40.第四十讲：综合法与分析法

nullnull第四十讲 综合法与分析法null一、引言 综合法与分析法是中学数学证明中常用 的方法，也是高考考查的内容之一． （一）知识框架如下：null （二）考试大纲 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． null （三）考情分析 对两种方法的考查在选择、填空题和解答题中都有，单纯地考查并不常见．作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出．它可以和很多知识如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力、分析问题和解决问题的能力． null 二、考点梳理 1．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，这种证明方法叫做分析法．null三、典型例题选讲 例1 （2008江苏卷）设a，b，c为正实数， 求证： . 证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 ，即 . 所以 . 而 ， 所以 .null 归纳小结：综合法是从已知到未知的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或以已证的命题出发，经过一系列的推理，最后导出要证的结论．证明不等式常用的性 质有 ， 等，但应用这些不等式证明时，要注意不等式应用的范围和“=”取得的充要条件．null 例2（2009全国Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，若 f(x+1)与f(x-1) 都是奇函数，则( ) ． A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)= f(x+2) D．f(x+3)是奇函数 解： 因为f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数，所以函数f(x)关于点(1，0)，及(-1，0)点对称，函数f(x)是周期为4的周期函数，因为f(x+1)是奇函数，所以f(x+3)是奇函数．因此选D．null 归纳小结：本题考查函数的性质，判断函数奇偶性的问题主要是定义法和图象法，特别是函数的单调性、周期性常与奇偶性结合成为考试的重点．null 例3 （2007重庆）如图，倾斜角为 的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点． （1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （2）若 为锐角，作线段AB的垂直平分线 m交x轴于点P， 证明 为定值， 并求此定值． null（1）解：抛物线的方程为 ， 则焦点的坐标为（2，0）， 准线l的方程为x=-2．（2）证明：如图作 ， ，垂足为 C 、D ，则由抛物线的定义知 ， ，记 A 、B的横坐标分别为 ， ， 则null解得 ，类似地 解得 . 记直线m与AB的交点为E，则 所以 ，故 null 归纳小结：本题是应用综合法解决解析问题，掌握综合法证明的基本方法是“由因导果”，即由已知条件出发，顺着推证，逐步推出求证的结论，综合法的特点是述简单，条理清晰，它常用的是“ ， ”，或“因为，所以”，或“ ”等表述方法．null 例4（2008福建）已知 是正数组成的数列， ，且点（ ）（ ）在函数 的图象上． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 ， ， 求证： ． null(2) 证法一：由（1）知： 从而 ，所以 所以 因为 ，所以 ， 即 .null证法二：因为 ， … 因为 ，所以 ， 即 .null 归纳小结：本题证法1中，把证明不等式 成立的问题转化为比较大小的问题，可采用做差和零比较的方法，证法2中，利用递推公式 ，转化为数列的问题．本题使用综合法证明数列问题，考查等差数列、不等式等基本知识，同时考查转化与化归思想，推理与运算能力．null 例5 (2008海南、宁夏)设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ． （1）求 的解析式； （2）证明：函数 的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线 上任一点的切线与直线 和直线 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． null 解：（1） ， 于是 解得 或 因为 ，所以 ． null（2）证明：已知函数 ， 都是奇函数.所以函数 也是奇函数，其图象 是以原点为中心的中心对称图形． 而 可知，函数 的图 象按向量 平移，即得到函数 的 图象，故函数 的图象是以点 为中心 的中心对称图形． null（3）证明：在曲线上任取一点 ． 由 知，过此点的切线方程为 ． 令x=1得 ，切线与直线x=1交点为 令y=x得 ，切线与直线y=x交点 为 ．直线x=1与直线y=x的交 点为(1，1) ．从而所围三角形的面积为 所以，所围三角形的面积为定值2．．null 归纳小结：本题是函数和解析几何的综合证明题．此题可先采用分析法．分析法是“执果索因”，从要求证的结论出发，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止，在解决具体数学问题时，往往是先用分析法寻找使命题成立的充分条件，再结合已知条件，把问题中的隐含条件明确表示出来，用两种方法共同解决．null例6 已知函数 在 上有定义， 且满足 有 ． （1）证明： 在 上为奇函数； （2）对数列 ， ，求 ； （3）求证 ．null（1）证明：令x=y=0 ，则 f(0)+f(0)=f(0) ，所以f(0)=0 ． 令 y= - x，则 f(x)+f(-x)=f(0)，所以 f(-x)=-f(x) ，因此 f(x)在(-1，1)上为奇函数． null （2）解： ， 所以 ，即 是以－1为首项，2为 公比的等比数列．所以 . ， null（3）证明： 因为 ，所以 ， 而 所以 . null 归纳小结：本题将函数、方程、数列、不等式等代数知识集于一题，是考查分析问题和解决问题能力的范例．在求解当中，化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法．证明时先用分析法探索证明的思路，然后再用综合法叙述出来.null　四、本专题 　1．分析法的特点是： 　　　从未知看需知，逐步靠拢已知． 　2．综合法的特点是： 　　　从已知看可知，逐步推出未知． 　3．分析法和综合法各有优缺点：分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考，实际证明时常常两法兼用，先用分析法探索证明的思路然后再用综合法叙述出来．null　4．对证明的考查往往会结合函数、数列、解析几何、导数等知识，既要掌握基本的证明方法——综合法和分析法，又要结合相关的数学知识，证明时把两种方法结合起来综合应用．