单摆周期有上限吗

　收稿日期 :2004 - 09 - 01 　作者简介 :于凤军 (1959 —) ,男 ,河南安阳人 ,安阳师范学院物理系教授 ,主要从事理论物理教学和研究工作. 单摆周期有上限吗 于凤军 ,许树玲 (安阳师范学院 物理系 ,河南 安阳　455000) 　　摘要 : 讨论了单摆作微小振动时的周期与摆长的关系 ,给出了单摆作微小振动时周期的上限 ,并与几种常见的力学现象 进行了比较. 关键词 : 单摆 ;周期 ;摆长 中图分类号 :O 31313 　　　文献标识码 :A 　　　文章编号 :100020712 (2005) 0820028202 　　单摆作微小振动时 ,周期公式为 T = 2π lg (1) 根据式 (1) 知 ,当摆长 l 增加时 ,振动周期加大 ,当摆 长 l →∞时 ,单摆的周期为无限大 ,即失去振动. 这 也不难理解 ,在摆长趋于无限大时运动质点的轨道 趋于直线 ,而重力方向与该直线垂直 ,引起简谐振动 的准弹性恢复力将不存在. 情况果真如此吗 ? 经过 细致计算表明 ,在这种情况下 ,质点仍作简谐振 动 ,其周期为 T = 2π Rg ( R 为地球半径) . 这个周 期与地球内光滑直线隧道中物体的振荡周期相 同[1 ] ,也与卫星绕地球作第一宇宙速度运动的周期 相同. 下面的讨论不考虑地球自转对重力加速度的影 响. 为了避开摆长过大时悬挂点的烦扰 ,我们设想质 点在地面附近一个光滑的圆弧形轨道上运动 (见图 1) ,圆平面在铅直面内 ,半径为 l . 显然 ,质点在最低 点附近的运动等价于摆长为 l 的单摆振动. 设运动 质点的位置为 A ,该圆的圆心位置是 O1 ,地心位置 图 1 　考虑摆长很大时单摆的运动 在 O2 ,圆弧与地球表面在点 O 相切. 令 OO2 = R , ∠A O1 O =θ, ∠A O2 O =α. 严格说来 , A 点所受地 球引力方向指向地心 O2 ,引力加速度方向与 O1 O2 连线方向的夹角为α, 引力加速度的大小为 g = Gm e/ R2 . 由正弦定理和余弦定理得 A O2 sinθ= l sinα, A O2 = ( R + l) 2 + l2 - 2 ( R + l) lcosθ,当θ和α都很小 时 ,利用 sin α≈α, sin θ≈θ, cosθ≈1 ,这两式将变 为 A O2 = R 和 θ R = α l (2) 在通常情况下 l ν R ,这使ανθ,例如对于巴黎 教堂傅科摆的摆长 , l = 67 m ,θ≤5°时 ,α≤(513 × 10 - 5)°,这时α与θ相比可以忽略 ,并可以认为质点 所受地球引力的方向与 O1 O2连线的方向平行 ,则 质点运动的动力学方程为[2 ] d2θ d t2 + g lθ= 0 (3) 由此方程可得单摆的周期公式 (1) . 但当 l 足够大 时 ,由式 (2) 知 ,α与θ相比不可以忽略. A 点所受的 引力方向 (即 A O2方向) 与矢量 O1 A的夹角β等于α +θ,引力在圆形轨道切向方向的分量 Fτ = - m g· sin (α+θ) ,设α+θ很小 ,利用 sin (α+θ) ≈α+θ, 得单摆的动力学方程为 m d2 ( lθ) d t2 = Fτ= - m g (α+θ) (4) 可以看出 ,当 l ν R 时 ,ανθ,式 (4) 中忽略α后即 为式 (3) . 当 l 与 R 为同数量级时 ,α与θ为同数量级. 在 式 (2) 的条件下 ,任取其一为独立变量 ,式 (4) 变为 第 24 卷第 8 期 　大 　学 　物 　理 　 Vol. 24 No. 8 2005 年 8 月 COLL EGE　PHYSICS Aug. 2005 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net d2θ d t2 + l + R Rl gθ= 0 (5) 这时单摆的周期为 T = 2π l R( l + R) g (6) 当 l µ R 时 ,θνα,这时不宜将θ取为广义坐 标 ,而取α为描述质点运动的位置参数 ,在式 (4) 右 边忽略θ,并将式 (2) 中θ= Rlα代入式 (4) 左边 ,得 单摆的动力学方程 d2α d t2 + g R α= 0 (7) 由此得单摆的周期为 T = 2π Rg (8) 式 (8) 表示的周期为单摆摆长趋于无限大时的周期. 