２重根号

現行の学習指導要領では指導外の内容に追いやられていた「２重根号」が、平成２４年からの新学習指導要領で復活することになった。指導外の内容とはいえ、今でも教科書等には「発展的内容」として扱われており、進学校では当然のごとく教えられていることと思う。 　 INCLUDEPICTURE "http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/doublerootsign01.gif" \* MERGEFORMATINET 　は、やはり、簡単に　＋１　としたいものだ。新学習指導要領は窮屈だった「計算の制限」を撤廃した点で評価される。ただ、新学習指導要領は、古き良き時代を懐かしむような何となく懐古主義を彷彿させる。行列が外れ複素数平面がまた復活する！ 　数学の問題を解いていて、２重根号を外す必要性が時々生じる。私の経験では、高校１年のとき、ｓｉｎ１５°の値を三角関数の加法定理によらず、図形的に求めるときに使ったことが印象深い。 　　左図の斜辺の長さの計算で２重根号を外すことを行う。 　即ち、 　斜辺＝ 　より、 　　　　　　　 　もっとも、この場合は、２重根号を避けて求める方法も知られている。 　　　左図とにらめっこをすると自ずから、 　　　　　　 　　が導かれることだろう。 　このように２重根号を外す計算は、数のおおよその値を知るためにも大切な技法であり、 現学習指導要領で指導の範囲外とされたことが非常に不可解である。 ２重根号を外す公式 　ａ＞ｂ＞０　のとき、 　　 　　 　上記の公式から分かるように、２重根号が外れるためにはある種の制約条件が存在する ので、すべての２重根号が外れるわけではない。 　２重根号を外すための基本変形パターンを確認しておこう。 例１　　 例２　　 例３ 　　　　 　同様の問題で３乗根の場合を、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんが提示され た。（平成２１年２月８日付け）眼前にある小高い丘を少しずつ登ってみることにしよう。 問　題　　２重根号　　を外せ。 （解）　　、　　とおくと、　β＜α　で、 　　　　　　α3＋β3＝－３６　、　αβ＝－１ 　　である。このとき、　α3＋β3＝（α＋β）3－３αβ（α＋β）＝－３６　より、 　　　　　　　　　　（α＋β）3＋３（α＋β）＋３６＝０ 　　ｘ＝α＋β　とおくと、　ｘ3＋３ｘ＋３６＝０　で、　（ｘ＋３）（ｘ2－３ｘ＋１２）＝０ 　　ｘ は実数なので、　ｘ2－３ｘ＋１２≠０　より、　ｘ＝－３ 　　このとき、　α 、β　は、２次方程式　ｔ2＋３ｔ－１＝０　の解となる。 　　解の公式より、 　　　　　　　　　　　　　 　　よって、　β＜α　より、 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（終） （コメント）　３乗根の場合も、ごく特殊な場合しか２重根号は外れないと予想される。２乗根 　　　　　　のような簡便な公式を模索したが、果たして３乗根の場合も存在するのだろうか？ 　　　　　　今後の研究課題としよう。上記の場合は、２次方程式の問題に翻訳されてたまた 　　　　　　ま求めることができたが、一般の場合に同様に求めることはほとんど不可能だろ 　　　　　　うと推察される。 問　題　　２重根号　　を外せ。 （解）　　、　とおくと、　β＜α　で、 　　　　　　α3＋β3＝４０　、　αβ＝２ 　　である。