2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编18二次函数的图象和性质

你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值． 答案：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y= x2 + bx-2上，∴ × (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b = ∴抛物线的解析式为y= x2- x-2. y= x2- x-2 = ( x2 -3x- 4 ) = (x- )2- , ∴顶点D的坐标为 ( , - ). （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。 当y = 0时， x2- x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC是直角三角形. （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。 解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E. ∵ED∥y轴, ∴∠OC′M=∠EDM,∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM. ∴ ∴ ，∴m = ． 解法二：设直线C′D的解析式为y = kx + n , 则 ，解得n = 2, . ∴ . ∴当y = 0时， ， . ∴ . 9、(2011学年度九年级第二学期普陀区期终调研)二次函数 的图像的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC． （1）求直线AB的表达式和点C的坐标． （2）点 在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标． （3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N的坐标． 答案：（1）二次函数 的图像的顶点A ，与y轴的交点B ，……（2分） 设直线AB的表达式为 ， 可求得 ， ．所以直线AB的表达式为 ．……………（1分） 可得 ,∵ , ∴ ．…………………………………………………………………（1分） 在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4． ∴AC=4．点 ．………………………………………………………（1分） （2）∵点C、M都在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积， ∴ ∥AB．…………………………………………………………………………（1分） 设直线CM的表达式为 ，点 在直线CM上， 可得 ． ∴直线CM的表达式为 ．………………………………………………（1分） 可得点M的坐标： ．……………………………………………………（1分） （3）点N的坐标 ， ， ， ． ……………………………………………………………………………（4分） 10、(2012石家庄市42中二模)如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为（3，1），二次函数y=x2的图象记为抛物线l1． （1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式（任写一个即可）； （2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数表达式； （3）设抛物线l2的顶点为C，K为y轴上一点．若S△ABK=S△ABC，求点K的坐标； （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由． 答案：(1) （答案不唯一） （2） （3）， (4)3个 11、(2012苏州市吴中区教学质量调研)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B．且OA＝OB． (1)求b＋c的值； (2)若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标． 答案： 过点P作PM垂直于y轴，垂足为点M， 12.马鞍山六中2012中考一模）．已知二次函数的图象与x轴只有一个交点A(－2，0)、与y轴的交点为B(0，4)，且其对称轴与y轴平行． （1）求该二次函数的解析式，并在所给坐标系中画出它的大致图象； （2）在二次函数位于A、B两点之间的图象上取一点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值和此时的点M的坐标． 答案：根据题意，点A（－2，0）是抛物线的的顶点，可设 所求二次函数的解析式为 ， 把点B（0，4）代入上式，得4＝4a，解得a＝1． 所以， ． ………………………………………………4分 函数图象略． ………………………………………………………………6分 （2）设点M（m，n），－2＜m＜0，则 MC＝ ，MD＝n＝ ，　………………………………8分 　　 设矩形MCOD的周长为l，则 ， ∵2＞0，∴当 时， ， ………………………………10分 　　 此时， ． 所以矩形MCOD的周长的最小值为 ，此时的点M的坐标为（ ， ）．……12分 13.河南省信阳市二中）．（11分）已知抛物线 的顶点为（1，0），且经过点（0，1）． （1）求该抛物线对应的函数的解析式； （2）将该抛物线向下平移 个单位，设得到的抛物线的顶点为A，与 轴的两个交点为B、C，若△ABC为等边三角形． ①求 的值； ②设点A关于 轴的对称点为点D，在抛物线上是否存在点P，使四边形CBDP为菱形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：．解：（1）由题意可得， 解得 ∴抛物线对应的函数的解析式为 ．………………………………3分 （2）①将 向下平移 个单位得： - = ，可知A(1，- )，B(1- ，0)，C(1+ ，0)，BC=2 ．