欧拉公式验证1

西安交通大学实验报告 课程： 理论力学 实验名称：欧拉摩擦定理的验证 第 1页 共6页 系别: 电气工程 实 验 日 期：2011年12月20日 专业班级： 钱学森02班 组别： 实验报告日期：2012年3月10日 姓名:杨昂（10045051）杨帆（10045052）杨林（10045053）张恒（10045054）周越（10045055） 实验名称 欧拉摩擦定理的验证 1、 实验任务及要求： 1、 测定两种尼龙绳与环氧树脂材料之间的摩擦系数； 2、 练习设计实验验证欧拉摩擦定理； 2、 实验原理 1、 摩擦因数 （1） 摩擦因数的概念 当物体相互接触并具有相对运动或相对运动趋势时，沿接触面切线方向有阻碍相对运动的力，这个力就叫摩擦力；摩擦力分为静摩擦力和动摩擦力（包括滑动摩擦力和滚动摩擦力）。滑动摩擦力的大小f=μ·N,其中，N为正压力，μ叫摩擦因数，摩擦因数与相互接触的物体材质有关，与接触面的粗糙程度有关，与物体刚度湿度等有关，与接触面积的大小无关。静摩擦力取值范围是0≤f静≤fmax,其中，fmax是最大静摩擦力，为物体运动的临界条件。通常认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 图一 实验原理图 图二 物体受力图 （2） 摩擦因数的测定 如图一所示，将缠有尼龙绳的物体放在环氧树脂材料的斜板上，将量角器贴在斜板侧面上，将细绳一端连在量角器中心，另一端连一重物，使斜面水平放置时，细绳与量角器90°刻线重合。这样，斜面与水平面的夹角θ等于90°与细绳所指刻度之差的绝对值。改变斜面与水平面夹角，读出使物体刚好在斜面上滑动时细绳所指刻度а，则临界角θ=|90°-а|。质量为m的物体在斜面上静止时，物体受重力P，斜面的支持力N与静摩擦力f作用，如图二所示。由受分析知： P=mg N=P*cosθ （1） f≤Nμ=μP*cosθ,其中，μ为静摩擦因数 当物体恰好滑动时，P*sinθ=f,即： θ=|90°-а|，μ=tanθ。 （2） 由此计算出两种材料间的静摩擦因数。 2、 欧拉摩擦定理 如图三所示，柔索包在圆柱体上，包角为β，绳两端的张力为T1和T2，欧拉定理可表述为，柔索两端的张力最大比值为： T1=T2eμβ 其中，β为包角，μ为柔索与圆柱体间的静摩擦因数。 T1 β T2 图三 欧拉定理示意图 3、 实验材料与设备 1、 环氧树脂材料管 管型 内径(cm) 外径(cm) 长度（cm） 大号 10.61 11.39 23.90 中号 5.80 7.23 24.08 小号 3.36 4.64 24.12 2、 环氧树脂材料平板：长 30.75cm,宽 6.24cm厚 0.73cm 3、 蓝色尼龙绳与白色尼龙绳各一根； 4、 量角器一把、60#砂纸两张、100#砂纸两张、双面胶若干、细绳一根、小重物（螺母）一个、厚木板一块； 5、 TP—8000型电子秤一台； 6、 砝码含挂钩一块、沙子若干、沙袋一个。 4、 实验设计 1、 静摩擦因数的测定 利用图一装置及（2）式的原理进行测量静摩擦因数。 由于材料的静摩擦因数与接触面无关，只与接触材料有关，因此，用图一装置与（2）式的原理来测量将摩擦因数。将环氧树脂平板一面的一段用60#砂纸打磨，另一段用100#砂纸打磨，另一面不做处理，如图四所示。 图四 平板处理示意图 由于尼龙绳与物体间的静摩擦因数不容易直接测得，因此，将尼龙绳缠绕在厚木块上，再将厚木块放在环氧树脂平板上，如图一所示，将平板一端固定在水平面上，用另一厚木块放在平板下，缓慢移动木块改变平板与水平面夹角，当缠有尼龙绳的木块刚好滑动时，记下细绳所对量角器读数а，则θ=|90°-а|。重复试验五次，取平均值作为临界角θ。