一个数学问题的推广及验证

- 2 3 7 - 笔者于2009年7月在北京参加一个人 力资源管理方面的培训，有幸听到了来自 ACCA（国际注册会计师公会）北京代处 市场部经理曲悲岩先生的一个关于发散性 思维与企业的市场推广为主的讲座。在 讲座开始前，曲先生为了活跃气氛，先让大 家做了一道看似简单的数正方形的数学题。 对于这道数学题，笔者在给出完整解答的 基础上，做了一个有趣的推广，其过程对于 发散思维的培养，具有较现实的意义。 一、问题与 【问题】一个大正方形由 4× 4个小 正方形组成，从这25个交点中任取4个点， 并连线，总共最多能组成多少个正方形？ （如图 1所示）。 图 1 一个大正方形由 4× 4个小正方形 组成 这个题目乍一看很简单，凭着培训班 学员的直觉，如图1中可以判断，无非就是 分成 1× 1个小方格组成的正方形，2× 2 个小方格组成的正方形，3×3个小方格组 成的正方形，4×4个小方格组成的正方形 来考虑。然后，由枚举的方法得到解答, 如 图 2所示。 图 2 分别由 1× 1、2× 2、3× 3、4 ×4个小方格构成的正方形 1×1个小方格组成的正方形个数为16 个；2× 2个小方格组成的正方形个数为 9 个；3× 3个小方格组成的正方形个数为 4 个；4× 4个小方格组成的正方形个数为 1 个。这样总共正方形的个数和就是： 16+9+4+1=30。 个别急性子的学员很快就举手示意， 他们得到了这个结果等于30的。但事 一个数学问题的推广及验证 陶然 上海交通大学 200240 实上还不能下定论。 从下面的图3很容易就会发现，似乎漏 数了很多“斜”着的正方形。一扭头、一连 线的一念之间，却发现了问题的奥妙，可见 发散性思维往往就潜伏在人们不经意的那 个角落，需要加以开发和训练。 图 3 在原正方形中还隐藏着“斜”的 正方形 通过计算，很容易得到这些个“斜” 着的四边形的四条边长都相等、四个角都 是直角，他们也都是正方形，所以最后的答 案肯定不止30个。那究竟是多少个呢？请 看下面的分析。 通过仔细观察我们可以发现，那些 “斜”着的正方形，都被包围在一个由 n2 个小正方形所组成的正方形区域内，而且 他们的4个顶点都在这个正方形区域的4条 边上，如表 1 所示。 表 1 分别由 1× 1、2× 2、3× 3、 4× 4个小方格构成的正方形的枚举情况 根据表 1，可以得到最后的答案应该 是： 1 × 1 6 + 2 × 9 + 3 × 4 + 4 × 1=16+18+12+4=50个。 二、推广及其验证 原问题中是4×4个小正方形所构成的 区域，那么推广到 n × n（n 为正整数） 个小正方形所构成的区域，其结果又会是 怎么样呢？ 首先需要考虑的是，一个 n× n的区 域当中所包含的 i× i（i为从 1到 n的任意 正整数）的区域的个数为（n－ i＋ 1）2。 如图 4所示，在一个 i× i的区域中找 正方形，如果正方形的4个顶点都在该区域 的外边上，总共可以找到 i个不同的正方 形 。 图 5 引理证明示意 所以可以给出如下命题： 【命题】在一个 n× n的区域中，如果 我们令最多可以找到的正方形个数是P，则 有： 首先，用反证法证明一个引理： 【引理】对于一条给定的四边形的对 角线，可以唯一确定一个正方形。 证明：（反证法）如图 5 所示，假 设AB为正方形AFBE和正方形ADBC的 对角线 图 4 原正方形由 n× n个小正方形构成 - 2 3 8 - 中国科技信息 2009年第 20期 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION Oct.2009科技教育创新 ∵ADBC为正方形 ∴C点在以AB为 直径的圆上 同理，E点也在这个以AB为直径的 圆上 又∵AC=CB ∴CO⊥AB 同理，∵AE=EB ∴ EO⊥ AB 又∵经过直线上一点且与该直线垂直 的直线有且只有一条 这条直线和圆O的交点有且只有一个 ∴C,E点重合 与假设矛盾， 故假设不成立。 ∴上述引理得证：对于一条给定的四 边形的对角线，可以唯一确定一个正方 形 。 在此证明思路的基础上，就可以把繁 琐的验证交给计算机程序。通过一个简单 的C++程序，来枚举一个给定的正方形框 架内的所有可能的正方形个数。 1.编程思路 枚举对角线的两个端点，根据引理， 可以判断另外两个端点是否是在正方形网 格中的节点。