2.2连续型随机变量

nullnull 例1 靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。 解 若x<0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是若0≤x≤2，由题意得:为确定k，取值x=2则有§2.2 连续型随机变量的分布null若x>2，则有所以：null 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为 其中 例中随机变量X具有下列特点：一是X可在某个区间内连续取值，二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，具有这些特点的随机变量，即为连续型随机变量。null§2.3 连续型随机变量的分布密度定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在可积函数，使对任意实数x，有则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度。(1) f(x)≥0一、连续型随机变量的定义二、性质null§2.3 连续型随机变量的分布密度二、性质(4) 在f(x)的连续点处有： (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0.由性质(6)可得： (5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而且是连续函数。null对于连续型随机变量，还要指出两点：（1）F(x)是连续函数;（2）P{X=a}=0（a为任意实数）. 证 （2）取 x > 0 ，因为又F(x)是连续函数，所以 故 P{X = a} = 0null因此，对于连续型随机变量，有 例2 设随机变量的概率密度函数为 (x)=Ae-|x|（ -0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X∼N（μ,σ2）3. 正态分布0xf（x）null （a）曲线关于x =μ对称。即对于任意的h >0有 P{μ-h＜X ≤μ} = P{μ＜X≤μ+h} 显然， x离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的区间，X 落在离μ越远的区间，概率越小。（b）当 x =μ时，函数f(x)达到最大值（2）正态分布的密度函数f(x)的图形的性质 null (d) 固定，改变值，曲线 f(x)形状不变，仅沿x轴平移。可见确定曲线 f(x)的位置 。 (e) 固定, 改变值, 则愈小时, f(x)图形的形状愈陡峭, X 落在附近的概率越大。 (c) 拐点：(μ±σ，f(μ±σ)); 水平渐近线：ox 轴。（ 3）

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正态分布 X~N(0,1)（ 3） 标准正态分布 X~N(0,1)即当= 0，=1时的正态分布。密度函数：分布函数：null2.3.1.4. 可查标准正态分布表计算概率（4） 查标准正态分布函数表计算概率 （4） 查标准正态分布函数表计算概率 4) P{|X| ≥1.54} = 1- P{|X| ≤1.54}例5 设X∼N(0,1) ,计算P{X≤2.35} ； P{-1.64 ≤X＜0 .82} ； P{|X| ≤1.54}； P{|X| ≥1.54} 1）P{X≤2.35} =Φ(2.35)= 0.99062）P{-1.64 ≤X＜0 .82} = Φ(0.82)- Φ(-1.64) = Φ(0.82)- [1-Φ(1.64)] = 0.74343) P{|X| ≤1.54}= Φ(1.54)- Φ(-1.54) =2Φ(1.54)-1= 0.8764=1- 0.8764=0.1236 例7（3原则）设X ~ N (, 2)，求 P{|X-|﹤}, P{|X-|﹤2}, P{|X-|﹤3}.例6 设随机变量 求 解 例7（3原则）设X ~ N (, 2)，求 P{|X-|﹤}, P{|X-|﹤2}, P{|X-|﹤3}.解 P{|X―μ|＜σ}= P{μ―σ＜X＜μ+σ}类似可得null 例8 某厂生产罐装咖啡，每罐标准重量为0.5kg，长期生产实践表明自动包装机包装的每罐咖啡的重量X服从参数 =0.05kg的正态分布. 为了使重量少于0.5kg的罐头数不超过10%，应把自动包装线所控制的均值参数调节到什么位置上？ 解 由题设知 假如把自动包装线控制的值调节到0.5kg位置，则有null即重量少于0.5kg的罐头占全部罐头数的50%，这显然不符合要求. 所以应该把自动包装线控制的值调到比0.5kg大一些的位置，使得 查附表3可得 即 应将调到不小于0.5645的位置.nullP41 1. 2. P50 6. 7. 8. 10.