このとき、　α3＋β3＝（α＋β）3－３αβ（α＋β）＝４０　より、 　　　　　　　　　　（α＋β）3－６（α＋β）－４０＝０ 　　ｘ＝α＋β　とおくと、　ｘ3－６ｘ－４０＝０　で、　（ｘ－４）（ｘ2＋４ｘ＋１０）＝０ 　　ｘ は実数なので、　ｘ2＋４ｘ＋１０≠０　より、　ｘ＝４ 　　よって、　＝４　　（終） 問　題　　次の２重根号を外せ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解）　　、　とおくと、　β＜α　で、 　　　　　　α3－β3＝２０　、　αβ＝２ 　　である。このとき、　α3－β3＝（α－β）3＋３αβ（α－β）＝２０　より、 　　　　　　　　　　（α－β）3＋６（α－β）－２０＝０ 　　ｘ＝α－β　とおくと、　ｘ3＋６ｘ－２０＝０　で、　（ｘ－２）（ｘ2＋２ｘ＋１０）＝０ 　　ｘ は実数なので、　ｘ2＋２ｘ＋１０≠０　より、　ｘ＝２　すなわち、　α－β＝２ 　　このとき、　α 、－β　は、２次方程式　ｔ2－２ｔ－２＝０　の解となる。 　　解の公式より、　ｔ＝１± 　　よって、　β＜α　より、　α＝１＋　、　－β＝１－　なので、 　　　　　　　　　　　（終） 問　題　　次の２重根号を外せ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （解） 　　　　　　　 　　とおくと、　β＞α　で、　α3＋β3＝１０８　、　αβ＝６ 　　である。このとき、　α3＋β3＝（α＋β）3－３αβ（α＋β）＝１０８　より、 　　　　　　　　　　（α＋β）3－１８（α＋β）－１０８＝０ 　　ｘ＝α＋β　とおくと、　ｘ3－１８ｘ－１０８＝０　で、　（ｘ－６）（ｘ2＋６ｘ＋１８）＝０ 　　ｘ は実数なので、　ｘ2＋６ｘ＋１８≠０　より、　ｘ＝６　すなわち、　α＋β＝６ 　　このとき、　α 、β　は、２次方程式　ｔ2－６ｔ＋６＝０　の解となる。 　　解の公式より、　ｔ＝３± 　　よって、　β＞α　より、　α＝３－　、　β＝３＋　なので、 　　　　　　　　　　　（終） （コメント）　最初は前問のように、普通に分子、分母をそれぞれ α 、 β とおいて計算した 　　　　　　ところ、計算に行き詰まってしまった。そこで、逆数を考え、積 αβ が整数になる 　　　　　　ように、α 、β の分子を工夫したところ、上手く計算が進んだ。 ヨカッタ～！ 　上記の問題をもっと自然に解くために、ある特殊な場合に限定されるが、３乗根の場合の ２重根号を外す公式を作ってみた。 　この公式は、平成２１年２月１１日付けの、当ＨＰがいつもお世話になっているＳ（Ｈ）さんの コメントに触発されて作ったものである。Ｓ（Ｈ）さんに感謝します。 公　式　　実数 ａ 、ｋ　と正数　ｂ、ｍ　に対して、 　　ａ2－ｋ2ｂ＝ｍ　のとき、 　　　　　 　　ａ2－ｋ2ｂ＝－ｍ　のとき、 　　　　　 　上記で計算した２重根号に公式を適用してみよう。 例　　　の場合 　　　　　ｂ＝１３　として、　５２ｋ3＋３ｋｍ＝５　の解が簡単に見つからないので、 　　　　ｍ＝１　で、５２ｋ3－３ｋ＝５　としてみる。この方程式は、ｋ＝１/２　を解に持つ。 　　　　　４ａ3＋３ａ＝－１８　より、　ａ＜０　で、　４ａ3＋３ａ＋１８＝０ 　　　　この３次方程式は、　ａ＝－３/２　を解に持つ。 　　　　このとき、　ａ2－ｋ2ｂ＝９/４－１３/４＝－１　が成り立つので、 　　　　　　　　　　 例　　　の場合 　　　　　ｂ＝２　として、　８ｋ3＋３ｋｍ＝１４　　ここで、ｍ＝２　としてみると、 　　　　８ｋ3＋６ｋ－１４＝０　は、明らかに　ｋ＝１　を解に持つ。 　　　　　