误差理论与数据处理习题答案1-3章

第一章 习题及参考 1-1. 测得某三角块的三个角度之和为 180°00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差。 【解】绝对误差＝测得值－真值＝180°00’02”－180°＝2” 相对误差＝绝对误差／真值＝2”/（180×60×60”）=3.086×10-4 % 1-2. 在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该 被测件的真实长度为多少？ 【解】 绝对误差＝测得值－真值，即： ∆L＝L－L0 已知：L＝50，∆L＝1μm＝0.001mm， 测件的真实长度Ｌ0＝L－∆L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-3. 用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa，问二 等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞 压力计测量值的误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa）。 1-4. 在测量某一长度时，读数值为 2.31m，其最大绝对误差为 20μm，试求其最大相对误差。 【解】因 ∆L＝L－L0 求得真值：L0＝L－∆L＝2310－0.020＝2309.98（mm）。 故：最大相对误差＝0.020／2309.98＝8.66×10-4 %＝0.000866% 1-5. 使用凯特摆时，g由公式g=4π2（h1+h2）/T2给定。今测出长度（h1+h2）为（1.04230±0.00005） m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测出为（1.04220 ±0.0005）m，为了使g的误差能小于 0.001m/s2，T的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h1+h2）的平均值为 1.04230（m），T的平均值为 2.0480（s）。由 )(4 212 2 hh T g += π 得： 81053.904230.1 0480.2 4 2 2 =×= πg （m/s2） 当（h1+h2）有微小变化 )( 21 hh +∆ 、T有ΔT变化时，g的变化量为： )](2)([4 )(8)(4 )( )( 21212 2 213 2 212 2 21 21 hh T Thh T Thh T hh T T T ghh hh gg +∆−+∆= ∆+−+∆=∆∂ ∂++∆+∂ ∂=∆ π ππ g 的最大相对误差为： T T hh hh hhT hhT ThhT g g ∆−+ +∆= + +∆−+∆ =∆ 2)( )(4 )](2)([(4 21 21 212 2 21212 2 π π 1 %054.0%100] 0480.2 )0005.0(2 1.04230 0.00005[ ±≈×±×−±= 如果（h1+h2）测出为（1.04220±0.0005）m，为使g的误差能小于 0.001m/s2，即： 001.0<∆g 就是 001.0)](2)([4 21212 2 <+∆−+∆=∆ hh T Thh T g π 001.004220.1 0480.2 20005.0 0480.2 4 2 2 <×∆×−± Tπ 00106.001778.10005.0 <∆−± T 求得： )(00055.0 sT <∆ 1-6. 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压，发现 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ 【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为： 所以该电压表合格。 2 2% 100 m m m Ur U ∆= = = 由于： 2% 2.5%< 1-7. 为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的 2/3 范围内使用？ 【答】我国电工仪表、压力表的准确度等级是按照引用误差进行分级的。当一个仪表的等级 s 选定后，用此表测量某一被测量时，所产生的最大相对误差为： 式中：Δxm为仪 被测量x的值越接 1-8. 用两种方法 方法测量精 【解】两种测 δ1＝5 两种测 δ1／L 显然， xx mm∆ %s xx rx ×±== 表某标称量程内的最大绝对误差，x为被测量，xm为标称量程上限。选定仪表后， 近于标称量程上限，测量的相对误差rx越小，测量越准确。 分别测量L1=50mm，L2=80mm。测得值各为 50.004mm，80.006mm。试评定两种 度的高低。 量方法进行的测量绝对误差分别为： 0.004－50＝0.004（mm）； δ2＝80.006－80＝0.006（mm） 量方法的相对误差分别为： 1＝0.004/50=0.008 % 和 δ2／L2＝0.006/80=0.0075 % 测量L2尺寸的方法测量精度高些。 2 1-9. 