2极限与连续

nullnull高校理科通识教育平台数学课程微积分学(二)多元微积分学授课教师 孙学峰●null多元微积分null多元函数的极限 与连续性第二节一. 多元函数的极限我们首先回忆一元函数极限的几何意义,然后将它从形式上推广到多元函数的情形, 再看这种推广是否可行.nullx0xy()..()a.xO..nullx0xy()..()a.xO..nullx0xy()..()a.xO..null回忆一元函数极限的概念现在进行形式上的推广null回忆一元函数极限的概念 进行整理null我们完成了极限概念的推广工作.null二元函数极限的定义时的极限(二重极限), 记为null几点注意nullnull多元函数极限的性质、定理 多元函数的极限如果存在 , 则必唯一 .应用这个性质, 可将一元函数的极限运算法则和性质推广到多元函数中来.null解由于怎么办?怎么办?而故由夹逼定理, 得 夹逼定理null解又(有界量)(无穷小量) 无穷小量的性质由于null解 有理化 (平方差公式)null解 等价无穷小替代似曾相识null解 利用重要极限此题另一解法null解 利用重要极限null解无关, 而上述结果与 k 值有关, 故原极限不存在.null该例还说明一个问题 对此你有什么想法 ?null可利用方向性来判别 多元函数的极限不存在.“无穷多个方向”不等于“任意方向”.null累次极限累次极限是指的下列极限 一般说来, 这两个极限不一定相等. 在高等数学中, 运算顺序不能随便交换.null定理若累次极限null解由于两个累次极限不相等, 故null 二重极限存在不一定能推出累次极限存在.但null即算两个累次极限存在且相等,也不一定能推出二重极限存在.null即累次极限存在且相等, 但二重极限不存在.返回null二. 多元函数的连续性1. 连续函数的概念 多元函数的连续性与一元函数的 连续性类似, 与函数的极限密切相关.null定义null连续等价于null 我们讨论的多元函数的定义域大部分是区域.nullnull与一元函数类似：连续的多元函数的和、差、积、商(分母不能为零) 仍是连续函数 ; 连续的多元函数的复合函数仍连续.在一定的条件下,2. 连续函数的运算 可以参考以下两本书null 1.《分析中的反例》 [美] B.R.盖尔鲍姆, J.M.H.奥姆斯特德, 上海科学出版社 , 1980. 2.《高等数学是非300例分析》 计幕然等, 北京航空学院出版社, 1985. null与一元函数类似多元初等函数nullnullnullnullnull从定理可看出：若取 由连续性nullnull 该定理实际上是介值定理的推论.null通常说：三. 多元函数的间断点null 寻找间断点的方法与一元函数的情况类似函数无定义的点;极限存在但不等于函数例如：极限不存在的点;在该点的函数值的点等等.null解由分母不能为零,直线上的一切点均为函数的间断点.Oxynull多元函数间断点多元函数的间断点可以构成一些直线、曲线、曲面等, 也可以是某些点的集合.情形比较复杂null解由分母不能为零null解由三角函数知识可知,所求间断点为Oxynull解根据函数连续的定义, 只需证明 想想, 应该怎么做 ?null运用极坐标运用夹逼定理:nullP611.(2)(4) 3. 4. 5.