38ipho安全气囊

林明瑞 國立台灣師範大學物理系 E-mail：mjlin@phy03.phy.ntnu.edu.tw 奧林匹亞試題 ■668■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 文/ 林明瑞 本刊徵得物理奧林匹亞國家代表隊選訓小組的同意，每期精選若干試題和解 答，以饗讀者。由於本期所選的試題和解答較長，僅刊登一道試題。 【本期試題評註】：國際物理奧林匹亞競賽的試題都是主辦國精心設計的作品， 研讀這些試題和解答，對物理定律的深入理解和應用，以及鍛鍊思考和分析的能 力，有很大的幫助。本期挑選 2007 年第 38 屆國際物理奧林匹亞競賽（伊朗主辦） 的一道理論題，討論汽車的安全氣囊的啟動問題，涵蓋了力學和電學原理的應用。 汽汽 車車 的的 安安 全全 氣氣 囊囊 在本問題中，我們處理設計汽車加速度感測儀的簡化模型，其目的在當汽車發生碰撞時，用於啟動 安全氣囊。我們希望能建構一套機電系統，當此機電系統的減速度超過某一極限時，使得系統中與電有 關的參數之一 （例如電路中某一點之電壓）超過一個門檻值，就會啟動安全氣囊。 【註】：在本問題中，重力可以忽略。 k d 圖 1 奧林匹亞試題 ■669■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 1. 如圖 1 所示的一具平行板電容器，每一片電極板的面積皆為 A，兩平行板的間距為 d，且此間距遠小於平行 板的尺寸。已知兩平行板之一由一條彈力常數為 k 的彈簧與牆壁相連，另一平行板則固定不動。當兩平行 板之間相距 d 時，彈簧既不被壓縮也不被伸長，亦即彈簧處於不受力的狀態。假設介於兩平行板之間的空 氣的介電係數等於真空的介電係數 0ε ，則在兩平行板相距 d 時，電容器的電容為 dAC /00 ε= 。今將電荷 量 Q+ 與 Q− 分別置於兩平行板上後，使系統達到力學平衡狀態。 1.1 計算兩平行板相互作用的電力 EF 。 1.2 設 x 為連接彈簧的平行板的位移，求 x 值。 1.3 求在平衡狀態時，電容器兩平行板之間的電位差 V（以 Q、A、d、和 k 表示之）。 1.4 設 C 為電容器的電容，定義為平行板之電荷量和電位差的比值。求 0/ CC （以 Q、A、d、 和 k 表示之）。 1.5 求儲存於此系統的總能量 U （以 Q、A、d、和 k 表示之）。 如圖 2 所示，一質量 M 連接到一質量可忽略的導電平板，又連接到兩條彈力係數皆為 k 的彈簧。該導電平板可 以在另外兩片固定的導電平板之間自由的往復移動。所有的導電平板皆相似並有相同的面積 A，故這三片平板 構成兩個電容器。 如圖 2 所示，兩片固定平板分別連接到電位 V 與 V− 上，而居中的導電平板則經由一雙投 開關與地相連。假設連接中間可動導電平板的電線，不會影響該平板的運動，且在運動時，這三片導電平板一 直維持彼此平行。 當整個系統未減速時，可動導電平板分別和每一片固定平板之間的距離皆為 d，d 遠小於平 行板的尺寸，且可動導電平板的厚度可忽略不計。 2. 可動導電 平板 a 固定導電 平板 固定導電平板 V α β SC V M kk 圖 2 奧林匹亞試題 ■670■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 若開關接通α 狀態，居中的可動導電平板經一導線直接與地相連，則 2.1 求每一電容器的電荷量，以 x 之函數表示之。 2.2 求可動導電平板所受的總電力 EF ，以 x 之函數表示之。 2.3 假設 xd >> ，並且與 2d 項相比， 2x 項可被忽略，試簡化前一小題的答案。 2.4 求作用在可動導電平板上的總力(電力和彈簧力之和)，以 xkeff− 表示，並寫出 effk 的數學 式。 2.5 將電容器系統與汽車所作運動的等加速度 a，以 x 之函數表示之。 3. 現在假設開關接通β 狀態，居中的可動導電平板經由一電容器與地相連，此電容器的電容為 SC ， 且在起始時不帶電。若可動導電平板偏離兩固定平板之間中點的位移為 x ，則 3.1 將電容器 SC 兩極板之間的電位差 SV ，以 x 之函數表示之。 3.2 再次假設 xd >> ，並且與 2d 項相比， 2x 項可被忽略，試簡化前一小題的答案。 4. 在此部分的問題，我們將藉著調整參數，使得安全氣囊在正常煞車減速時，不會被啟動；只有當汽車 發生碰撞時，安全氣囊能以夠快的速度啟動，以避免司機的頭撞到擋風玻璃或方向盤。