多级弹导火箭的射程为 10000km 时，其射击偏离预定点不超过 0.1km；在射击场中，优秀射 手能在距离 50m 远处准确地射中直径为 2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高。 【解】两种射击的射击偏差即绝对误差分别为： δ1＝0.1（km）； δ2＝2（cm）＝2×10-2（m） 两种射击的相对误差分别为： δ1／L1＝0.1/10000=0.001 % 和 δ2／L2＝2×10-2/50=0.04 % 多级弹导火箭的射击精度高。 1-10. 若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm和±9μm ；而 用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测 量方法精度的高低。 【解】测量长度L1的两种测量方法的测量误差分别为：δ1＝±11（um）；δ2＝±9（um） 两种测量方法的相对误差分别为： δ1／L1＝±11 um /110mm＝±11/110000＝±0.01% δ2／L1＝±9um/110mm＝±9/110000 ＝±0.0082% 用第三种测量方法的测量误差为：δ3＝±12（um） δ3／L2＝±12 um /150mm＝±12/150000＝±0.008% 显然，第三种测量方法精度最高。而测量L1时有测量误差±11 um的测量方法精度最低。 3 第二章 误差的基本性质与处理 习题及参考答案 2-1. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在［－ σ2 ， σ2 ］中的概率。 【解】（1）误差服从正态分布时 经变换上式成为：：引入新变量 , , 2 2 2 1)2( 2 0 )2(2 2 )2( 2 2 2 2 σδσδ δπσδπσσ σ σδσ σ σδ ttt dedeP == ==± ∫∫ −− − 84%0.840.41952 )2(2)(2 2 2)2( 0 2 2 ==×=Φ=Φ==± ∫ − tdteP t tπσ （2）误差服从反正弦分布时 因反正弦分布的标准差为： 2 a=σ ，所以区间［ σ2− ， σ2 ］＝［ ， ］，故 a− a 111)2( 22 = − =± ∫− δδπσ daP a a （3） 误差服从均匀分布时 因其标准差为： 3 a=σ ，所以区间［ σ2− ， σ2 ］＝［ a 3 2− ， a 3 2 ］，故 %8282.0 3 22 2 1 2 1)2( 3 2 3 2 ==××==± ∫− aadaP a a δσ 2-2. 测量某物体重量共 8 次，测得数据（单位为 g）为 236.45，236.37，236.51，236.34，236.39， 236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。 【解】①选参考值 ，计算差值00.2360 =x 00.236−=∆ ii xx 、 0x∆ 和残差 iν∆ 等列于表中。 序 号 xi Δx i iν 2iν 1 236.45 0.45 +0.02 0.0004 2 236.37 0.37 -0.06 0.0036 3 236.51 0.51 +0.08 0.0064 4 236.34 0.34 -0.09 0.0081 5 236.39 0.39 -0.04 0.0016 6 236.48 0.48 +0.05 0.0025 7 236.47 0.47 +0.04 0.0016 8 236.40 0.40 -0.03 0.0009 43.23600 =∆+= xxx 43.08 1 8 1 0 =∆=∆ ∑ =i ixx 03.0 8 1 −=∑ =i iν 0251.0 8 1 2 =∑ =i iν 1 或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： 43.236 8 1 8 1 == ∑ =i ixx （g） ②计算标准差：用贝塞尔公式计算： 0599.0 18 0251.0 1 1 2 =−=−= ∑ = n n i iν σ ( g ) 2-3. 用别捷尔斯法、极差法和最大误差法计算习题 2-2 的标准差，并比较之。 【解】（1） 用别捷尔斯法计算 0687.0 78 41.0253.1 )1( 253.1 1 =××=−×= ∑ = nn n i iν σ ( g ) （2） 用极差法计算 8 个测量数据的极差为：ωn= 43minmax xxxx −=− =236.51－236.34=0.17， 查教材P18 表 2-4，n=8 时d n=2.85 0596.0 85.2 17.0 === n n d ωσ (g) （3） 最大误差法计算 8 个测量数据的最大残差为： 09.04max == νν i 查教材P19 表 2-5，n=8 时，1/K’n＝0.61 0549.061.009.0' max =×== n i K νσ ( g ) 2-4. 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 【解】①选参考值 ，计算差值5.1680 =x 5.168−=∆ ii xx 、 0x∆ 和残差 iν 等列于表中。 