9.直线的交点坐标与距离公式

直线的交点坐标与距离 1111．两条直线的交点 直线llll1111：AAAA1111xxxx＋BBBB1111yyyy＋CCCC1111＝0000，llll2222：AAAA2222xxxx＋BBBB2222yyyy＋CCCC2222＝0.0.0.0. 基础知识 2222．几种距离 [[[[思考探究]]]] 如何求点PPPP((((xxxx0000，yyyy0000))))到直线xxxx＝aaaa和yyyy＝bbbb的距离？ 提示：点PPPP((((xxxx0000，yyyy0000))))到直线xxxx＝aaaa和yyyy＝bbbb的距离分别是||||xxxx0000－aaaa|||| 和||||yyyy0000－bbbb|.|.|.|. 1111．若三条直线yyyy＝2222xxxx，xxxx＋yyyy＝3333，mxmxmxmx＋nynynyny＋5555＝0000相交于 同一点，则点((((mmmm，nnnn))))可能是 ((((　　)))) A A A A．(1(1(1(1，－3)3)3)3)　　　　　　　　　BBBB．(3(3(3(3，－1)1)1)1) C C C C．((((－3,1) 3,1) 3,1) 3,1) D D D D．((((－1,3)1,3)1,3)1,3) 解析：由 得 ∴mmmm＋2222nnnn＋5555＝0.0.0.0. ∴点((((mmmm，nnnn))))可能是(1(1(1(1，－3)3)3)3)． ：AAAA 基础测试 2222．过点AAAA(4(4(4(4，aaaa))))和BBBB(5(5(5(5，bbbb))))的直线与直线yyyy＝xxxx＋mmmm平行，则 | | | |ABABABAB||||的值为 ( ( ( (　　)))) A A A A．6 6 6 6 B.B.B.B. C C C C．2222 D D D D．不能确定 解析：kkkk AB AB AB AB ＝ ＝bbbb－aaaa＝1111， ∴||||ABABABAB||||＝ 答案：BBBB 3333．已知直线llll1111与llll2222：xxxx＋yyyy－1111＝0000平行，且llll1111与llll2222的距离是 ， 则直线llll1111的方程为________________________________________________________________． 解析：设llll1111的方程为xxxx＋yyyy＋CCCC＝0000，则 ，∴CCCC＝1111或CCCC＝－3333， ∴llll1111的方程为xxxx＋yyyy＋1111＝0000或xxxx＋yyyy－3333＝0.0.0.0. 答案：xxxx＋yyyy＋1111＝0000或xxxx＋yyyy－3333＝0000 1.1.1.1.判定两条直线相交的方法 (1)(1)(1)(1)代数法．解两条直线方程组成的方程组，利用解的 个数来判断． (2)(2)(2)(2)几何法． ①利用斜率：若kkkk1111≠kkkk2222 llll1111与llll2222相交． ②利用系数比：若  llll1111与llll2222相交． 型分类 考点一 有关直线交点问题 2222．经过两条直线交点的直线系方程 经过两相交直线AAAA1111xxxx＋BBBB1111yyyy＋CCCC1111＝0000和AAAA2222xxxx＋BBBB2222yyyy＋CCCC2222＝0000的 交点的直线系方程为AAAA1111xxxx＋BBBB1111yyyy＋CCCC1111＋λ((((AAAA2222xxxx＋BBBB2222yyyy＋CCCC2222))))＝0000 ( ( ( (这个直线系方程中不包括直线AAAA2222xxxx＋BBBB2222yyyy＋CCCC2222＝0)0)0)0)． 求经过两直线llll1111：xxxx－2222yyyy＋4444＝0000和llll2222：xxxx＋yyyy－2222＝0000的 交点PPPP，且与直线llll3333：3333xxxx－4444yyyy＋5555＝0000垂直的直线llll的方程.... [[[[思路点拨]]]] 解：由方程组 得 ， 即PPPP(0,2)(0,2)(0,2)(0,2)． ∵llll⊥llll3333，∴kkkkllll＝－ ， ∴直线llll的方程为yyyy－2222＝－ xxxx，即4444xxxx＋3333yyyy－6666＝0.0.0.0. 1.1.1.1.中心对称 (1)(1)(1)(1)若点MMMM((((xxxx1111，yyyy1111))))及NNNN((((xxxx，yyyy))))关于PPPP((((aaaa，bbbb))))对称，则由中点 坐标公式得 (2)(2)(2)(2)直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取 两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的 两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个 对称点，再利用llll1111∥llll2222，由点斜式得到所求直线方程． 考点二 有关直线的对称问题 2222．轴对称 (1)(1)(1)(1)点关于直线的对称 若两点PPPP1111((((xxxx1111，yyyy1111))))与PPPP2222((((xxxx2222，yyyy2222))))关于直线llll：AxAxAxAx＋ByByByBy＋CCCC＝ 0 0 0 0对称，则线段PPPP1111PPPP2222的中点在对称轴llll上，而且连接PPPP1111PPPP2 2 2 2 的直线垂直于对称轴llll，由方程组 可得到点PPPP1111关于llll对称的点PPPP2222的坐标((((xxxx2222，yyyy2222)()()()(其中BBBB≠0000， x x x x1111≠xxxx2222))))． 求直线llll1111：yyyy＝2222xxxx＋3333关于直线llll：yyyy＝xxxx＋1111对称的直 线llll2222的方程． [[[[思路点拨]]]] 解：　设所求直线上一点为PPPP((((xxxx，yyyy))))，则在直线llll1111上必存在一 点PPPP1111((((xxxx0000，yyyy0000))))与点PPPP关于直线llll对称． 