非线性系统的分叉问题

nullnull分叉概念：如果某个动力系统是结构不稳定的，则系统任意小的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的变化，我们称这种变化为分叉(bifurcation)。null经典的分叉例子1、奇点分叉若导算子的所有特征值实部小于零，奇点稳定； 若导算子的所有特征值实部都不等于零，且至少有一个特征值实部大于零，奇点不稳定的双曲奇点； 若导算子至少有一个实部为零的特征值，奇点是非双曲奇点。此时在该奇点附近的几何结构有可能发生变化，因而奇点分叉只能在这种情况发生。null 从导算子的特征值的角度看，随着μ的变化，出现Reλ=0的情况有三种。null叉形分叉例1 考虑一维系统nullHopf分叉例2 考虑平面系统 事实上，系统不只发生了奇点分叉，而且产生了闭轨分叉。null令 原方程组写为null当μ<0时，系统无奇点； 当μ>0时，系统有两个奇点( ,0)，相应的导算子为。 。由此可知，( ,0),是稳定结点, ( ,0)是鞍点。鞍结分叉例3 考虑平面系统null 除了前面提到的三种基本奇点分叉外，还有三种奇点分叉情况：超临界分叉，亚临界分叉和跨临界分叉。跨临界分叉超临界分叉亚临界分叉nullnull 静态分叉 奇点数目和奇点稳定性发生变化的分叉。如例1、例2、例3； 动态分叉 静态分叉以外的分叉，如Hopf分叉，闭轨分叉和同异宿轨线分叉等。 常微分方程的分叉也可分为两大类：静态分叉和动态分叉静态分叉和动态分叉可以在同一系统中同时发生主要研究方法主要研究方法奇异性方法：研究可微映射的退化性和分类，可处理静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 P-B 形方法：对于研究高维系统的分叉 幂级数方法：应用于静态分叉、Hopf分叉、次谐分叉和概周期分叉。 摄动法：应用于周期或概周期领域。 次谐Melnikov 函数法：研究二维扰动Hamilton系统的m/n阶次谐周期分叉。 后继函数法和Shilnikov法：研究二维和高维系统的同宿分叉问题。 群论法：研究对称分叉问题。 数值方法：对分叉问题进行定量研究。Thank you !Thank you !