结构动力学ch2－1

nullnull第二章 单自由度系统的振动主要内容 主要内容 §2－1 单自由度系统的无阻尼自由振动 §2－2 单自由度系统的有阻尼自由振动 §2－3 单自由度系统简谐荷载作用下的 受迫振动 §2－4 一般荷载作用下的响应 §1.1 单自由度系统的无阻尼自由振动 §1.1 单自由度系统的无阻尼自由振动 系统的自由振动规律反映了系统的动力特性，这些动力特性和它在振动荷载作用下的响应有密切关系，所以自由振动具有重要意义。 自由振动：无外界干扰的体系振动形态称为 自由振动（free vibration）。null无阻尼自由振动：如果阻尼系数等于零，则这种自由振动称为无阻尼自由振动 。 （undamped free vibration） 假设由于外界干扰，质点离开平衡位置，干扰消失后，质点将围绕静力平衡点作自由振动。 null单自由度体系动力分析的重要性①具有实际应用价值，或进行初步的估算。 ②多自由度体系动力分析的基础。自由振动(free vibration)：振动过程中没有干扰力作用，振动 是由初始位移或初始速度或两者共同影响下所引起的。一、自由振动微分方程的建立（依据原理：达朗伯原理）mk1、刚度法(stiffness method)m 从力系平衡建立的自由振动微分方程 2、柔度法(flexibility method)从位移协调角度建立的 自由振动微分方程 取振动体系为研究对象， 惯性力：δ=1/k(D’Alember’s principle)null二、自由振动微分方程的解null（1）自由振动的解 单自由度体系无阻尼自由振动微分方程为： 令 ，则上式改写为： 齐次微分方程，其通解为：null 系数 和 可由初始条件（initial condition）确定。 设在初始时刻 时，有初始位移 和初始速度 ，即： 求得： null于是： 或： 简谐振动的形式 A：振幅， ：初相位角。null（a）没有初始速度，仅由初始位移引起的振动按 的规律变化； （b）没有初始位移，仅由初始速度引起的振动按 的规律变化; 比较两式得： （c）既有初始位移，又有初始速度引起的振动形态按方程 进行。nullnull（2）单自由度系统的动力特性 （1）周期T：经过一个周期T后，质点又回到了原来的位置，因此周期T称为自振周期或固有周期（natural periold），单位为s。 （2）圆频率 ：自由振动的圆频率（circular frequency）， 它是反映系统动力特性的一个重要参数，单位为rad/s。 null （3）工程频率f ： ， 单位为Hz。 计算自振周期的几种形式：（1）由周期和圆频率的定义可知：（2）将 代入上式，得：null （3）将 代入上式，得： （4）令 ，得： null结构自振动周期重要性质： （1）自振动周期与结构的质量和刚度有关，而且只与这两者有关，与外界干扰因素无关。 干扰力的大小只能影响振幅A的大小，而对结构自振周期T的大小没影响。null（2）自振周期与质量平方根成正比，质量越大，则周期越大；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，则周期越小。要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。null（3）自振周期是结构动力性能的一个重要的数量标志。 a、两个外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力性能相差很大； b、两个外表看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下其动力性能基本一致。地震中常出现这样的现象。null 圆频率的计算公式： 圆频率也仅与结构参数k和m有关，即仅与结构体系本身的固有性质有关，而与初始干扰无关，故称为固有频率或自振频率。 null例2-1: 求刚架的自振频率，不考虑横梁的变形。null 解： 使横梁发生单位位移所需外力k为: 自振频率： null例2-2 悬臂梁长度L=1米，其末端装一重量Q=1221N的电动机，梁为钢梁，弹性模量E=2.1×1011N/m2，惯性矩I=78×10-8m4，与电动机重量相比梁的重量可以略去。求结构的自振圆频率及周期。 null 解： 悬臂梁在竖向力Q作用下，端部的竖向位移为 自振频率： 自振周期： （s） null例2-3: 梁AB支承如下图所示，重量可以不计。在梁的中点置一重为W的物体M时，其静挠度为yst。现将物体M从高h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统振动的规律。null 解： 取O点为坐标原点，x轴铅直向下，则M点的运动规律可表为: 则，系统振幅和初相角为：因物体落到C点后才开始振动，所以null于是另外，需求出自振圆频率：null例如，设，则故所要求的运动规律为：null如果h=0，即将物体无初速地放置在梁中点， 则， 对比以上结果可见，物体从10cm高处落到梁上所引起的振动的振幅是将物体突然放到梁上所引起的振动振幅的7倍（2.86/0.4）。 §1.2 单自由度系统的有阻尼自由振动 §1.2 单自由度系统的有阻尼自由振动 1 有阻尼自由振动的解 如果体系内存在阻尼，单自由度体系的自由振动微分方程为 : 令：null则方程可改写为： 设方程解的形式为： 特征方程： 特征方程的解为： null 的通解为： C1 和 C2为两个积分常数，由初始条件确定。 有阻尼自由振动的特性与根式（ ）的符号有关。 所对应的阻尼系数c称为临界阻尼系数，记为ccr，其计算公式为： null 称为阻尼比（damping ratio） 反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。 一般结构或构件： <5%, 阻尼比是测出的。 null（1）当 ＜1时 体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻尼体系（under damping）。式可写为 : 其中， 称为阻尼固有频率。 振动微分方程 的解为： null 或： 其中：A1 及 A2或 A 及 由初始条件确定。 设当 t=0 时，初始位移 ，初始速度 ，将此初始条件代入方程解， 可得： null或： 表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振动，其往复一次的周期时间为： 阻尼对周期影响？null 其衰减简谐运动如下图所示。在有阻尼自由振动中，由于阻尼不断消耗能量又没有外界能量补充，因此结构系统总能量不断减少，振幅不断衰减。null（a）阻尼对固有频率的影响 有阻尼和无阻尼的固有频率 和 间的关系由式 确定。在 ＜1的低阻尼情况下， 恒小于 ，而且 随 的增大而减小。 null 但一般材料的阻尼比都很小，例如钢（0.004-0.03）,木材（0.04），混凝土（0.05-0.08）等。对一般建筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。如果 ＜0.2则0.96＜ ＜1，即 与 的值很接近。所以说阻尼对固有频率的影响很小，一般可认为 。 阻尼对固有频率基本无影响！null（b）阻尼对振幅的影响 振幅为 ，阻尼比出现在指数项，对振幅有较大影响。 经过一个周期T后，相邻两个振幅 与 比值为： 值愈大，振幅衰减速度愈快。 null两边进行对数变换后可得： 如果 ＜0.2，则 ， null 称为对数衰减率（logarithmic decrement），表征系统的阻尼情况，用符号 表示，定义为两个相邻的同号位移值之比的自然对数，即: 对数衰减率与阻尼比只差一个常数倍。null 用 和 表示两个相隔n个周期的振幅，可得： 当 ＜0.2时，即 时， 对于阻尼较小的体系，取相隔几周的响应峰值来计算阻尼比，可以获得更高的精度。null（2）当 =1时 体系阻尼等于临界阻尼（critical damping）它是在自由振动响应中不出现振动所需的最小阻尼值。此时方程 的特解为 设初始条件： t=0时初始位移为 ，初始速度为 ，则：null 因此： 运动不呈振动形式，按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。null（3）当 ＞1时 体系的阻尼大于临界阻尼时，称为超阻尼体系（over damping）。这时方程的特征根为 null相应的通解为: 设 t=0时，初始位移称为 ，初始速度为 ， 待定系数为： 故：null 运动也不再呈振动形式，而是按指数规律随时间t的增大而逐渐衰减以至消失。 图表示 时 的时程曲线。从该图可以看到，系统不出现振动现象，同时以 时衰减得最快。 null 2 阻尼的量测 下图为自由振动衰减曲线。若由实验得到此曲线就可用来确定阻尼比。 null如果 ＜0.2，则 ，若考虑两相邻幅值： 为了获得更高的精度和避免偶然因素产生的误 差，可以量测相隔m个周期的两个幅值。自由振动法null例2-4: 一个单层建筑物被理想化为无重柱支承的刚性梁，如图。使横梁产生0.2m的位移需要在横梁处施加20KN的横向作用力，在产生初始位移后突然释放，往返摆动的最大位移为5mm，而循环一周后的位移为4mm，结构的周期为1.4s。求结构的 、c及振动6周后的振幅。null 解: 结构的周期： 横梁的有效重量为： 体系的固有圆频率为：null对数衰减率： 阻尼比和阻尼系数分别为： 振动6周后的振幅为null例2-5 从实测得知结构的阻尼比。设结构在初始位移的情况下开始振动，试求振动幅衰减到初始位移的5%以下时所需的振动循环次数。null解：设振动n周后，振幅降到初始位移的5%以下。 因为, 则有, 取 ，即经过五周振动后，振幅可降到初始位移的5%以下。