由题设：直线PPPPPPPP1111与直线llll垂直，且线段PPPPPPPP1111的中点PPPP2222( ( ( ( ， ) ) ) )在直线llll上． ∴ ，变形得 ， 代入直线llll1111：yyyy＝2222xxxx＋3333得xxxx＋1111＝2(2(2(2(yyyy－1)1)1)1)＋3333， 整理得xxxx－2222yyyy＝0.0.0.0. 所以所求直线方程为xxxx－2222yyyy＝0.0.0.0. 1.1.1.1.求点到直线的距离，一般先把直线方程化为一般式． 2222．求两条平行线间的距离有两种思路： (1)(1)(1)(1)利用““““化归””””法将两条平行线的距离转化为一条直线上任 意一点到另一条直线的距离． (2)(2)(2)(2)直接利用两条平行线间的距离公式dddd＝ .... 考点三 有关距离问题 [[[[特别注意]]]]　利用两条平行线间距离公式时，必须将两直 线方程化为系数相同的一般式后才能套用公式计算． 已知三条直线llll1111：2222xxxx－yyyy＋aaaa＝0(0(0(0(aaaa＞0)0)0)0)，直线llll2222：－ 4444xxxx＋2222yyyy＋1111＝0000和直线llll3333：xxxx＋yyyy－1111＝0000，且llll1111与llll2222的距离是 (1)(1)(1)(1)求aaaa的值； (2)(2)(2)(2)能否找到一点PPPP，使得PPPP点同时满足下列三个条件：①PPPP 是第一象限的点；②PPPP点到llll1111的距离是PPPP点到llll2222的距离 的 ；③PPPP点到llll1111的距离与PPPP点到llll3333的距离之比是 ； 若能，求PPPP点坐标；若不能，说明理由． [[[[思路点拨]]]] 解：(1)(1)(1)(1) llll2222即2222xxxx－yyyy－ ＝0000， ∴llll1111与llll2222的距离dddd＝ ， ∴ ∵aaaa＞0000，∴aaaa＝3.3.3.3. (2)(2)(2)(2)设点PPPP((((xxxx0000，yyyy0000))))，若PPPP点满足条件②， 则PPPP点在与llll1111、llll2222平行的直线llll′′′′：2222xxxx－yyyy＋CCCC＝0000上， 且 ，即CCCC＝ 或CCCC＝ ， ∴2222xxxx0000－yyyy0000＋ ＝0000，或2222xxxx0000－yyyy0000＋ ＝0000； 若PPPP点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有＝ 即|2|2|2|2xxxx0000－yyyy0000＋3|3|3|3|＝||||xxxx0000＋yyyy0000－1|1|1|1|， ∴xxxx0000－2222yyyy0000＋4444＝0000或3333xxxx0000＋2222＝0000； 由于PPPP在第一象限，∴3333xxxx0000＋2222＝0000不可能． 联立方程2222xxxx0000－yyyy0000＋ ＝0000和xxxx0000－2222yyyy0000＋4444＝0000， 解得 应舍去． 由 解得 ∴P P P P 即为同时满足三个条件的点． 1111．若直线llll与两直线yyyy＝1111，xxxx－yyyy－7777＝0000分别交于MMMM，NNNN两点， 且MNMNMNMN的中点是PPPP(1(1(1(1，－1)1)1)1)，则直线llll的斜率是 ((((　　)))) A A A A．－　　　　　　　　　B.B.B.B. C C C C．－ D. D. D. D. 强化练习 解析：设MMMM((((xxxx1,1,1,1,1)1)1)1)，NNNN((((xxxx2222，yyyy2222))))，则yyyy2222＝－3333，从而xxxx2222＝4444， 即NNNN(4(4(4(4，－3)3)3)3)，∴kkkk l l l l ＝ .... 答案：AAAA 2222．点((((aaaa，bbbb))))关于直线xxxx＋yyyy＋1111＝0000的对称点是 ((((　　)))) A A A A．((((－aaaa－1111，－bbbb－1) B1) B1) B1) B．((((－bbbb－1111，－aaaa－1)1)1)1) C C C C．((((－aaaa，－bbbb) D) D) D) D．((((－bbbb，－aaaa)))) 解析：设对称点为((((xxxx0000，yyyy0000))))，则有 ，解得 .... 答案：BBBB 3333．点PPPP((((mmmm－nnnn，－mmmm))))到直线 ＝1111的距离等于((((　　)))) A. A. A. A. B.B.B.B. C. C. C. C. D. D. D. D. 解析：因为直线 ＝1111可化为nxnxnxnx＋mymymymy－mnmnmnmn＝0000， 则由点到直线的距离公式， 得dddd＝ 答案：AAAA 4444．已知直线llll与两直线llll1111：2222xxxx－yyyy＋3333＝0000和llll2222：2222xxxx－yyyy－1111＝0 0 0 0 的距离相等，则llll的方程为________________________________________________________． 解析：显然llll1111∥llll2222，可设llll的方程为2222xxxx－yyyy＋mmmm＝0000， 由题意知 ，解得mmmm＝1111， 从而直线llll方程为2222xxxx－yyyy＋1111＝0.0.0.0. 答案：2222xxxx－yyyy＋1111＝0000 5555．求过点MMMM((((－2,1)2,1)2,1)2,1)，且与AAAA((((－1,2)1,2)1,2)1,2)，BBBB(3,0)(3,0)(3,0)(3,0)两点距离相等 的直线的方程． 解：当直线斜率不存在时，不存在符合题意的直线． 当直线斜率存在时，设直线的方程为yyyy－1111＝kkkk((((xxxx＋2)2)2)2)， 即kxkxkxkx－yyyy＋2222kkkk＋1111＝0000， 由条件有 ， ∴kkkk＝0000或kkkk＝－ .... 故所求的直线方程为yyyy＝1111或xxxx＋2222yyyy＝0.0.0.0.