Hopf代数对代数的余作用

� � � 年 � � � � 吉 林 大 学 自 然 科 学 学 报 � � � � �� 二�� � � ! ∀ # � � � � � � � ��� � � � �� � ! ∀� � � �� ��� �� � � � �� 第 � 期 � 匀 � � � � �� 代数对代数的余作用 刘 贵 龙 �吉林大学数学研究所 � 长春 � 提要 本文讨论 �叩�代数对代数的余作用 , 以强分次环为模型推广了 〔心� 的有关 � �� ! 余模代数 的 , 得出� 众 积 � �� , � �的一些性质 , 并定义 了余模代数的�� � � � �� � 根 �关桩词 � � � �代数 , 余作用 , �� �� � 积 设 � 为域 � 上的 �叩�代数 , � 为右 � 一余模代数 , 若 � 为右� 一 余模 , 内 � � � � � � 为 结构映射 , 定义 � 腼 , � � � � � �� � � � � � � 恤 , �。� �� 一 习� � � 。� � � , 其中儿 ��� 一 习 � 。 � �, , 则不难指出 � � � 为右 � 一 余模 � 若 � 为右 � 一 模 , 定义 � , � � �� � 习�� 。 � �� � , � 任 � , � 任 � , � 任 � , 则 � � � 为右 � 一 模 , 且有 命题 � 设 � 为 �叩�代数 , � 为右 � 一余模代数 , 则条件 � ��� � 为右 � � , � � �叩�模 � �� � 内 � �� � � 为右 � 一模同态 � ��� 少� �� � � � 为右 � 一余模同态等价 � � 直接验证 � 设 �� � � � � �一 ��� � �� � � � � 。 巨 名, � � � � � � , �� � 为右 � 一余模 , �因 � 可按自然的方式看成右 � 一模 , 当 � 为右 �� , � � �叩�模时 , 内 , 中均为 �� , � � � �� �模同态 , 当 � � � 时 , �� , � � �叩�模就是双模 , 因此 , �� , � � �叩 �模是双模概念的推广 � � 一余模代数以群分次环为特例 , 由〔�〕知 , 若 � � �� 为群 � 按通常意义下定义的 � �� � 代数 , 则 � 为 翻弓�余模代数当且仅当 � 为 � 一分次代数 , 同样 �� , � ��叩�模以分次模为特例 � 例 设 � � �� 为群 � 定义 的 �叩� 代数 , � 为右 � 一余模代数 , 若 � 为 �� , � � � �� � 模 , 则 � 为 �� 分次右 � 一模 , 且 � � , � � �叩�模同态恰为分次模的分次同态 � 反之 , 若 � 为 � 一分次 代数 , � 为 � 分次右 � 一模 , 则 � 为右 ��� 余模代数 , 而 � 为右 ��� , � � �叩�模 � �� � 在【幻中推广了〔�〕的定理 �� � � � , 其后又在〔� , �〕中作了进一步的推广 , 这里我们把 〔�〕的定理 �� � 推广为 � 定理 � 设 � 为 �叩� 代数 , � 为右 � 一余模代数 , 若存在 价 , 叭任� � � ‘�� , � � , � 任� , 使 , 一 � , � � �记 , 且� 。任 � , 几乎所有的 ‘任� 均有 , � 。 � 一。 , 且 艺 , , 叭一 , �这时习 , , 叭‘任 � 矛� 人 有意义 , 而 , 表示 � � � � �� , � �的卷积 ��� �� �� �� �� �� , ‘为 � 的余单位 , 产为 � 的单位 � � 则对 任意的 �� , � �� � � �模 � , 如 � � 。�凡� � � � 如 � � � 民� � 一 �� 为 �� , � �� � � � 模同构 � 这里 � � ��吞� 一吞� � , � 。 � �, 任� � �� � , � � � � � �� � 。� �� 任� � �� �吞� � 吞� �� 证明 � 如 为 �� , � � �叩 �模同态是显然的 , 故只要证 人 为双射即可 � � ‘全二止鳖型鱼二二� � 一 名� 。� �� , � , 则有八只 � � 一 、 �习� 识 � � , � � 一 习� 。