数学期望

null数 学 期 望数 学 期 望制作人：周茜背 景背 景分赌本问题 甲、乙两人赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局，他们约定，谁先赢三局，则得全部赌本100法郎，当甲赢二局，乙赢了一局时，因故要中止赌博，现问这100法郎如何分才算公平？平均分对甲不公平，全部归甲对乙不公平，合理的分法是，按一定的比例，甲多分些，乙少分些，所以问题的焦点在于，按怎样的比例来分。null：假设赌局继续下去，则甲最终所得赌本X为一个随机变量，其可能取值为0或100.再赌两局必可结束，其结果不外乎以下四种情况之一：甲甲甲乙乙甲乙乙甲胜乙负甲胜乙负甲胜乙负乙胜甲负乙胜甲负甲胜乙负乙胜甲负乙胜甲负 把已赌过的三局和这两局的结果相结合，即甲、乙已赌过五局，前三局：甲胜两局乙胜一局后两局：甲甲 甲乙 乙甲乙乙甲胜乙胜null故，在赌技相同的情况下，甲乙最终获胜的可能性大小之比为3:1即甲应获得赌金的3/4，乙能获得赌金的1/4,则甲能“期望”获得的赌金为：则乙能“期望”获得的赌金为： 甲所“期望”获得的赌金X的值为：对X的所有可能取值以“取值对应的概率”作为权，进行加权平均2.5.1 离散型随机变量的数学期望2.5.1 离散型随机变量的数学期望例2.23 假设对一个零件的某个指标所进行的n次测量中，有n1次测得结果是x1,n2次测得结果为x2，…，nr次结果为xr，试求测量结果的平均值解（1）概念引入式中的是测量结果的频率，于是，所求数据的平均值等于每一数据乘以相应的频率之总和（2）定义（2）定义定义2.5设离散型随机变量X的概率分布列为如果，则称 为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记作，即关于定义的几点说明：关于定义的几点说明：E(X)是一个实数，而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同 ,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,与X的可取值有相同单位 级数的绝对收敛保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变 ，之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变 null例1 A,B两台自动机床生产同一种件1000件A,B机床所出的次品数分别用X,Y示。经过一段时间的考察，得X,Y的分布列如下：问哪一台加工的产品质量好产品的好坏可以用X,Y的均值来比较，因为解：所以有上述可知，A机床在1000件产品中所出次品的平均数较小，所以A机床加工的产品质量较高null例2某人有一笔资金,可投入两个项目:房产和商业,其收益都与市场状态有关,若把未来市场划分为好、中、差三个等级，其发生的概率分别为0.2,0.7,0.1。通过调查,该投资者认为投资于房产的收益X(万元)和投资商业的收益Y(万元)的分布列如下： 解考虑两种投资的平均收益从平均收益来看，投资房产收益大一些 ，故选房产投资小结：数学期望常用于比较分析两个同种类型随机变量的平均值大小（2）离散型随机变量函数的数学期望（2）离散型随机变量函数的数学期望对于离散型随机变量X的函数，则其数学期望公式如下 例3 设随机变量X的概率分布列为求E(X)，E(X2)，E(-2X+1)其中，pk=P(X=k),k=1,2,…解null求离散型随机变量数学期望的步骤：将随机变量X的可能取值xk带入g(X)的表 达式中，求出g(xk)的值 用g(xk)乘以X取xk时对应的概率pk 对g(xk)pk进行累加2.5.2 连续型随机变量的数学期望 （1）定义2.5.2 连续型随机变量的数学期望 （1）定义定义2.6 设连续型随机变量X的密度函数，若积分，则称积分 为随机变量X的数学期望，记作null例4设某电子元件的寿命为一随机变量X，其概率密度函数为求这种电子元件的平均使用寿命（单位：h）解根据数学期望的定义得：所以，电子元件的平均使用寿命为500h2.5.3 数学期望的性质2.5.3 数学期望的性质 若C为常数，则 若，为任意的两个随机变量， 若X与Y是相互独立的两个随机变量，则null例6设某仪器总长度X为两个部件长度X1和X2之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为求解因为所以null例7根据资料统计，一位40岁的健康人在五年内仍然活着的概率为p(0a)，求（1）如何确定a,b才能使公司可期望获益？（2）如果有m人参加保险，公司可期望收益多少？解（1）设X表示公司从一个参保者身上所获得的收益，那么X的分布列为：null所以当时，公司可期望收益，即根据题设条件b>a,可得（2）如果有m人参加保险，公司可期望收益为2.5.4 常见分布的数学期望2.5.4 常见分布的数学期望nullnull例8若，求解因为由期望的性质得小 结小 结 随机变量的数学期望是一个实数, 而非变量，与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值. 数学期望的性质null