另外 ,根据式 (6) ,分别令 l 取很小值和趋于无限大 , 也可以得出式 (1) 和式 (8) . 讨论 :1) 将 R = 6 . 4 ×106 m , g = 9 . 8 m/ s - 2代 入式 (8) 得 T = 5 078 s = 1 h 24 min 38 s ,这个时间 就是单摆周期的上限. 2) 尽管我们不能硬性地把下述几种现象联系 在一起 ,但式 (8) 表示的时间对人们来说太熟悉了. 当卫星以第一宇宙速度绕地球表面飞行时 ,其周期 表示就是式 (8) (由 mω2 R = m g 很容易看出这一 点) . 当质点在地球内任意一个光滑的直线隧道中振 荡时 ,它的振动周期仍可用式 (8) 表示 (见文献 [1 ] , 将ρ= m e/ V = 3 m e/ (4πR3 ) 代入其中的式 (7 . 36) 并利用 g = Gm e/ R2即可得到式 (8) ) . 显然 ,它既是 人造卫星绕地球作周期性运动的周期下限 ,又是单 摆 (微小) 振动周期的上限 ,同时等于地球内任一光 滑直线隧道中质点作周期运动的周期. 3) 可以定性说明为什么单摆的周期上限等于 质点在地球内光滑直线隧道中的运动周期. 当 l ϖ ∞时 ,质点的运动等价于它在与地球表面相切的光 滑直线 x 轴上的运动. 根据文献[1 ]的结论 ,质点在 地球内任一光滑直线隧道中的振动周期是相同的. 我们设想 ,令该隧道与 x 轴平行并无限接近 x 轴 (但不与 x 轴重合) ,则由于引力场在地球表面处大 小与方向都是连续的 ,使得在地球表面附近足够小 的空间区域内 (含地球表面之外和之内) ,两种情形 下引力在运动轨道上的分量是相同的 ,因而质点作 振动时 ,在隧道内的振动周期与在 x 轴上的振动周 期应是相同的. 参考文献 : [1 ] 　赵凯华 ,罗蔚茵. 新概念物理教程 　力学[ M ]. 北京 :高 等教育出版社 ,1995 . 359～360 . [2 ] 　漆安慎 ,杜婵英. 普通物理教程 　力学[ M ]. 北京 :高等 教育出版社 ,1997. 258 . Is there the upper l imit of period of a simple pendulum YU Feng2jun , XU Shu2ling (Department of Physics , Anyang Teachers College , Anyang ,Henan 455000 , China) Abstract :The relation between the length and period of a simple pendulum is discussed. The upper limit of it’s period for small oscillation is given and the motion of simple pendulum is compared with other dynamical phenomenon. Key words :simple pendulum ; period ; pendulum length (上接 27 页) A convenient derivation of the Doppler effect formulas L U J un2ling ,WAN G Rong2bao (Department of Physics , Tsinghua University ,Beijing 100084 ,China) Abstract :Based on the hypothesis that Doppler effect means a coordinate t ransformation of the frequency of a wave ,the Doppler effect formulas are derived from Lorentz transformation. Key words :wave ;f requency ;coordinate t ransformation ;wave vector ;Doppler effect 第 8 期 　　　于凤军等 :单摆周期有上限吗 29　　　 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net