４ａ3－６ａ＝２０　より、　４ａ3－６ａ－２０＝０　で、この３次方程式は、　ａ＝２　を 　　　　解に持つ。　このとき、　ａ2－ｋ2ｂ＝４－２＝２　が成り立つので、 　　　　　　　　＝２＋ 例　　　の場合 　　　　　ｂ＝３　として、　１２ｋ3＋３ｋｍ＝６　の解が簡単に見つからないので、 　　　　１２ｋ3－３ｋｍ＝６　において、ｍ＝２　としてみると、　１２ｋ3－６ｋ－６＝０ 　　　　この３次方程式は、明らかに　ｋ＝１　を解に持つ。 　　　　　４ａ3＋６ａ＝１０　より、　４ａ3＋６ａ＋１０＝０　で、明らかに解は、　ａ＝－１ 　　　　このとき、　ａ2－ｋ2ｂ＝１－３＝－２　が成り立つので、 　　　　　　　　＝－１＋ 　ここで、話を元に戻して、前述で、策を労した次の２重根号 　　　　　　　 に対して、いよいよ公式を適用してみることにしよう。 　そのために、根号内の分母を有理化すると　　となるので、 ｂ＝３　として、　１２ｋ3＋３ｋｍ＝－１５　において、　ｍ＝１　とすると、 ３次方程式　１２ｋ3＋３ｋ＋１５＝０　において、明らかに　ｋ＝－１　を解に持つ。 　４ａ3－３ａ＝２６　より、　４ａ3－３ａ－２６＝０　で、明らかに解は、　ａ＝２ このとき、　ａ2－ｋ2ｂ＝４－３＝１　が成り立つので、 　　　　　　　　＝２－ （コメント）　このように考えると、この問題も他の問題と全く違和感がないですね！ 問　題　　次の２重根号を外せ。 　　　　　　　　 （解） 　　　　　、　 　　とおくと、　β＜α　で、　α5＋β5＝６３２　、　αβ＝－６ 　　である。このとき、 　　　　α5＋β5＝（α3＋β3）（α2＋β2）－α2β2（α＋β） 　　　　　　　　　＝｛（α＋β）3－３αβ（α＋β）｝｛（α＋β）2－２αβ｝－α2β2（α＋β） 　　　　　　　　　＝｛（α＋β）3＋１８（α＋β）｝｛（α＋β）2＋１２｝－３６（α＋β） 　　　　　　　　　＝６３２ 　　ｘ＝α＋β　とおくと、　（ｘ3＋１８ｘ）（ｘ2＋１２｝－３６ｘ－６３２＝０　より、 　　　　　　ｘ5＋３０ｘ3＋１８０ｘ－６３２＝０ 　　Ｆ（ｘ）＝ｘ5＋３０ｘ3＋１８０ｘ－６３２　とおくと、 　　　　Ｆ（２）＝２5＋３０・２3＋１８０・２－６３２＝３２＋２４０＋３６０－６３２＝０ 　　よって、因数定理により、Ｆ（ｘ）は、ｘ－２ で割り切れる。 　　ところで、　Ｆ’（ｘ）＝５ｘ4＋９０ｘ2＋１８０＞０　より、　Ｆ（ｘ）は、単調に増加するので、 　　方程式　Ｆ（ｘ）＝ｘ5＋３０ｘ3＋１８０ｘ－６３２＝０　の解は、　ｘ＝２　のみである。 　　　したがって、　＝２　となる。　　（終） （コメント）　超～複雑っぽい数が、たった「２」とは不思議ですね！ 　　　　　　（→　参考 ：「見かけは悪いが美しい数」） 　　　　　α＋β＝２　、　αβ＝－６　なので、 α 、β　は、２次方程式　ｔ2－２ｔ－６＝０ 　　　　の解となる。　解の公式より、　ｔ＝１± 　　　　　よって、　β＜α　より、　α＝１＋　、　β＝１－　である。 問　題　　次の２重根号を外せ。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　答えは、 　　　　　　　　　　　　　　　　 　二重根号を外す問題は、ガロアの理論と密接に関係している。以下では、このことについ て整理したいと思う。 　２００６年度後期に、上智大学理工学部数学科３年生を対象に行われた角皆先生の講義 録が大いに参考になった。ここに感謝の意を表したい。 　まず、次の問題を考えることにする。 問　題　　　について、 （１）　２重根号を外せ。 （２）　α の有理数体Ｑ上の最小多項式を求めよ。また、拡大次数 ［Ｑ（α）：Ｑ］を求めよ。 （３）　その方程式を、Ｆｅｒｒａｒｉ の方法で解いてみよ。 （４）　Ｑ（α）＝Ｑ（，）　となる ａ 、ｂ ∈Ｚ があれば求めよ。 （解）　（１）は易しいだろう。　　となる。 　　（２）　（α2－５）2＝２４　から、　α4－１０α2＋１＝０ 　　　　　したがって、代数的数 α の最小多項式は、　ｘ4－１０ｘ2＋１　となる。 　　　　　（厳密には、ｘ4－１０ｘ2＋１　がＱ上既約であることを示さなければならないが、 　　　　　　ｘ4－１０ｘ2＋１ 　　　　　　＝（ｘ2－５＋２）（ｘ2－５－２） 　　　　　　＝（ｘ＋＋）（ｘ＋－）（ｘ－＋）（ｘ－－） 　　　　　　から明らかだろう。） 　　　　　　よって、拡大次数 ［Ｑ（α）：Ｑ］＝４　となる。 　　　　　　　（２重根号が外れるとき、方程式自体が特殊な形になるような．．．予感！） 　　（３）　Ｆｅｒｒａｒｉ の方法により、　ｘ4－１０ｘ2＋１＝０　を解くために適当なλを用いて、 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ4＝１０ｘ2－１ 　　　　　　　　ｘ4＋２λｘ2＋λ2＝１０ｘ2－１＋２λｘ2＋λ2 　　　　　　　　　　　　　（ｘ2＋λ）2＝（２λ＋１０）ｘ2＋λ2－１ 　　　　　と式変形するとき、右辺が完全平方式になればよい。 　　　　　　すなわち、判別式を Ｄ とすると、 　　　　　　Ｄ＝０2－４（２λ＋１０）（λ2－１）＝－８（λ＋５）（λ＋１）（λ－１）＝０ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（このようなλに関する方程式を「分解方程式」というらしい。） 　　　　　　　よって、　λ＝－５　、－１　、１ 　　　　　λ＝－５　のとき、　（ｘ2－５）2＝２４　において、 　　　　　　　　ｘ2－５＝±２　より、　ｘ2＝５±２ 　　　　　　　　　ここで、　　なので、 　　　　　　　　　　ｘ＝±（±）　（複号任意）　となる。 　　　　　λ＝－１　のとき、　（ｘ2－１）2＝８ｘ2　において、 　　　　　　　　ｘ2－１＝±２ｘ　より、　ｘ2±２ｘ－１＝０ 　　　　　　　よって、　ｘ＝±±　（複号任意）　となる。　（←２重根号が外れている！） 　　　　　λ＝１　のとき、　（ｘ2＋１）2＝１２ｘ2　において、 　　　　　　　　ｘ2＋１＝±２ｘ　より、　ｘ2±２ｘ＋１＝０ 　　　　　　　よって、　ｘ＝±±　（複号任意）　となる。　（←２重根号が外れている！） 　　（４）　（１）より、　Ｑ（α）＝Ｑ（，）　なので、　ａ＝２、ｂ＝３　と言える。　（終） （コメント）　上記の計算（３）より、（１）のような２重根号を外す公式を知らなくても、 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　であることが分かるようだ。方程式を解く過程で、自然に２重根号が外れるのに 　　　　　　は感動しました！ 　それでは、　　については、どのような計算結果が待ち受けているのだ ろうか？ 上記の α と同様の問題を考えてみよう。 　まず、　ａ＋ｂ＝１０　、ａｂ＝１７　となる ａ 、 ｂ （ａ＞ｂ）は、２次方程式　ｔ2－１０ｔ＋１７＝０ の解なので、　ｔ＝５±２　である。 　したがって、無理をして強引に２重根号を外そうと頑張ってみるのだが、 　　　　　　 となるだけで、永遠に２重根号は外れそうにない雰囲気！この原因はどこにあるのだろう？ 　