输出n从1到50的50组数据 作为展示。从而验证式子： 2.程序代码 #include #include #include const int MAXN = 50; //测试边长 n的最大值 const double eps = 1e-8; int ANS[MAXN + 1]; struct point { double x, y; } a, b, c, d; void InitANS () { ANS[0] = 0; for (int n = 1; n <= MAXN; n ++){ ANS[n] = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++) ANS[n] += i * (n - i + 1) * (n - i + 1); } } int dcmp (double x) // 判断 x的符 号， 返回值 为 -1表示 x为负数， 0表示 x为 0， 1表示 x为正数 { return x < -eps ? -1 : x > eps; } bool check (double x, int n) { if (dcmp(x) < 0 || dcmp (x - n) > 0) return false; int xx = (int)x; if (dcmp (x - xx) == 0 || dcmp (x - (xx + 1)) == 0) return true; return false; } int main () { int n; InitANS (); //用公式计算答案 for (n = 1; n <= MAXN; n ++){ // 用枚举对角线求正方形个数来验证答案 printf ("下面证明 n = %d 的情况 (此时应该有 %d 个正方形)\n", n, ANS [n]); double x0, y0, x2, y2; //正方形一 条对角线的坐标 double x1, y1, x3, y3; double x, y; //正方形中心坐标 int count = 0; for (x0 = 0; x0 <= n; x0 ++) for (y0 = 0; y0 <= n; y0++) for (x2 = 0; x2 <= n; x2 ++) for (y2 = 0; y2 <= n; y2 ++){ //4 重循环枚举对角线坐标 if (!dcmp (x0 - x2) && !dcmp (y0 - y2)) continue; x = (x0 + x2) / 2; y = (y0 + y2) / 2; x1 = x - (y0 - y); y1 = y + (x0 - x); x3 = x - (y2 - y); y3 = y + (x2 - x); if (check (x1, n) && check (y1, n) && check (x3, n) && check (y3, n)) count ++; //如果 点(x1, y1)和点 (x3, y3)是(n+1)*(n+1)中的一个点，那正 方形加 1个 count /= 4; printf ("枚举得， 正方形数量为 %d 个 \t", count); if (ANS[n] == count) puts ("验证正 确 "); else { puts ("验证错误 "); return 0; } } system ("pause"); return 0; } 3、输出结果 将程序的输出结果整理如下，见表 2 。 表 2为 n从 1到 50的枚举法验证的结 果，验证正确无疑，之后的情况由于计算机 运算需要较长时间，就不赘述了。 从上面数学问题的演绎过程来看，发 散性思维最后还是要落实到一个严密的数 理逻辑当中去的。发散性思维是不依常规， 寻找变异，对给出的材料、信息从不同角 度，向不同方向，用不同方法或途径进行分 析和解答问题。因而视野开阔，思维活跃， 可以产生出大量的独特的新思想，这正是 用人单位所期盼的人才素质。 表 2 程序验证的输出结果 作者简介 陶然(1 9 8 8 .1 - )，男.浙江省嘉兴市人.现就 读于上海交通大学船舶海洋与建筑

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学院。