高中数学高考导数题型分析及解题方法(免费下载)

导数型及解题 一、考试 导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一：利用导数研究函数的极值、最值。 1． 在区间上的最大值是 2 2．已知函数 处有极大值，则常数c＝ 6 ； 3．函数 有极小值 －1 ,极大值 3 题型二：利用导数几何意义求切线方程 1．曲线 在点 处的切线方程是 2．若曲线 在P点处的切线平行于直线 ，则P点的坐标为 （1，0） 3．若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为 4．求下列直线的方程： （1）曲线 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线 过点P(3,5)的切线； 解：（1） 所以切线方程为 （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为 ，则 ①又函数的导数为 ， 所以过 点的切线的斜率为 ，又切线过 、P(3,5)点，所以有 ②，由①②联立方程组得， ，即切点为（1，1）时，切线斜率为 ；当切点为（5，25）时，切线斜率为 ；所以所求的切线有两条，方程分别为 题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值 1．已知函数 的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数 处有极值，求 的表达式； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数 在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围 解：（1）由 过 的切线方程为： 而过 故 ∵ ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴ （2） 当 又 在[－3，1]上最大值是13。 （3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又 由①知2a+b=0。 依题意 在[－2，1]上恒有 ≥0，即 ①当 ； ②当 ； ③当 综上所述，参数b的取值范围是 2．已知三次函数 在 和 时取极值，且 ． (1) 求函数 的表达式； (2) 求函数 的单调区间和极值； (3) 若函数 在区间 上的值域为 ，试求 、 应满足的条件． 解：(1) ， 由题意得， 是 的两个根，解得， ． 再由 可得 ．∴ ． (2) ， 当 时， ；当 时， ； 当 时， ；当 时， ； 当 时， ．∴函数 在区间 上是增函数； 在区间 上是减函数；在区间 上是增函数． 函数 的极大值是 ，极小值是 ． (3) 函数 的图象是由 的图象向右平移 个单位，向上平移4 个单位得到的， 所以，函数 在区间 上的值域为 （ ）． 而 ，∴ ，即 ． 于是，函数 在区间 上的值域为 ． 令 得 或 ．由 的单调性知， ，即 ． 综上所述， 、 应满足的条件是： ，且 ． 3．设函数 ． （1）若 的图象与直线 相切，切点横坐标为２，且 在 处取极值，求实数 的值； （2）当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数 总有两个不同的极值点． 解：（1） 由题意 ，代入上式，解之得：a=1，b=1．　　 （2）当b=1时， EMBED Equation.3 　　　　　　　 因 故方程有两个不同实根 ．　　 不妨设 ，由 可判断 的符号如下： 当 EMBED Equation.3 ＞０；当 EMBED Equation.3 ＜０；当 EMBED Equation.3 ＞０ 因此 是极大值点， 是极小值点．，当b=1时，不论a取何实数，函数 总有两个不同的极值点。 题型四：利用导数研究函数的图象 1．如右图：是f（x）的导函数， 的图象如右图所示，则f（x）的图象只可能是（ D ） （A） （B） （C） （D） 2．函数 ( A ) 3．方程 ( B ) A、0 B、1 C、2 D、3 题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围 1．设函数 （1）求函数 的单调区间、极值. （2）若当 时，恒有 ，试确定a的取值范围. 解：（1） = ，令 得 列表如下： x （-∞，a） a （a，3a） 3a （3a，+∞） - 0 + 0 - 极小 极大 ∴ 在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减 时， ， 时， （2） ∵ ，∴对称轴 ， ∴ 在[a+1，a+2]上单调递减 ∴ ， 依题 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 即 解得 ，又 ∴a的取值范围是 2．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2）若对x(〔－1，2〕，不等式f（x）(c2恒成立，求c的取值范围。 解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f(（x）＝3x2＋2ax＋b 由f(（ ）＝ ，f(（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝ ，b＝－2 f(（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表： x （－(，－ ） － （－ ，1） 1 （1，＋(） f(（x） ＋ 0 － 0 ＋ f（x） ( 极大值 ( 极小值 ( 所以函数f（x）的递增区间是（－(，－ ）与（1，＋(），递减区间是（－ ，1） （2）f（x）＝x3－ x2－2x＋c，x(〔－1，2〕，当x＝－ 时，f（x）＝ ＋c 为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。 要使f（x）(c2（x(〔－1，2〕）恒成立，只需c2(f（2）＝2＋c，解得c(－1或c(2 题型六：利用导数研究方程的根 1．已知平面向量 =( ,－1). =( , ). （1）若存在不同时为零的实数k和t，使 = +(t2－3) ， =-k +t ， ⊥ ， 试求函数关系式k=f(t) ； (2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)－k=0的解的情况. 解：(1)∵ ⊥ ，∴ =0 即[ +(t2-3) ]·(-k +t )=0. 整理后得-k +[t-k(t2-3)] + (t2-3)· =0 ∵ =0， =4， =1，∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k= t(t2-3) (2)讨论方程 t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个数. 于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表： t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞) f′(t) + 0 - 0 + F(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 当t=－1时，f(t)有极大值，f(t)极大值= . 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=－ 函数f(t)= t(t2-3)的图象如图13－2－1所示， 可观察出： (1)当k＞ 或k＜－ 时,方程f(t)－k=0有且只有一解； (2)当k= 或k=－ 时,方程f(t)－k=0有两解； (3) 当－ ＜k＜ 时,方程f(t)－k=0有三解. 题型七：导数与不等式的综合　 1．设 在 上是单调函数. （1）求实数 的取值范围； （2）设 ≥1， ≥1，且 ，求证： . 解：（1） 若 在 上是单调递减函数，则须 这样的实数a不存在.故 在 上不可能是单调递减函数. 若 在 上是单调递增函数，则 ≤ ， 由于 .从而0