序 号 xi Δx i iν 2iν 1 168.41 -0.09 -0.078 0.006084 2 168.54 0.04 +0.052 0.002704 3 168.59 0.09 +0.102 0.010404 4 168.40 -0.10 -0.088 0.007744 5 168.50 0 +0.012 0.000144 488.16800 =∆+= xxx 012.05 1 5 1 0 −=∆=∆ ∑ =i ixx 0 5 1 =∑ =i iν 02708.0 5 1 2 =∑ =i iν 或依算术平均值计算公式，n=5，直接求得： 488.168 5 1 8 1 == ∑ =i ixx （mA） 2 ②计算标准差：用贝塞尔公式计算： 0823.0 15 02708.0 1 1 2 =−=−= ∑ = n n i iν σ ( mA ) ［若用别捷尔斯法计算： 0930.0 45 332.0253.1 )1( 253.1 1 =××=−×= ∑ = nn n i iν σ ］ ［用极差法计算：n=5 时d n=2.33， 0815.0 33.2 19.0 33.2 40.16859.168 ==−== n n d ωσ (mA) ］ 下面是以贝塞尔公式计算的或然误差和平均误差数据： 或然误差： 0549.00823.0 3 2 3 2 =×=≈ σρ ( mA )； 平均误差： 06584.00823.0 5 4 5 4 =×=≈ σθ ( mA ) 算术平均值的标准差 x σ ： 037.0 5 0823.0 === nx σσ 算术平均值或然误差 R： 0247.0037.0 3 2 3 2 =×=≈ X R σ ( mA ) 算术平均值平均误差 T： 0296.0037.0 5 4 5 4 =×=≈ X T σ ( mA ) 2-5. 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量 5 次，测得数据（单位为 mm）为 20.0015， 20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以 99%的置信概率确 定测量结果。 【解】①求算术平均值 x： 0015.20 5 0075.1001 === ∑ = n l x n i i (mm) ②求残余误差：各次测量的残余误差依次为 0，0.0001，0.0003，0，-0.0004。 ③求测量列单次测量的标准差 用贝塞尔公式计算： 000255.0 15 1026 1 8 1 2 =− ×=−= − = ∑ n n i iν σ （mm） 用别捷尔斯公式计算： 000224.0 45 0008.0253.1 )1( 253.1 1' =×=−= ∑ = nn n i iν σ （mm） ④求算术平均值的标准差 000114.0 5 000255.0 === nx σσ ； 0001.0 5 000224.0'' === nx σσ ⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录 3 表 1 正态分布积分表，得置信系数 t=2.6。故： 单次测量的极限误差： 00066.0000663.0000255.06.2lim ≈=×=±= σδ tx 算术平均值的极限误差： 0003.00002964.0000114.06.2lim ≈=×=±= xx tσδ ⑥求得测量结果为： 0003.00015.20 lim ±=± xx δ （mm） 2-6. 对某工件进行 5 次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm，若要求测 量结果的置信概率为 95%，试求其置信限。 【解】因测量次数 n=5，次数比较少，按 t 分布求置信限（极限误差）。 已知：P=95%，故显著度α=1－P＝0.05；而自由度ν＝n－1＝5－1＝4。 根据显著度α=0.05 和自由度ν查附录表 3 的 t 分度表，得置信系数 ta=2.78。 所以算术平均值的置信限为： 00622.0 5 005.078.2lim ±=×±=±= xatx σδ （mm） 2-7. 用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm，若要求测量 结果的置信限为±0.005mm，当置信概率为 99%时，试求必要的测量次数。 【解】① 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率：P=99%，查正态分布表有：t=2.6， 则置信限为： =×±= n tx σδ lim ±2.6× n 004.0 =±0.005（给定值） 求得：n=4.32，取 n=5. ② 若测量误差符合 t 分布 已知置信概率：P=99%，则显著度α=0.01， 由置信限： ≤×±= n tx a σδ lim ±0.005 有关系：ta 125.125.1 +=≤ νn 当显著度α=0.01 时，ν=7，查t分度表，有ta=3.50，满足上述等式。 即求得：n=ν+1=8 为必要的测量次数。 2-8. 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm，若要求测量的允许极限误差 为±0.0015mm，而置信概率 P 为 0.95 时，应测量多少次。 【解】本题与 2-7 相似。 ① 若测量误差符合正态分布规律 已知置信概率：P=0.95，查正态分布表有：t=1.96， 则极限误差为： =×±= n tx σδ lim ±1.96× n 001.0 =±0.0015（给定值） 求得：n=1.7，取 n=2. 4 ② 若测量误差符合 t 分布 已知置信概率：P=0.95，则显著度α=0.05， 由极限误差： ≤×±= n tx a σδ lim ±0.0015 有关系：ta 15.15.1 +=≤ νn 当显著度α=0.05 时， ν=3，查t分度表，ta=3.18 > 315.1 =+ν （不合要求） ν=4，查t分度表，ta=2.78 < 354.315.1 =+ν （满足要求） 即求得：n=ν+1=4+1=5 为必要的测量次数。 2-9. 已知某仪器测量的标准差为 0.5μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为 26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量 10 次，测得值（单位为 mm）为 26.2025， 26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022， 试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次重复测量的 测量值，写出上述①、②的测量结果。 【解】① 单次测量的极限误差以 3σ计算，δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm) 所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015 (mm) ② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： =x 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 ，计算差值202.260 =x 202.26−=∆ ii xx 、 0x∆ 和残差 iν 等列于表中。 序 号 xi Δx i iν 2iν 1 26.2025 0.0005 0 0 2 26.2028 0.0008 +0.0003 9×10-8 3 26.2028 0.0008 +0.0003 9×10-8 4 20.2025 0.0005 0 0 5 26.2026 0.0006 +0.0001 1×10-8 6 26.2022 0.0002 -0.0003 9×10-8 7 20.2023 0.0003 -0.0002 4×10-8 8 26.2025 0.0005 0 0 9 26.2026 0.0006 +0.0001 1×10-8 10 26.2022 0.0002 -0.0003 9×10-8 2025.2600 =∆+= xxx 0005.010 1 10 1 0 =∆=∆ ∑ =i ixx 0 10 1 =∑ =i iν 8 10 1 2 1042 − = ×=∑ i iν 用贝塞尔公式计算： 00022.0 110 1042 1 8 1 2 =− ×=−= − = ∑ n n i iν σ (mm). 5 算术平均值的标准差： 00007.0 10 00022.0 === nx σσ (mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3 xσ =26.2025±0.00021 (mm). 此时①的测量结果为 26.2025±0.00021 (mm)；②的测量结果为 26.2025±0.00021 (mm). * 或以两组不等精度测量来表示测量结果：（以下计算需要该仪器测量的标准差资料） 两组测量的权之比为： 2500:49 )00007.0( 1: )0005.0( 11:1: 222 2 2 1 21 === xx pp σσ 加权算术平均值为： 2025.26 250049 2025.2625002025.2649 1 1 =+ ×+×== ∑ ∑ = = m i i m i ii p xp x （mm） 加权算术平均值的标准差为： 00007.01386.00005.0 250049 490005.0 1 =×=+== ∑ − m i i i ixx p pσσ （mm） 故①、②测量的测量结果表达为：26.2025±3 xσ =26.2025±0.00021 (mm) 2-10. 某时某地由气压表得到的读数（单位为 Pa）为 102523.85，102391.30，102257.97，102124.65， 101991.33，101858.01，101724.69，101591.36，其权各为 1，3，5，7，8，6，4，2，试 求加权算术平均值及其标准差。 【解】由计算加权算术平均值及其标准差的公式直接计算。 