……………………………6分 由△ABC为等边三角形，得 ，由 ＞0，解得 =3．…………7分 ②不存在这样的点P． ……………………………………………………………8分 ∵点D与点A关于 轴对称，∴D（1，3）．由①得BC=2 ．要使四边形CBDP为菱形，需DP∥BC，DP=BC． 由题意，知点P的横坐标为1+2 ， 当 =1+2 时 -m= = ，故不存在这样的点P．……………………………………………………………………11分 14、[淮南市洞山中学第四次质量检测，20,11分]（11分）已知抛物线y=ax2+4ax+m（a≠0）与x轴的交点为A（－1，0），B（x2，0）。 （1）直接写出一元二次方程ax2+4ax+m=0的两个根：x1 = ， x2 = （2）原抛物线与y轴交于C点，CD∥x轴交抛物线于D点，求CD的值； （3）若点E（1，y1），点F（－3，y2）在原抛物线上，你能比较出y2和y1; 的大小吗？若能，请比较出大小，若不能，请说明理由。 解：(1)(4分) x1 = －1 ， x2 = －3 （2）(4分)∵抛物线y＝ax2+4ax+m的对称轴是x=－2，点C是抛物线y=ax2+4ax+m与y轴的交点， ∴C到对称轴的距离是2，又∵CD∥x轴 ∴CD的距离是点C到对称轴距离的2倍，即2×2＝4 即CD的值为4。 （3）(3分)不能判断出y2和y1; 的大小。因为抛物线y=ax2+4ax+m中a的正、负不能确定，也就不能确定抛物线的开口方向，抛物线是上升还是下降也就不能确定，因此y值随x值的变化也不能确定，所以不能判断出y2和y1; 的大小。 （意思回答对，就可以得分） 15、[淮南市洞山中学第四次质量检测，21,12分]（本题12分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E（4,m），请求出△CBE的面积S的值。 SHAPE \* MERGEFORMAT 解：（1）(5分)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（5，0）、C（0，5）三点， ∴y=a（x－1）（x－5），把C（0，5）代入得：5=5a，解得：a=1， ∴y=（x－1）（x－5），即y=x2－6x+5， ∴二次函数的解析式是y=x2－6x+5． （2）(7分) ∵y= x2－6x+5，∴当x=4时，m=16－24+5=－3，∴E（4，－3）， 设直线EC的解析式是y=kx+b， 把E（4，－3），C（0，5）代入得：，解得：k=－2, b=5， ∴直线EC的解析式是y=－2x+5， 当y=0时0=－2x+5，解得：x=，∴M的坐标是（，0） ∴BF=5－=， ∴S△CBE=S△CBF+S△BFE=××5+××3=10 ， 答：△CBE的面积S的值是10． 16、（2012深圳市龙城中学质量检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式；(3分) (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(4分) (3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.(3分) 17、（杭州市2012年中考数学模拟）如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由. 答案：解：(1)将A(1，0)，B(－3，0)代中得 ∴ ∴抛物线解析式为： (2)存在 理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴对称 ∴直线BC与的交点即为Q点， 此时△AQC周长最小 ∵ ∴C的坐标为：(0，3) 直线BC解析式为： Q点坐标即为的解 ∴ ∴Q(－1，2) （3）答：存在。 理由如下： 设P点 ∵ 若有最大值，则就最大， ∴ ＝ ＝ 当时，最大值＝ ∴最大＝ 当时， ∴点P坐标为 18．（2012广西贵港）（本题满分12分） 如图所示，在平面直角坐标系中，顶点为（ ， ）的抛物线交 轴于 点，交 轴于 ， 两点（点 在点 的左侧）， 已知 点坐标为（ ， ）． （1）求此抛物线的解析式； （2）过点 作线段 的垂线交抛物线于点 ， 如果以点 为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物 线的对称轴与⊙ 有怎样的位置关系，并给出证明； （3）已知点 是抛物线上的一个动点，且位于 ， 两点之间，问：当点 运动到什么位置时， 的 面积最大？并求出此时 点的坐标和 的最大面积. 答案：解：（ 1）设抛物线为 .……………1分 ∵抛物线经过点 （0，3），∴ .∴ .……………2分 ∴抛物线为 . ……………………………3分 (2) 答：与⊙ 相交 …………………………………………………………………4分 证明：当 时， ， . ∴ 为（2，0）， 为（6，0）.∴ .…………………5分 设⊙ 与 相切于点 ，连接 ，则 . ∵ ，∴ . 又∵ ，∴ .∴ ∽ .……6分 ∴ .∴ .∴ .…………………………7分 ∵抛物线的对称轴为 ，∴ 点到的距离为2. ∴抛物线的对称轴与⊙ 相交. ……………………………………………8分 (3) 解：如图，过点 作平行于 轴的直线交 于点 。 可求出 的解析式为 .…………………………………………9分 设 点的坐标为（ ， ），则 点的坐标为（ ， ）. ∴ .……………10分 ∵ , ∴当 时， 的面积最大为 . ……………11分 此时， 点的坐标为（3， ）. ………12分 19. （2012年广东模拟）（本题8分）已知关于 的二次函数 与 ，这两个二次函数图象中只有一个图象与 轴交于 两个不同的点． （l）试判断哪个二次函数的图象经过 两点； （2）若 点坐标为 ，试求该二次函数的对称轴。（改编） 答案（1）对于关于x的二次函数y=x2－mx+． 由于b2－4ac=（－m）－4×1×=－m2－2<0，------------------2分 所以此函数的图像与x轴没有交点． 对于关于x的二次函数y=x2－mx－．----------------4分 由于b2－4ac=（－m）2－4×1×=3m2+4>0， 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－．