(y)＋S(x)S(y)．应选D. 二、填空题 11．如果aeq \r(a)＋beq \r(b)＞aeq \r(b)＋beq \r(a)，则实数a、b应满足的条件是________． [答案]　a≥0，b≥0且a≠b [解析]　∵aeq \r(a)＋beq \r(b)＞aeq \r(b)＋beq \r(a) ⇔(eq \r(a)－eq \r(b))2(eq \r(a)＋eq \r(b))＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b. 12．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋eq \r(ab))________eq \f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． [答案]　≤ [解析]　∵(1＋eq \r(ab))2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2eq \r(ab)＋ab－1－a－b－ab ＝2eq \r(ab)－(a＋b)＝－(eq \r(a)－eq \r(b))2≤0 ∴(1＋eq \r(ab))2≤(1＋a)(1＋b)， ∴lg(1＋eq \r(ab))≤eq \f(1,2)[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]． 13．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是eq \f(1,2)b>0，且a2＋eq \f(b2,4)＝1，则ab>a2b2； ②a，b∈R，且ab<0，则eq \f(a2＋b2,ab)≤－2； ③a>b>0，m>0，则eq \f(a＋m,b＋m)>eq \f(a,b)； ④eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))≥4(x≠0)． 其中正确不等式的序号为________． [答案]　①②④ [解析]　①a>b>0，∴a≠eq \f(b,2) ∴a2＋eq \f(b2,4)＝1>2eq \r(a2·\f(b2,4))＝ab ∴1－ab>0，∴ab－a2b2＝ab(1－ab)>0，∴ab>a2b2正确． ②eq \f(a2＋b2,ab)＋2＝eq \f((a＋b)2,ab) ∵ab<0，(a＋b)2≥0，∴eq \f(a2＋b2,ab)≤－2，②正确； ③eq \f(a＋m,b＋m)－eq \f(a,b)＝eq \f((b－a)m,b(b＋m)) ∵a>b>0，m>0， ∴b(b＋m)>0，b－a<0，∴eq \f((b－a)m,b(b＋m))<0， ∴eq \f(a＋m,b＋m)0，b>0，a＋b＝1. 求证：(1)eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2≥eq \f(25,2). [证明]　(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＝a＋b≥2eq \r(ab)，eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，∴eq \f(1,ab)≥4. ∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq \f(1,ab) ≥2eq \r(ab)·2eq \r(\f(1,ab))＋4＝8，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8. (2)∵eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))，则eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2≥2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\f(1,a)＋b＋\f(1,b),2)))2 ＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a)＋\f(1,b)))2,2)≥eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2\r(\f(1,ab))))2,2)≥eq \f(25,2). ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2≥eq \f(25,2). 16．已知a>b>0，求证eq \f((a－b)2,8a)b>0，∴eq \f(b,a)<1表

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