, � , � � 幸 收稿日知 一 � 一 �� � �一� � 一�� 因 , � , �二 � � 一 习 , 。价�, � � 因 。�, , �� � 名, 。只�� � � � � � 故 只 �二 � 任从 , 且 � 二任材 , 几乎 所有的 � � � , 只(, ) = 0. 定义 : 孟:M ~ M 。À a0 B , “(科, 一 溉‘习只‘, 。’À 、“(二1” 一 系(习m 。, ‘, 1’À a0 “‘m Z , , , ““, , 一 荟(习! 。价‘m l’“‘m l, ) 一 习 , 。(荟, (二1, “‘两 , ) = 习, 。。( , , ) = m 。如* 一 1, . 重复上述论证 , 名b0 , (b : ) 任 B 。 , 因此 , v m 任M 。 , b 任B , 叭(, À ao b ) = “(m b ) 一 名习mb 。, ( b : ) À a0 咖(。:) 一 习(名, º ao b 。, ( b : ) 叭(b:))一 m À s。习‘(习 , (。:)叭(b:)) 二 , À 、习b0e (b 、) 一 , À B0e , 故 2如二 l , 内 为(A , B ) Ho p f 模同构. 注 (1 )当 di m A < co 时 , A 可取为有限集; (2 ) 当 A ~ B 时 , 取 A ~ {1} , 乳 ~ : , 人~ l , 这时本定理即为〔3」的定理 3.1.8 ; (3) 当 l川 = 1时 , 即为〔4〕的定理 3.3. 当 A ~ kG 时我们有 命翅 2 设 G 为群 , A ~ kG 为 G 定义 的 Ho pf代数 , B 为右 妇口~余模代数 , M 为任意 华 (A , B ) H o p f 模 , 则 八:M oo 凡B ~ M ; 如(, À 凡b ) 一mb 为 (A , B ) H o p f 模同构 , 当且仅当存 在 价 , 咖任Ho m .(A , B ) , ‘任A , v 。任A 几乎所有的‘, , ( a) 一。, 使 , 一 (, À s) 。 , 且 习 , , 叭才〔人 ~ 产七. 证明: 只须证必要性. B 为 G 一分次代数 , M 为分次模 , 由于 如 为同构 , 知 B 为强分次 环. 于是V 令 , 任G , 凡一lB , ~ B : = B 。 , 故必有正整数 n , 及 拼一‘任凡一 : , ‘e B , 使 习脚一丫 = 1 . 好: A ~ B ; 好(叮) 二 b了一‘ , 好(古) = 0 , ( 古笋 ‘) , 必: A ~ B ; 必(‘ ) ~ e 犷, 必(占) ~ 0 , ( 占转 口) ; (好À s) 记(口) ~ 诃(的 O 。一 ‘ ~ 付一 ‘ º d 一‘ = 附(的 , ( 好º s)己(占) ~ 0 ~ 阿(于) , 把好, 君线性地扩张到 kG 上 , 则 阿~ (好º s) 记 , 令 A 取遍一切 口任G , ‘~ 1 , 2 , … , n , 的足标 , 则 习供 , 叭 ~ 衅 , 且 v 。 任 A , 似(a) ~ 。对几乎所有的 ‘任 A 成立 . 伞 命题 2 表明 , 定理 l对 A ~ kG 所给出的条件是使 如 为同构的充要条件. 推论 1 设 A , B , M 如定理 1 , 则 M 。= O 当且仅当 M ~ 0. 推论 2 设 A , B 及其所满足的条件如定理 1 , 则 B 是左 B0 一投射模. 证明: 令{。}为 A 的基 , 定义:九 :B ~ B ;若 , (。)一 习b, À a , , 令儿(b) 一 瓦 则对几乎 所有的 ‘, 人(b) = 。, 由定理 1 , b 一 习习只九(b冲(a 户 , F , 令必: F , B , 必(匀) ~ 碑(a 户 , 则 B 为 F 的直和项 , B 以符号 〔勺 }“ 为基构造左 B 。一 自由模 为左 B 。一投射模. 一 7 一 定理 2 设 A , B 及其所满足的条件如定理 1 , 且存在 i任A 使 价(1 ) ~ 1 , 则作为左 Bo 一模 , B 。 为 B 的直和项. 证明 : 只 : B ~ B0 ; 尸‘( b) 一 习b0 , (b : ) , 则不难指出 只 为 B 到凡 的投影 , 故 B 。 为 B 的 直和项. 推论 3 设 A , B 及其条件如定理 2 , 则 B 为忠实平坦左 B0 一模. 