--------------------5分 （2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－． 得1+m－=0．----------------------6分 整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2． 当m=0时，对称轴为直线X=0---------------------7分 当m=2时，对称轴为直线X=1．-------------------8分 20．（2012年广东模拟）(本小题满12分) 如图，已知抛物线y＝－ x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值． 答案(本小题满分12分) （1）令 ，得 ，即 ， 解得 ， ，所以 ．令 ，得 ，所以 ． 设直线AB的解析式为 ，则 ，解得 ， 所以直线AB的解析式为 ． ………3分 （2）当点 在直线AB上时， ，解得 ， 当点 在直线AB上时， ，解得 ． 所以，若正方形PEQF与直线AB有公共点，则 ．………4分 （3）当点 在直线AB上时，（此时点F也在直线AB上） ，解得 ． ①当 时，直线AB分别与PE、PF有交点，设交点分别为C、D， 此时， ， 又 ， 所以 ， 从而， ． 因为 ，所以当 时， ． ②当 时，直线AB分别与QE、QF有交点，设交点分别为M、N， 此时， ， 又 ， 所以 ， 即 ． 其中当 时， ．………5分 5．（柳州市2012年中考数学模拟试题） 21.（12分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为(3,4)，B点在轴上. （1）求的值及这个二次函数的关系式； （2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为，点P的横坐标为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：(1) ∵ 点A(3,4)在直线y=x+m上，∴ 4=3+m. ∴ m=1. 设所求二次函数的关系式为y=a(x-1)2. ∵ 点A(3,4)在二次函数y=a(x-1)2的图象上， ∴ 4=a(3-1)2, ∴ a=1. ∴ 所求二次函数的关系式为y=(x-1)2. 即y=x2-2x+1. (2) 设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE . ∴ PE=h=yP-yE =(x+1)-(x2-2x+1) =-x2+3x. 即h=-x2+3x (0＜x＜3). (3) 存在. 解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC. ∵ 点D在直线y=x+1上,∴ 点D的坐标为(1,2),∴ -x2+3x=2 . 即x2-3x+2=0 .解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. 解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE. 设直线CE的函数关系式为y=x+b.∵ 直线CE 经过点C(1,0), ∴ 0=1+b,∴ b=-1 .∴ 直线CE的函数关系式为y=x-1 . ∴ 得x2-3x+2=0. 解之，得 x1=2，x2=1 (不合题意，舍去) ∴ 当P点的坐标为(2,3)时，四边形DCEP是平行四边形. 22、（2012年浙江省椒江二中、温中实验学校第一次联考）如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线 （1）点E的坐标； （2）求过 A、O、E三点的抛物线解析式； 第1题 答案：（1）作AF⊥x轴与F ∴OF=1，AF= ∴点A（1， ）………………………………………………………1分 代入直线解析式，得 ，∴m= ∴ 当y=0时， 得x=4， ∴点E（4，0）……………………………………………4分 （2）设过A、O、E三点抛物线的解析式为 ∵抛物线过原点 ∴c=0 ∴ ∴ ∴抛物线的解析式为 …………………………………………8分 23、（2012年上海市黄浦二模）已知一次函数的图像和二次函数的图像都经过A、B两点，且点A在y轴上，B点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式； （2）将此二次函数图像的顶点记作点P，求△ABP的面积； （3）已知点C、D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E、F在这个二次函数图像上，且CE、DF与y轴平行，当∥时，求C点坐标. 答案： （1）A点坐标为（0,1）…………………………………………………………(1分) 将代入，得 ∴B点坐标为（4,5）…………………………………………………………………(1分) 将A、B两点坐标代入 解得 ∴二次函数解析式为……………………………………………(2分) （2）P点坐标为（，）…………………………………………………(1分) 抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（，） ∴PG=， ∴.…………………………………………………(2分) （3）设C点横坐标为 则C点坐标为，D点坐标为，…………………………(1分) E点坐标为，F点坐标为，…………………(1分) 由题意，得 CE=，DF=， ∵且CE、DF与y轴平行，∴CE∥DF，又∵∥， ∴四边形是平行四边形，∴ ，…………………………………(1分) ∴ ，解得 ， （舍），…………………(1分) ∴C点坐标为（ ， ）.………………………………………………(1分) 24、（2012年上海金山区中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像经过点 ， ， ，顶点为 ． （1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标； （2）在 轴上找一点 （点 与点 不重合），使得 ，求点 坐标； （3）在（2）的条件下，将 沿直线 翻折，得到 ，求点 坐标． 