数列公式

等比数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q示。 （1）等比数列的通项公式是：An=A1×q^（n－1） 若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。 （2 ) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) （3）从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n} （4）等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 　　性质： 　　①若 m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，则am·an=ap·aq； 　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. 　　“G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”. 　　(5) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an*q)/(1-q)（q≠1） Sn=n*a1 （q=1） 　　在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 　　等比数列在生活中也是常常运用的。 　　如：银行有一种支付利息的方式---复利。 　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金， 　　再计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期 等差数列公式 　　等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d 　　或an=am+(n-m)d 　　前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=(a1+an)n/2 　　若m+n=p+q则：存在am+an=ap+aq 　　若m+n=2p则：am+an=2ap 　　以上n均为正整数 　　文字 　　第n项的值=首项+（项数-1）*公差 　　前n项的和=（首项+末项）*项数/2 　　公差=后项-前项 对称数列公式 　　对称数列的通项公式： 　　对称数列总的项数个数：用字母s表示 　　对称数列中项：用字母C表示 　　等差对称数列公差：用字母d表示 　　等比对称数列公比：用字母q表示 　　设，k=(s+1)/2 一般数列的通项求法 　　一般有： 　　an=Sn-Sn-1 （n≥2） 　　累和法（an-an-1=... an-1 - an-2=... a2-a1=...将以上各项相加可得an）。 　　逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数列）。 　　化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的和成等差或等比数列）。 　　特别的： 　　在等差数列中，总有Sn S2n-Sn S3n-S2n 　　2(S2n-Sn)=(S3n-S2n)+Sn 　　即三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列 　　不动点法（常用于分式的通项递推关系） 特殊数列的通项的写法 　　1,2,3,4,5,6,7,8....... ---------an=n 　　1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......-------an=1/n 　　2，4，6，8，10，12，14.......-------an=2n 　　1,3,5,7,9,11,13,15.....-------an=2n-1 　　-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^n 　　1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......--------an=(-1)^(n+1) 　　1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1....------an=[(-1)^(n+1)+1]/2 　　1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......-------an=cos(n-1)π/2=sinnπ/2 　　9,99,999,9999,99999,......... ------an=（10^n)-1 　　1,11,111,1111,11111.......--------an=[（10^n)-1]/9 　　1，4，9，16，25，36，49，.......------an=n^2 　　1,2,4,8,16,32......--------an=2^(n-1) 数列前N项和公式的求法 　　(一)1.等差数列: 　　通项公式an=a1+(n-1)d 首项a1,公差d, an第n项数 　　an=ak+(n-k)d ak为第k项数 　　若a,A,b构成等差数列 则 A=(a+b)/2 　　2.等差数列前n项和: 　　设等差数列的前n项和为Sn 　　即 Sn=a1+a2+...+an; 　　那么 Sn=na1+n(n-1)d/2 　　=dn^2(即n的2次方) /2+(a1-d/2)n 　　还有以下的求和方法: 1,不完全归纳法 2 累加法 3 倒序相加法 　　(二)1.等比数列: 　　通项公式 an=a1*q^(n-1)(即q的n-1次方) a1为首项,an为第n项 　　an=a1*q^(n-1),am=a1*q^(m-1) 　　则an/am=q^(n-m) 　　(1)an=am*q^(n-m) 　　(2)a,G,b 若构成等比中项,则G^2=ab (a,b,G不等于0) 　　(3)若m+n=p+q 则 am×an=ap×aq 　　2.等比数列前n项和 　　设 a1,a2,a3...an构成等比数列 　　前n项和Sn=a1+a2+a3...an 　　Sn=a1+a1*q+a1*q^2+....a1*q^(n-2)+a1*q^(n-1)(这个公式虽然是最基本公式,但一部分目中求前n项和是很难用下面那个公式推导的,这时可能要直接从基本公式推导过去,所以希望这个公式也要理解) 　　Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q); 　　注: q不等于1; 　　Sn=na1 注:q=1 求和一般有以下5个方法: 1,完全归纳法（即数学归纳法） 2 累乘法 3 错位相减法 4 倒序求和法 5 裂项相消法