证明 : 由推论 2 , B 为投射左 B0 一模 , 因而是平坦的左 B0 一模. 设 N 为任意的右 B0 一模 , N 护o , 则 N À Bo B 二 N º 凡 (B oO B :)兰N O N 因a0 B 、笋。 , 故 B 为忠实平坦左 B0 一模 · 设 M 会表右(A , B ) H oP f 模范畴 , M 凡表右 B0 一模范畴 , 令 R : M 会~ M 凡 , M 巨 M 。 , ‘ M , 。 ~ 材会;“ 卜 材À B。丑.材会(乙(v ) , 材)三材、 (v , 尺 (材)) , 户 L ( V ) ~ M , 几 V ~ R (M ) ; 件(v ) = g (uº 凡 1 ) , V ~ R ( M ) : L ( V ) ~ M : 介(vÀ 凡b ) = f (v )b · 定理 3 设 A , B 满足定理 2 所述条件 , 则 M 益与 M ao 等价· 特别 , 对任意的右 B0 一模 M , 有(M À , 。B ) 。 = M 因soB 。兰M · 证明 : 由定理 l及推论 3 即得. 推论 4 设条件如定理 2 , M , N 任M 会, f : M ~ N 为(A , B ) H 叩f模同态 , 则 f 为单射 、满 射 、双射 , 当且仅当 f 在 M 。 上的限制为单射 、满射 、 双射. 在【4〕中 , Do i 定义了一个 H 叩f代数 A 与一个 A 一余模代数 B 的 :m ac h 积 # (A , B ) , 我们 对# (A , B ) 作进一步的讨论 · 通 过 作用 了一b = 习f(b :)b 。 , B 为左 # (A , B 卜 模 , 并且该作用诱导出代数同 态 : 二 : # ( A , B ) ~ E n d ao ( B ) , ‘ (f ) ( b ) ~ 了一b· 命翻 3 设 A , B 满足定理 2 的条件 , 且 H 叩f代数 A 的对映(a nt 币ed e) :为双射 , 则上述 定义的 二 为代数同构. 证明 : 与文【4〕中定理 4.5 相同. # (A , B ) 具有下列性质 : 定义 A。# (A , B ) ~ # ( A , B ) ; 4 º f lwe 卡 a , f ; ( a , f ) ( b) 一f (:(a )b ) , 则 (l) (l, f ) ( d ) = f ( : ( 1) d ) 二f (d )冷1二f = f ; ( 2) (b二(a , f ) ) ( d ) 二 (a二f )(:(b)d )~ f (:(a ):(b)d ) ~ f (:(兔)d )= ((ba )二f )(d )今 b , ( a二f ) ~ (ba ), f , 故# (A , B ) 为左 A- 模. 类似地定义 # (A , B ) º A ~ # ( A , B ) ; 了º a 巨 了~ a ; (了甲a) (b) ~ f(bs (a) ) , 可直接验 证 # (A , B ) 为右斗模. 运算“一 ” , “一 ” , “ # ”有如下关系. 定理 4 设 A 为 H opf代数 , B 为右 A 一余模代数 , f, g 任# (A , B ) , a 任A , 则 f # (g 一a) 一 名((a:一f )# g )一a‘ · 证明 : V x 任A , ( 习((a:一了)# g )一a:)(x) = 习((a:一厂)# g (x s(a , ) ) 一 习(a3一了)丈(;(。s(a , ) ) ) : x , : ( * ) a 3 ) ( g ( x : : ( a : ) ) ) 。 二 习了(g ( (x :s(a , ) ) ) : x : s ( a : ) a 3 ) ( g ( x Z s ( a : ) ) ) 。 ~ 名f(((, a)(x:)):x, ) ( ( , a)(x:))。 ~ ( f # ( g ~ a ) ) ( x ) , 拿 一 8 一 故 了# (g一a) 一 习((a:一f )# g)一a、. 设 A 为 Ho pf代数 , B 为右 A- 余模代数 , 则 B 典范地成为 A0 一模代数 , 于是可以构造sm as h 积 B # A0 , 我们指 出 , 作为代数 , B # A0 可以嵌入 # (A , B ) . 事实上 , 令 i: B # A0 ~ # (A , B ) , i ( a # f ) ( h ) = f ( h ) a . (1 )i 为单射 , 因若 i( 艺巧# f, ) 二 。 , 可设 {f, ) ;一 :线性无关 , 取{h , } ; _ l g A 使 f;(h , ) 二J一1 凡 , 于是 。一 ‘(习、 # 儿)(h ,) 一 九(ht )a, * a, , , = 1 , 2 , … , 承 这说明 i为单射 , (2 ) i 还是代数同态 , ( ‘(a # f ) # ‘(b # g ) ) (h ) = 习‘(a # f ) ( (‘(b # g ) (h :) ) :h :) (‘(b # g ) ( , : ) ) 。 ‘ 习‘( a # 了)(g (, : ) b , , : )。。 二 习g(, 2) (‘(a # 了)(。:, : ) )。。 二 名:(, : )了(认* :)砧。 一 习g(, : ) fl ( 。:)几(, , ) 动。 , 而 ‘(a (人一b)# 几: )(h)一 习(几g )(h)a (人一b) 一 习几(h, ) g ( h Z ) afl ( 认)氏一 习g(, 2 ) fl (。:)几(, : )叭 , 故 ‘(a # f ) # ‘(, # 。) 二 ‘(习a(fl 一, ) # 几‘) 一 ‘( (a # f ) (b # g ) ). i为代数单同态 , B # Ao 可看成 # (A , B ) 的子代数 , 特别当 di m A < co 时 , i 为代数同构. 最后 , 我们来定义 A 一余模代数 B 的 Jac ob so n 根 . 设材任M 台, 若材刀护。, 且 M 没有非零 的子(A , B ) H 叩f模 , 则称 M 为既约的(A , B ) H oP f 模 , 定义 B 的右 H op f一 J ac o b so n 根为所有非 零既约(A , B ) H 叩f模在 B 中的零化子之交 , 并记为尸(B ). 显然当 A 二kG 时 , 尸 为分次代 数 B 的分次 Jac ob so n 根. 利用〔幻中定义的左 (A , B ) Ho p f 模 , 可类似地定义 B 的左 H 叩f- Jaeobso n 根 , 并记为 尸(B). 设 B 为右 A 一余模代数 , 若 di m A < co , 则我 们有 (1) M 〔刀材人骨M 任 , # , · M , (2 ) M 任 Ma : , · 、M e 州.事实上 , (1 ) M e , 妒 , 定义 (a # f )m = 习f(, : ) , , 则 M e , 二 , · M , 反 之 , 若 M 〔 , : 、“ , 设 (h ;, 人}分别为A , A ’ 的对偶基 , 令 p: M 一M º A , P( , ) 二 习(加)O h‘, 由于 了(二)= 名(fl a) (几, )。p(, ) = 习ao m。因 al m :, 因此 M 任, M 人 , (2 ) 若 M 〔M 。犷 , 定义 A .在 M 上的作用为介诊, 。(f) , 则 M 为左 A 一模 , 因此 M 为 右A- 余模. 令 p : M ~ M 因A 为结构映射 , P( , ) 二 名(人, ) º h ‘ 二 习 , , ( 关) º 气. 又因为 , (, ) 二 名(fl , ) (几a) = 习fl (. 、) , 。人(a、) a 。 一 名 , ( m , a : ) , 。a 。 , 故 , (。)一 习 , 。a0 º , i a : , M 任 材盛. 反之 , 若 M e M 会, 定义 , (a # f ) ~ 就f )( 二a) , 这里 亏表 示 A 的对 映 :的逆 , 则 M 任 M s: , 二 命翻 4 设 B 的右 A 一余模代数 , 若 di m A < co , 则尸(B )~ J(B # A .)门B 二J六B ). 一 9 一 证明: 由上面的讨论即知. 由本命题知 , 若 di m A < co , 则左 、右 H 叩f一 J ac ob so n 根相同. 由于分次环的分次 Jac ob so n 根为分次理想 , 我们在较强的条件下有 : 命 题 5 设 A , B 及其所述条件如定理 1 , 且 叭(A )9 2 (B ) (Z (B )表示 B 的中心 ) , 则 J歹(B )为 B 的 A 一余不变理想 , 即 P( J夕(B )) g J尸(B )º A. 