答案： 解：（1）由题意，得 ，…………………………………………………………………1分 解得 …………………………………………………………………………1分 所以这个二次函数的解析式为 ……………………………………1分 顶点D的坐标为（1，-4）…………………………………………………………1分 （2）解法一：设 由题意，得 …………1分 ∵∠APD=90°，∴ ……………………………………………1分 解得 （不合题意，舍去）………………………………………1分 ∴ ………………………………………………………………………………1分 解法二： 如图，作DE⊥y轴，垂足为点E， 则由题意，得 DE=1，OE=4……………………1分 由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°， 由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°， ∴∠OAP=∠EPD 又∠AOP=∠OED=90°， ∴△OAP∽△EPD ∴ ……………………………………………………………………1分 设 则 ，解得 （不合题意，舍去）……………………………1分 ∴ ………………………………………………………………………………1分 （3）解法一： 如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得 ,∠PAQ=90°， ∴四边形APDQ为正方形，………………………………………………………………1分 由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°， ∴∠OPA=∠HAQ ， 又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA ∴△AOP≌△AHQ，∴AH=OP=1，QH=OA=3…………………………………………2分 ∴ …………………………………………………………………………………1分 解法二： 设 …………………………………………………………………………………1分 则 ………………1分 解得 ， （不合题意，舍去）……………………………………………1分 ∴ …………………………………………………………………………………1分 25、（2012年上海金山区中考模拟）如图， 中， ， ，过点 作 ∥ ，点 、 分别是射线 、线段 上的动点，且 ，过点 作 ∥ 交线段 于点 ，联接 ，设 面积为 ， ． （1）用 的代数式表示 ； （2）求 与 的函数关系式，并写出定义域； （3）联接 ，若 与 相似，求 的长． 答案： 26. （本题满分14分） 解：（1） ∵AD∥BC，PE∥AC ∴四边形APEC是平行四边形……………………1分 ∴AC=PE=6 ，AP=EC= …………………………1分 , ………………………1分 可得 ………………………………………1分 （2）∵AB=BC=5，∴∠BAC=∠BCA 又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA， ∴∠APE=∠AOP，∴AP=AO= ∴当 时， ；……………………………1分 作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H， 则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4 由∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF 得△OHQ∽△AFB ∴ ，∴ ，∴ …………………2分 …………………………………………………………………………1分 所以 与 的函数关系式是 …………………………………………………………1分 （3）解法一： 当 时 由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE 可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE…………………………1分 由于∠QPO=∠EPQ， 所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ 可得OP=OQ……………………………………………………1分 于是得 ，解得 …………………………2分 同理当 ，可得 （不合题意，舍去）…………………………1分 所以，若△PQE与△POQ相似， AP的长为 。 解法二：当 时， 可得 ，于是得 , ……………………………………………………………………1分 由于∠QPO=∠EPQ， 所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ ………………………………………………………………………………1分 解得 ， （不合题意，舍去）…………………………………………2分 所以，若△PQE与△POQ相似， AP的长为 。 ……………………………………1分 27、（盐城地区2011～2012学年度适应性训练）（本题满分10分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A(-2，0)和点B，与y轴相交于点C，顶点D(1，- （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）求四边形ACDB的面积； （3）若平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线与坐标轴 仅有两个交点，请直接写出一个平移后的抛物线的关系式. 解(1)设二次函数为y=a(x-1)2-9/2， ……1分 求得，a=1/2， ……3分 ∴y=1/2(x-1)2-9/2． ……4分 (2)令y=0,得x1=-2，x2=4，∴B(4，0)， ……6分 令x=0, 得y=-4,∴C(0，-4)， ……7分 S四边形ACDB=15.∴四边形ACDB的面积为15. ……8分 (3)如：向上平移9/2个单位,y=1/2(x-1)2; 向上平移4个单位,y=1/2(x-1)2-1/2; 向右平移2个单位,y=1/2(x-3)2-9/2; 向左平移4个单位y=1/2(x+3)2-9/2.（写出一种情况即可）.……10分 (第1题) A B C D x y O 第1题 1 第2题 第8题 第3题图