加权算术平均值为： )(p 102028.34 3425.102028 36 3673020.33 24687531 101591.362101724.694101858.016101991.338 24687531 102124.657102257.975102391.303102523.851 1 1 a m i i m i ii p xp x ≈== +++++++ ×+×+×+×= +++++++ ×+×+×+×== ∑ ∑ = − 加权算术平均值的标准差的计算，先求各测量结果的残余误差： 51.4951 =ν ， 96.3622 =ν ， 63.2293 =ν ， 31.964 =ν 01.375 −=ν ， 33.1706 −=ν ， 65.3037 −=ν ， 98.4368 −=ν 6 算术平均值的标准差为： ∵ 147.1905077)98.436(2)65.303(4)33.170(6 )01.37(831.96763.229596.362351.4951 222 222222 =−×+−×+−× +−×+×+×+×+×=∑ xiipν ∴ 95.86 36)18( 147.1905077 )1( 1 1 2 =×−=− = ∑ ∑ − = m i i m i xii x pm pν σ （Pa） 2-11. 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”， σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。 【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。 961:19044 44.190 1: 61.9 1 8.13 1: 1.3 11:1: 222 2 2 1 21 ==== σσpp 取： 961 ,19044 21 == pp 选取 '''0 361324o=α ，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差： ''' '' ''' 1 1 0 4.351324 96119044 )12(961019044361324 oo =+ −×+×+=+= ∑ ∑ = − m i i m i ii p p α αα 加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差： '' 1 6.0=ν ， ''2 4.11−=ν 算术平均值的标准差为： '' 22 1 1 2 6.6 )96119044()12( )4.11(9616.019044 )1( =+×− −×+×= − = ∑ ∑ − = m i i m i xii x pm pν σ 2-12. 甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α个各重复测量 5 次，测得值如下： α甲：7°2’20”，7°3’0”，7°2’35”，7°2’20”，7°2’15”， α乙：7°2’25”，7°2’25”，7°2’20”，7°2’50”，7°2’45”； 试求其测量结果。 【解】①对于每一组的测量，是等精度测量，分别先求各组的算术平均值。 ''' '''''''''' ' 5 1 0 0 30275 152035602027 )( °°= =+++++= − += ∑ n i i αα αα 甲 甲 7 ''' '''''''''' ' 5 1 0 0 33275 455020252527 )( °°= =+++++= − += ∑ n i i αα αα 乙 乙 用贝塞尔公式计算各组的标准差： '' 22222 1 2 4.18 15 30153020303530603020 1 =− −+−+−+−+−=−= ∑ = ）（）（）（）（）（甲 甲 n n i iν σ '' 22222 1 2 14 15 30453050302030253025 1 =− −+−+−+−+−=−= ∑ = ）（）（）（）（）（乙 乙 n n i iν σ 两测量列的算术平均值的标准差： ''2.8 5 4.18 === n 甲 甲 σσ ； ''3.6 5 14 === n 乙 乙 σσ ②确定各组的权 67:406724:3969 69.39 1: 24.67 1 3.6 1: 2.8 11:1: 222221 ≈==== 乙甲 σσ pp ③求加权算术平均值 ''' '''' ' 1 1 0 0 3227 6740 )3367304027 )( oo =+ ×+×+= − += ∑ ∑ = − m i i m i ii p p αα αα ④求加权算术平均值的标准差 '' 1 561.02.8 6740 402.8 ≈×=+×== ∑ − m i i i ixx p pσσ 或： '' 1 579.03.6 6740 673.6 ≈×=+×== ∑ − m i i i ixx p pσσ ⑤测量结果： ''''' 1532273 ±=± o x σα 2-13. 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为 n 乘以任一个测量值的权。 【证明】因为等精度测量，可设 n 个测得值的标准差均为σ，且其算术平均值的标准差为： nx σσ = 8 又设各测量值的权相等，即： 01 ppp i ==== LL 。n 个相等精度测得值的平均值的权 为 xp ，则：n 个相等精度测得值的平均值的权 xp 与各测得值的权 （i=1,2…,n）的比为 ip 1:1:1:1: 2222 n npp ix ix === σσσσ → ix npp = ，证毕。 2-14. 重力加速度的 20 次测量具有平均值为 9.811m/s2、标准差为 0.014 m/s2。