p-级数与交错p-级数的和

nullnullp-级数与交错 p-级数的和蜀南竹海 2012.5.1null提 要 当 p>1时 p-级数收敛，相应的交错 p-级数绝对收敛。 那么它们的和之间有什么关系？ 能否由 p-级数的和推导出相应的交错 p-级数的和？ 本课件给出相应的结果，并举例说明。 所有例子都用数学软件Maple给予了验证。null先看一个简单的例子nullnullp:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maple checknull用同样的方法可以解一下问题：null以下我们给出一般的结论nullnullnull注1 当 p>1 是偶数时，p-级数的和有精确表达式 （设 p=2m 是偶数）：其中B2m是伯努利数（见：Bernoulli number）见维基百科：Riemann zeta functionnullp:=2: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maple check:nullp:=4: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maple check:nullp:=8: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maple check:null注2 当 p>1 不是偶数时，p-级数的和没有精确表达式，只能用zeta函数表示为ζ(p) 或用近似值表示。nullp:=3: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maple check （ zeta函数形式）:nullMaple check (小数形式):p:=3: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity)); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));nullp:=11: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=sum(f(n),n=1..infinity); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=sum(g(n),n=1..infinity);Maple check （ zeta函数形式）:nullMaple check (小数形式):p:=11: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity)); ((2^(p-1)-1)/2^(p-1))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));nullMaple check:p:=11/7: f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity)); evalf(((2^(p-1)-1)/2^(p-1)))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));nullMaple check:p:=sqrt(2): f(n):=1/n^p:g(n):=(-1)^(n-1)*1/n^p: Sum(f(n),n=1..infinity)=evalf(sum(f(n),n=1..infinity)); evalf(((2^(p-1)-1)/2^(p-1)))*%; Sum(g(n),n=1..infinity)=evalf(sum(g(n),n=1..infinity));