由（2）式可求的最大静摩擦因数μ。在实验中，摆放缠有尼龙绳的厚木块时，应使尼龙绳方向沿着厚木块即将滑动方向（沿着平板平面）。在测量未处理面的摩擦因数时，将量角器要取下重新粘贴。 2、 验证欧拉定理 按照图五，在尼龙绳一端挂上砝码，另一端挂沙袋，向沙袋中添加或减少沙子，缓慢改变沙袋质量，求出使沙袋与砝码保持平衡的沙袋最大质量m（可认为沙袋刚好向下滑动时的质量为所求质量m）。则在（3）式中，T1=mg,T2为砝码重量。将T1和T2，带入（3）式，验证欧拉摩擦定理。 图五 验证欧拉摩擦定理示意图 由计算可知，当包角太大时，沙袋的质量将会非常大，超出电子秤的量程，因此，在本次实验中，将包角选为半圆，即β=π。为保证β=π，在实验中，应使沙袋不与砝码接触，并且沙袋和砝码要避免较大的晃动。 5、 实验步骤 1、 打磨环氧树脂材料 使用砂纸按照静摩擦因数测定中的方法进行处理，使打磨后的平板与圆筒表面的纹路均匀。将小号圆筒用100#砂纸打磨，中号圆筒用60#砂纸打磨，大号圆筒未作处理。 2、 测量环氧树脂材料与尼龙绳间的最大静摩擦因数。 按照图四所示，将处理后的平板材料一段靠在墙角，用双面胶将量角器和连有重物的细绳贴在平板侧面上，如图一所示。在平板下方用可以自由移动的厚木块垫起，以便调节平板与水平面夹角。将缠有待测尼龙绳的木块放在平板上，使绳方向沿着平板。 3、 缓慢推动自由厚木块，增大平板与水平面夹角，当缠有尼龙绳的木块刚好滑动时，读出细绳在量角器上所对刻度，带入（2）式，求出摩擦因数。 4、 将缠有尼龙绳的木块分别放在用60#砂纸打磨、100#砂纸打磨、未打磨的平板面上，重复以上步骤，在每一面上重复实验三次，求出每种表面的摩擦因数。 5、 验证欧拉摩擦定理 1） 、将圆筒横跨放在人字梯上，使圆筒固定不能转动； 2） 、将尼龙绳绕过圆筒，一端悬挂砝码，另一端选挂沙袋，调节绳的长度，使砝码与沙袋悬空且互不相碰； 3） 向沙袋中缓慢添加沙子，直到沙袋开始向下坠落； 4） 用电子秤称出砝码与沙袋质量并； 5） 重复以上实验三次，求出每一种绳与圆筒组合时沙袋的最大平均质量。 6、 注意事项 1、 在打磨平板材料时，应在不同砂纸处理的表面做上标记，便于辨别； 2、 在测定摩擦因数时，应缓慢匀速地转动平板，使物体对平板的实际压力与理论值相同； 3、 打磨平板和圆筒时，尽量打磨的均匀，表面无明显的毛刺，打磨后要清理掉材料表面的粉末，并且每打磨一种材料后应更换新的砂纸； 4、 在验证欧拉定理时，加沙不能太快，应每次将少量沙缓慢放入沙袋中； 5、 粘贴量角器时，应使得量角器处于水平时细绳与90°刻度线重合； 6、 验证欧拉定理时，砝码与沙袋悬空且互不相碰； 7、 实验数据记录与处理 1、 摩擦因数测定: 1）、蓝色尼龙绳 圆筒 次数 1 2 3 4 5 平均а Θ角 μ 100# 178° 181° 179° 182° 180° 179.8° 89.9 0.554 60# 180° 178° 181° 179° 182° 180.2° 90.1 0.501 未打磨 177° 175° 182° 180° 183° 179.4° 89.7 0.396 2） 、白色尼龙绳 圆筒 次数 1 2 3 4 5 平均а Θ角 μ 100# 180° 177° 185° 181° 178° 180.2 90.1° 0.630 60# 178° 182° 179° 178° 181° 179.8 89.1° 0.615 未打磨 175° 184° 178° 185° 181° 180.6 90.3° 0.458 2、 验证欧拉摩擦定理（砝码及钩码质量为：750g，T2=0.75×9.8=7.35N，) 试验中，理论值T1=T2×eθπ, 1）、蓝尼龙绳 次数 沙袋 材料 