另外 30 次测量具 有平均值 9.802m/s2、标准差为 0.022 m/s2。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此 50 次测量的平均值和标准差。 【解】已知20次测量的标准差 ，30次测量的标准差 ， 由此可确定其权的大小。 )(m/s 014.0 21 =σ )(m/s 022.0 22 =σ 49:121 484 1: 196 1 022.0 1: 014.0 11:1: 222 2 2 1 21 ==== σσpp 然后再按不精度测量有关公式直接计算。 50 次测量的加权算术平均值： )(m/s 8084.9 49121 802.949811.9121 2 1 1 =+ ×+×== ∑ ∑ = − m i i m i ii p xp x 50 次测量的加权算术平均值的标准差： 012.0 49121 121014.0 1 1 1 =+×== ∑ − m i i xx p pσσ 或： 012.0 49121 49022.0 1 2 2 =+×== ∑ − m i i xx p pσσ 2-15. 对某量进行 10 次测量，测得数据为 14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1， 15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值： 96.14=x 。各测量数据的残余误差分别为： 54.0 16.0 24.0 04.0 26.0 54321 =−===−= ννννν 04.0 14.0 16.0 06.0 36.0 109876 ==−=−=−= ννννν ① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，因 此可判断该测量列无变化的系统误差存在。 ② 采用不同公式计算标准差比较法。 9 按贝塞尔公式： 263.0 110 624.0 1 1 2 1 =−=−= ∑ = n n i iν σ 用别捷尔斯法计算： 264.0 910 2253.1 )1( 253.1 12 =××=−×= ∑ = nn n i iν σ 令： u+=+=== 1004.01004.1 263.0 264.0 1 2 σ σ 因为： 004.0667.0 110 2 1 2 =>>=−=− un ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 ③ 按残余误差校核法：前 5 个残余误差和与后 5 个残余误差的差值△为 8.0)4.0(4.0 10 6 5 1 =−−=−=∆ ∑∑ == j j i i νν 两部分之差显著不为 0，则有理由认为测量列中含有系统误差。 （为什么会得出互为矛盾的结论？问题出在本题给出的数据存在粗大误差----这就提醒 我们在判断是否有系统误差前，应先剔除粗大误差，然后再进行系统误差判断。） 2-16. 对一线圈电感测量 10 次，前 4 次是和一个标准线圈比较得到的，后 6 次是和另一个标准 线圈比较得到的，测得结果如下（单位为 mH）： 50.82，50.83，50.87，50.89； 50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。 试判断前 4 次与后 6 次测量中是否存在系统误差。 【解法一】用 t 检验法进行检验 前 4 次测量的算术平均值： 8525.50 4 1 == ∑ xx 后 6 次测量的算术平均值： 7983.50 6 1 == ∑ yy 00082.0)( 4 1 22 =−= ∑ xxS ix ； ∑ =−= 00105.0)(61 22 yyS iy 44.2 )00105.0600082.04)(64( )264(64)798.508525.50( =×+×+ −+×−=t 由ν=4+6-2=8 及取α=0.05，查t分布表，得t a=2.31。 因 31.244.2 =>= att ，可判断两组数据可能存在系统误差。 【解法二】用秩和检验法进行检验。将两组数据按从小到大混合排列成下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 50.82 50.83 50.87 50.89 yi 50.75 50.78 50.78 50.81 50.82 50.85 已知：n1=4，n2=6；计算秩和T：T=5.5+7+9+10=31.5，查表：T-=14，T+=30； 因：T=31.5> T+=30，可判断两组数据可能存在系统误差。 10 【解法三】用计算数据比较法检验。两组数据的算术平均值和标准差分别为： 第一组数据： 8525.50 4 1 == ∑ xx ； 033.014 10275.31 32 1 =− ×=−= −∑ n iνσ 第二组数据： 7983.50 6 1 == ∑ yy ； 035.016 108334.621 42 2 =− ×=−= −∑ n jνσ [注：若以极差法计算标准差，计算结果也相近： 034.0 06.2 82.5089.50 1 =−== n n d ωσ ； 04.0 53.2 75.5085.50 ' ' 2 =−== n n d ωσ ] 两组数据算术平均值之差为： 0542.07983.508525.50 =−=−=∆ yx 其标准差为： 0481.0035.0033.0 222221 =+=+= σσσ 因： <0542.0=∆ 0962.02 2221 =+ σσ ，故两组数据间无系统误差。 （以上计算，本人经过多次推导，应该无误！解法三得出了与前两种方法互为矛盾的结 论，原因何在？请同学们仔细分析。） （本人分析原因如下：①所给两组数据包含的误差并不是服从正态分布，因此不能用 t 检验法检验；②解法三在计算标准差时，因测量次数少，用贝塞尔公式计算标准差误差大； 极差法计算标准差也是要求测量误差服从正态分布；③解法二适合非正态分布的误差，得出 的结论正确；④以上几种系统误差的判别法具有一定的适应范围，有局限性。） 2-17. 等精度测得某一电压 10 次，测得结果（单位为 V）为 25.94，25.97，25.98，26.01，26.04， 26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判 明是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了 10 次等精度测量，测得 结果（单位为 V）为 25.93，25.94，25.98，26.02，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94， 26.02。试用 t 检验法（取α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】计算两组测量结果的算术平均值： 001.26 10 1 == ∑ xx 971.25101 == ∑ yy 00155.0)( 10 1 22 =−= ∑ xxS ix ∑ =−= 00215.0)(101 22 yyS iy 48.1 )00215.01000155.010)(1010( )21010(1010971.25001.26 =×+×+ −+×−= ）（t 由ν=10+10-2=18 及取α=0.05，查t分布表，得t a=2.1。 因 1.248.1 =<= att ，故无根据怀疑两组数据间存在线性系统误差。 11 2-18. 对某量进行了 12 次测量，测得数据为 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11， 20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统误差。 【解】先计算算术平均值： 125.20=x 。各测量数据的残余误差分别为： 005.0 025.0 045.0 065.0 055.0 065.0 654321 −=−=−=−=−=−= νννννν 065.0 085.0 055.0 055.0 015.0 015.0 121110987 =====−= νννννν ① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差有规律地递增，在测量开始与结束时误差符 号相反，故可判断该测量列存在线性系统误差。 ② 按残余误差校核法：前 6 个残余误差和与后 6 个残余误差的差值△为 52.026.026.0 12 7 6 1 −=−−=−=∆ ∑∑ == j j i i νν 两部分之差显著不为 0，则有理由认为测量列中含有线性系统误差。 ③ 采用不同公式计算标准差比较法。 按贝塞尔公式： 054.0 112 0321.0 1 1 2 1 =−=−= ∑ = n n i iν σ 用别捷尔斯法计算： 06.0 1112 55.0253.1 )1( 253.1 12 =××=−×= ∑ = nn n i iν σ 令： u+=+=== 111.0111.1 054.0 06.0 1 2 σ σ 因为： 11.0603.0 112 2 1 2 =>=−=− un ，故无根据怀疑测量列存在系统误差。 （又出现互为矛盾的结论，如何解释呢？） 2-19. 对某量进行两组测量，测得数据如下： xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差。 【解】将两组数据按从小到大混合排列成下表： T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 yi 0.99 1.12 1.21 1.25 T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xi 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 已知n1=n2=15，因 组数据的秩和较小，故以其数据的次序计算秩和： ix T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174 12 因n1=n2=15>10，秩和T近似服从正态分布。 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++++= 12 )1( , 2 )1( ) ,( 2121211 nnnnnnn NaN σ 其中数学期望 和标准差σ分别为： a 11.24 12 )11515(1515 12 )1( ,5.232 2 )11515(15 2 )1( 2121211 =++×=++==++=++= nnnnnnna σ 则置信系数 t为： 43.2 11.24 5.232174 −=−=−= σ aTt 选取置信概率 99%（显著度 0.01），即取 495.0)( =Φ t ，由附录表 1 查得： ， 60.2=at 因 60.243.2 =<= att ，故无根据怀疑两组数据间有系统误差。 