证明 :设 r〔J尹(B ) , M 为任一既约 (A , B ) H 叩f模 , 则 M r一 0 , 特别 M or 一。. 令 P(r) ~ 名r。 º r , , 而{r 、 } 线性无关 , 于是 v m 任 M 。 , p ( 饥:) 一 习mr 。因 r:= “, , r 。 一 O , 故 M oro 一 0. 又 v m 任 M , , 一 习(习m 。价(, , ) 叭(m Z) ) , m r 。 一 习习m 。只(m 、)。碑(, 2) 一 o , r 。 任 J尹(B ) , P ( J 尹r(B )) 二 J尹(B )因 A . 定理 5 设 A , B 及其所述条件如定理 1 , 且 叭(A )二z (B ) , V 1 , 则 J (B 。) ~ J 尹(B )门B 。 , 这里 J (B 。)表 B 。 的 Jaeo bson 根. 证明:设 , e 邓(B )门B 。 , M 为既约凡一模 , 则 M À e0 B 任M 乳 故 M À 凡 B 还是 既 约的 (A , B ) H oP f 模 , 于 是 (M À B。 B )r 一 0. r任J (B 。) , J 少(B )自B og J (B 。) . i任人; 存在 i〔A 使 价(1 ) ~ 由定理 3 , ( M À 凡B ) 。兰M , 又 M 二 M º B。 B , M : 一 0 , 反之 , 设 r任J (B 。) , M 为任意的既约 (A , B ) H oP f 模 , 由于 B 为 既 约 右 B O一模 , 习(习只(m 。) r叭(m ;) ) 公任人 J ( B 。) . M o r 一 O , V m 任 M , m r ~ 为左 几一忠实平坦模 , 故 M 。 名(习只 (m 。) 叭(m :))r 一 ~ o , r 任 J尸(B ) 门B 。 , J ( B 。 ) g 尸(B )门B 。 , 因此 了尹(B ) 门B 。 ~ 作者感谢谢部杰 , 牛风文 教授 的指导. 参 考 文 献 M ontgome 订 , 5 . , 〔汹川em P or必.y j 了ath . , 1 9 8 5 ; 4 3 : 1 9 1 一20 7 Di o , Y . , 〔b 功m . 刀岁加口 , 1 9 8 3 ; 1 1 ( 3 ) : 2 4 3 ~ 2 5 5 A be , E . , H o p f A l g e b r as , C a m b rid 罗 U 垃* rsit y P ress , 1 9 8 0 】) 〕i , Y . , Co 成、. A 止g ebra , 1 9 8 4 ; 1 2 ( 1 0 ) : 1 1 5 5 ~ 1 1 6 9 1为i, Y . , C o 切m . 习g‘占r口 , 1 9 8 5 ; 1 3 ( 1 0 ) : 2 1 3 7 ~ 2 1 5 9 飞J, .J, ‘J门JfeeJ臼以口印氏 H o P f A l g e b r a s C o a e tin g o n A l g e b r a s L iu G u ilon g (了心￡众以‘ of M at h em at 如 , J 以动 口月初口 , 妇 , ( 场‘”岁入un T h e g r o u p 一 g r a d e d r in g s a r e in s t a n e es o f H o P f a lg e D io ’ 5 r e s u lt b r a A ac t i n g o n a l g e b r a B . T h e p r e - s e n t P a P e r e o v e r s s u e h e oa e t i o n a n d e 火P a n d ed s tn as h P r od u e t # ( A , B ) 1 5 s t u d i e d f a r t h e r , a n d t h e J a e o b s o n f i n e d . a b o u t e l e f t e o m ed u l e a l g e b ra . T h e r a d i e a l o f e o m o d u l e a l g e b r a 1 5 d e - 伞 Keyw ordS H oPfalgebra , e o a e t i o n , s m a s h P r od u e t 一 10 一