如同第 2 題所 得到的結果，作用在可動導電平板上的電力和彈簧力的總力，可以一個等效彈力係數為 effk 的彈簧表 示。因此整個電容系統和汽車做等加速度 a 的行為，與一個質量為 M 和彈力常數為 effk 構成的彈簧 系統，受到定值加速度 a 影響下的行為相似。這個定值加速度在本題中就是汽車的加速度。 【註】：就此部分的問題而言，之前所做「電容器系統與汽車一起做等加速運動時，電容系統各部分處於 平衡狀態，且相對於汽車為靜止」的假設，不再成立。 假設摩擦力可忽略，並使用下列參數的數值： cm0.1=d ， 22 m105.2 −×=A ， N/m102.4 3×=k ， 22120 /NmC1085.8 −×=ε ， V12=V ， kg15.0=M ： 4.1 使用這些數據，求出 2.3 小題中電力與彈簧力的比值，並証明與彈簧力相較，電力可以忽 略。 雖然我們沒有計算當開關接通 β 狀態時，作用在可動導電平板上的電力，但是在此狀態下，利用類似 的方式，可以證明電力依然很小，可被忽略。 奧林匹亞試題 ■671■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 4.2 如果汽車在等速度運動中，因突然煞車而產生一等加速度 a，則可動導電平板的最大位移 為何？(以適當參數的符號表示之) 假設開關接通β 狀態，且該系統已被設計為當電容器 SC 兩極板之間的電位差，達到 V 15.0=SV 時， 安全氣囊立即被啟動。但我們要求安全氣囊在正常煞車狀況下（即汽車之加速度小於重力加速度 2m/s 8.9=g ），不被啟動，但當加速度超過重力加速度時，則被啟動。 4.3 為達上述目的， SC 值應為多少? 我們在此想要確認安全氣囊被啟動之速度，是否夠快而能防止司機的頭撞到擋風玻璃或方向盤？ 此處假設碰撞發生後，碰撞造成了汽車的減速度值為 g，但司機的頭部則以等速率繼續向前運動。 4.4 自行估計司機頭部與方向盤之間的距離，求出自發生碰撞開始起算，司機頭部撞到方向盤 所需的時間 t1。 4.5 求出自發生碰撞開始起算，安全氣囊啟動所需的時間 t2，並與 t1 比較。假設氣囊一經啟動 後立即張開，則安全氣囊的啟動是否及時? 解： 首先將高斯定律應用在單一帶電板上，可得兩平行帶電板之間的電場強度為 0ε σ=E (1) 式中帶電板的表面電荷密度 A Q＝σ ，Q 為板上的電量，A 為其面積。由於該電場是由兩帶電板所構成， 故單一帶電板對此電場的貢獻為 E 2 1 ，因此兩平行板相互作用的電力為 A QEQFE 0 2 22 1 ε== (2) 利用虎克定律，可得彈簧的恢復力為 kxFm −= (3) 當系統達成平衡時，其所受的合力為零，即 0=+ Em FF vv ，得 Ak Qx 0 2 2ε= (4) 因電場強度為定值，故在平衡狀態時，電容器兩平行板之間的電位差 )( xdEV −= 代入(1)和(4)兩式，可得 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= Akd Q A Qd Ak Qd A QV 0 2 00 2 0 2 1 2 εεεε (5) 奧林匹亞試題 ■672■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 (1.1) 在平衡狀態時，電容器的電容值為 V QC = ，利用(5)式，可得 1 0 2 0 2 1 − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −= Akd Q C C ε (6) (1.2) 儲存在彈簧內的彈性位能為 2 2 1 kxUm = ；儲存在電容器內的電能為 C QU E 2 2 = ， 故儲存在系統內的總能量為 Em UUU += 。利用(4)和(5)兩式，可得 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= Akd Q A dQ Akd Q A dQ Ak QkU 0 2 0 2 0 2 0 22 0 2 4 1 22 1 222 1 εεεεε (7) (2.1) 參看右圖，當可動導電平板偏離兩固定平板間之中點的 位移為 x 時，每一電容器的儲存電量分別為 xd AVVCQ −== 0 11 ε (8) xd AVVCQ +== 0 22 ε (9) (2.2) 利用(2)式，可得可動導電平板所受的總電力為 −=−=′ 0 2 2 0 2 1 21 22 A Q A QFFF EEE εε (10) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +−−= 22 2 0 )( 1 )( 1 2 xdxd AVε (2.3) 題設 xd >> ，將(10)式對 x 展開，僅保留至 x 的一次方項，可得 x d AVFE 3 2 02ε=′ (11) (2.4) 由於兩彈簧的連接方式相當於並聯，故其力常數等於 2k，作用於質量 M 的彈性力為 kxFm 2−=′ (12) 利用(11)和(12)兩式，可得可動導電平板所受的總力為 xkx d AVkx d AVkxFFF effEm −=⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−=+−=′+′=′ 3 2 0 3 2 0 222 εε ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −=⇒ 3 2 02 d AVkkeff ε (13) (2.5) 利用牛頓第二運動定律 MaF =′ 和(13)式，可得電容器系統與汽車所作運動的等加速度 a 為 V V α β SC M kk C2 C1 x 奧林匹亞試題 ■673■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 V V α β SC M kk C2 C1 x x d AVk M a ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−= 3 2 02 ε (14) (3.1) 參看右圖，假設各電容電極板的帶電情形如圖所示， 利用克希何夫定則，可得兩個電路迴路和電荷量的方 程式如下： ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =−− =−− =+− 0 0 0 21 1 1 2 2 s s s s s QQQ C Q C QV C Q C QV (15) 注意 s s s C QV = ，由上式可解得 22 0 22 0 2 2 xd AdC xd Ax VV s s −+ −= ε ε (16) (3.2) 題設 xd >> ，(16)可近似為 AdCd AxVV s s 0 2 0 2 2 ε ε +≈ (17) 由(11)和(12)兩式，可得電力與彈簧力的比值為 3 2 0 kd AV F F m E ε=′ ′ (18) 代入已知的數據，得 9323 2212 106.7 )100.1(102.4 12105.21085.8 − − −− ×=××× ××××=′ ′ m E F F 由上式可知電力和彈性力相比，電力可忽略。 (4.1) 由前題的結果可知作用於可動導電平板的力，主要來自於彈性力 kxFm 2−=′ ， 故當達成平衡狀態時，可動導電平板的位移為 k Max 2 = 可動導電平板的最大位移為上值的兩倍，這情況就如同繫於鉛直懸掛的彈簧下端 的一個重物，自由下落的情形一樣，即 k Maxx == 2max (19) 奧林匹亞試題 ■674■ 物理雙月刊(卅卷六期) 2008 年十二月 當加速度等於重力加速度時，可動導電平板的最大位移為 k Mgx =max (20) 由(17)式可得 AdCd AxVV s s 0 2 max0 2 2 ε ε +≈ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −≈⇒ 12 max0 dV Vx d AC s s ε (21) 代入已知數據，可得 m105.3 102.4 8.915.0 4 3max −×=× ×=x μF100.8F1008 1 100.115.0 105.312 100.1 105.21085.82 511 2 4 2 212 −− − − − −− ×=×= ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −×× ×× × ××××≈ . Cs 設司機頭部與方向盤之間的距離為 l ，其值約為 0.4m~1.0m。當加速度運動剛開始時， 司機頭部相對於汽車的速度為零，故在 t1 時間內，司機頭部相對於方向盤的位移為 s5.0~3.02 2 1 1 2 1 ==⇒= gtgt ll 安全氣囊啟動所需的時間 2t ，等於彈簧簡諧運動的半週期，即 22 Tt = 。該彈簧系統的振盪週期為 s026.0 102.42 15.02 2 2 3 =××== ππ k MT s013.02 =⇒ t 因為 21 tt > ，所以安全氣囊可以及時啟動。