すぐ気がつくことは、２次方程式　ｔ2－１０ｔ＋１７＝０　が、整数解を持たないからだ！整数 解さえ持ってくれば、２重根号は必ず外れるのに．．．。 　ところで、（β2－１０）2＝６８　から、　β4－２０β2＋３２＝０ 　　　　　したがって、代数的数 β の最小多項式は、　ｘ4－２０ｘ2＋３２　となる。 Ｆｅｒｒａｒｉ の方法により、　ｘ4－２０ｘ2＋３２＝０　を解くために適当なλを用いて、 　　　　　　　　　　　　　　　　　ｘ4＝２０ｘ2－３２ 　　　　　　　　ｘ4＋２λｘ2＋λ2＝２０ｘ2－３２＋２λｘ2＋λ2 　　　　　　　　　　　　　（ｘ2＋λ）2＝（２λ＋２０）ｘ2＋λ2－３２ 　　　　　と式変形するとき、右辺が完全平方式になればよい。 　　　　　　すなわち、判別式を Ｄ とすると、 　　　Ｄ＝０2－４（２λ＋２０）（λ2－３２）＝－８（λ＋１０）（λ＋４）（λ－４）＝０ 　　　　　　　よって、　λ＝－１０　、－４　、４ 　　　　　λ＝－１０　のとき、　（ｘ2－１０）2＝６８　において、 　　　　　　　　ｘ2－１０＝±２　より、　ｘ2＝１０±２ 　　　　　　　　　ここで、　　なので、 　　　　　　　　　　ｘ＝±（）　（複号任意）　となる。 　　　　　λ＝－４　のとき、　（ｘ2－４）2＝（２０－８）ｘ2 　　　　　λ＝４　のとき、　（ｘ2－４）2＝（２０－８）ｘ2 　　　　　　　　これらも全く２重根号が外れる気配は皆無だ！（計算打ち切り） （追記）　平成２２年２月８日付け 　「２重根号が外せるか否かの一般化」と題して、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」に、２月４日 付けでＨＮ「Ｈ．Ｉ．」さんより書き込みがあった。 　２重根号が外せるかどうかの判定の一般化について考えたことがあり、少し式をいじって みたところ、以下のような公式めいたものを得ることが出来ました。 　Ａ、Ｂ、Ｃを正の有理数（Ａ＞Ｃ＞０　かつ　Ｂ＞０　で　√Ｂは無理数）とする。 Ａ2－４Ｂ＝Ｃ2　を満たすＣが存在するとき、２重根号　　は外せて、 　　　　　　　　　 になる。 例　　Ａ＝５、Ｂ＝６　のとき、　Ａ2－４Ｂ＝２５－２４＝１＝１2　より、　Ｃ＝１　なので、 　　　　　　　　 　　になる。 　ただ、上記の公式で気になることが２つあります。 　　（１）判別式「Ａ2－４Ｂ＝Ｃ2　」の形で、不定方程式的な何かの匂いは感じるのですが、 　　　　各変数が有理数なのでこれをどうにかすると、もっとより一般的な議論が出来るの 　　　　か、あるいはそうではないのか。 　　（２）上記判別式で、Ｃの値が虚数になった場合、この式がどういった意味合いを持って 　　　　くるのか。 　以上の疑問点について、何かご教示くだされば幸いです。 　２重根号を外す公式　　　ａ＞ｂ＞０　のとき、 　　　　　　　　　　 より、２重根号　が外れるためには、　　Ａ＝ａ＋ｂ　　、　　Ｂ＝ａｂ　　となる正 の有理数 ａ 、ｂ が見つかればよい。Ｈ．Ｉ．さんは、 ａ 、ｂ を見つけるために、２次方程式 　ｘ2－Ａｘ＋Ｂ＝０　を考えられ、判別式 Ｄ＝Ａ2－４Ｂが完全平方（＝Ｃ2）になる場合に２重 根号が外せることを示しているが、この理論はここまでで、それ以上の進展は期待できない ような、そんな．．．予感。　・・・・・　（１）の回答（カナ？） 　また、Ｄ＜０　のときは、正の有理数 ａ 、ｂ は存在し得ないので、２重根号は外せない。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・　（２）の回答