100#砂纸打磨 60#砂纸打磨 未处理 1 2147 1745 1052 2 2168 1743 1049 3 2152 1744 1057 平均（g） 2152.3 1744 1052.7 实际T1/N 21.09 17.09 10.32 理论T1/N 41.86 35.44 25.49 相对误差（%） 49.34 51.78 59.51 2）、白尼龙绳 次数 沙袋 材料 100#砂纸打磨 60#砂纸打磨 未处理 1 2523 2428 1313 2 2529 2432 1310 3 2524 2427 1315 平均（g） 2525.3 2429.7 1312.7 实际T1/N 24.75 23.81 12.86 理论T1/N 53.13 50.69 30.96 相对误差（%） 53.41 53.02 58.46 8、 实验数据及误差分析： 实验中，两种绳的实际测定结果与理论值误差比较大，相对误差均在50%左右，可能存在误差的原因分析如下： 1、 实验测定摩擦因数时，所用的木块质量较小，绳形变较小，验证欧拉定理时压力较大，绳形变较大，可能使得两次实验中的摩擦因数不同。 2、 在测定摩擦因数时，由于平板表面存在毛刺,测定摩擦因数时，毛刺刺入绳中，严重阻碍待测绳的滑动，使得测得摩擦因数偏大，这样计算得理论值也偏大。 3、 在打磨后的圆筒和平板上留有一定量没清理掉的粉末，这些粉末在绳与圆筒或板间会起一定的润滑作用，使得测得结果产生误差。 4、 在打磨平板和圆筒时，打磨的并不是很均匀且不能保证平板和圆筒的粗糙程度完全相同； 5、 在增大θ角时，平板并非匀速转动，其上缠有待测绳的木块存在失重或是超重的现象，这都会影响斜面对物体的支持力N的大小，因为当物体滑动时，有： Nμ=mgsinθ 使测得的摩擦因数存在误差； 6、 验证欧拉定理时，向沙袋中加沙不容易控制。一方面，沙子下落有一定的速度，对沙袋产生冲量；另一方面，人的反应有一定时间的延迟，当沙袋达到临界平衡时，会继续向沙袋中加沙。这些都使得使得测得沙袋质量与刚达到临界平衡时的质量不同。 9、 小组总结： 1、通过本次试验，我们第一次地自己设计并完成了试验，这与平时实验课上照着课本重复实验完全不同，它要求我们事先全面考虑试验中可能出现的影响因素，权衡不同试验方法的优劣，这培养了我们自行设计试验并解决问题的能力，为以后独立开展试验打下了一定的基础； 2、 在本次试验中，我们初步了解了测量材料间摩擦因数的简单方法； 3、 在试验中我们应当仔细观察实验现象并思考它可能导致的结果，将实验设计的更为合理。 在打磨材料时，一块砂纸打磨一定面积的材料后，砂纸的粗糙程度会发生变化，使得打磨的材料表面的粗糙度也发生相应的变化，这将使试验误差增大。为尽量减小用同号砂纸打磨后材料表面粗糙度的差异，我们将每一块砂纸分成许多小单元使用，在每个单元的砂纸打磨过一定面积后该单元的砂纸就被淘汰； 4、 做实验要细致有耐心。试验中，沙袋滑动时实际是沙袋过重，需要减少沙袋中的沙，并重新观察系统是否达到临界平衡；沙减的太多，则有需要加沙，减的过少，还要继续减。这是一个很繁琐的过程，很考验人的耐性； 5、 我们应当在试验中尽快分析数据，在发现较大误差时，可以重复实验。在我们的这次实验中，在实验中没分析数据，使得实验结果误差非常大，但我们却没有改进的机会。 10、 实验改进建议: 在实验中我们发现了如下的几个问题： （1） 、加沙子的时候，沙子的下落会对沙袋产生一定的冲力，并且偶尔会使沙袋产生晃动，使得包角发生变化，加沙本身也是个漫长而无聊的过程； （2） 、在我们观察到实验达到临界平衡（物体刚发生滑动）时，物体滑动的速度比较快，这说明物体有较大的加速度（较短的时间里达到了较大的速度），这时系统与临界平衡有较大差距。 5