2-20. 对某量进行 15 次测量，测得数据为 28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50， 28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若这些测得值已消除系统误差， 试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测 量值。 【解】将有关计算数据：平均值、残差 iν 等列于表中： 序 号 xi iν 2iν 'iν 2' iν 1 28.53 -0.04 0.0016 0.03 0.0009 2 28.52 -0.05 0.0025 0.02 0.0004 3 28.50 -0.07 0.0049 0 0 4 29.52 0.95 0.9025 5 28.53 -0.04 0.0016 0.03 0.0009 6 28.53 -0.04 0.0016 0.03 0.0009 7 28.50 -0.07 0.0049 0 0 8 28.49 -0.08 0.0064 -0.01 0.0001 9 28.49 -0.08 0.0064 -0.01 0.0001 10 28.51 -0.06 0.0036 0.01 0.0001 11 28.53 -0.04 0.0016 0.03 0.0009 12 28.52 -0.05 0.0025 0.02 0.0004 13 28.49 -0.08 0.0064 -0.01 0.0001 14 28.40 -0.17 0.0289 -0.1 0.01 15 28.50 -0.07 0.0049 0 0 57.28=x 01.015 1 =∑ =i iν 9803.0 15 1 2 =∑ =i iν 04.014 1 =∑ =i iν 0148.0 8 1 2 =∑ =i iν 直接求得 15 个数据的算术平均值及其标准差： 57.28 15 1 15 1 == ∑ =i ixx ； 265.0 115 9803.0 1 15 1 2 =−=−= ∑ = n i iν σ 13 ① 用莱以特准则判别粗大误差 因 795.0395.04 =>= σν ，故第 4 个测量数据含测量误差，应当剔除。 再对剩余的 14 个测得值重新计算，得： 50.28 14 1 14 1 ' == ∑ =i ixx , 0337.0 114 0148.0 1 14 1 2' ' =−=−= ∑ = n i iν σ 1011.00337.033 ' =×=σ ， 由表知第 14 个测得值的残余误差： 1011.0317.0' )14( =>= σν ，故也含粗大误差，应剔除。 再重复验算，剩下的 13 个测得值已不包含粗大误差。 ② 用格罗布斯准则判别 已经计算出 15 个测量数据的统计特征量： 57.28=x ， 265.0=σ 。 将测得的数据按从小到大的顺序排列，有： 40.28)1( =x ， 17.04.2857.28)1( =−=− xx 52.29)15( =x ， 95.057.2852.29)15( =−=− xx 首先判别 是否含有粗大误差： )15( x 585.3265.0 57.2852.29)15( )15( =−= −= σ xx g 查表 2-13 得： 41.2)05.0 ,15(0 =g 则： 41.2)05.0 ,15(585.3 0)15( =>= gg 故第 4 个测得数据包含粗大误差，应当剔除。 再对剩下的 14 个测得值计算，判断 是否含有粗大误差。已知：)1( x 50.28' =x , 034.0' =σ 94.2 034.0 40.2850.28)1( ' )1( =−= −= σ xx g 查表 2-13 得： 37.2)05.0 ,14(0 =g 则： 37.2)05.0 ,14(94.2 0)1( =>= gg 故第 14 个测得数据也包含粗大误差，应当剔除。 再重复检验，其它各测得值已不再包含粗大误差。 ③ 用狄克松准则判别 将测得的数据按从小到大的顺序排列，有： 52.29 ,53.28 , ,49.28 ,40.28 )15()14()13()3()2()1( ===⋅⋅⋅⋅⋅⋅=== xxxxxx 判断最小值 与最大值 是否包含粗大误差。因 n=15，以统计量 和 计算 )1(x )15(x 22r '22r 04.1 49.2852.29 53.2852.29 )3()15( )13()15( 22 =− −=− −= xx xx r ， 692.0 53.2840.28 49.2840.28 )13()1( )3()1(' 22 =− −=− −= xx xx r 14 查表 2-14 得 ， 因：525.0)05.0 ,15(0 =r )05.0 ,15(04.1 022 rr >= 和 )05.0 ,15(692.0 0'22 rr >= 故： )和 （即所测的第 4 和第 14 个测量值）包含粗大误差，应予剔除。 1(x )15(x 再重复检验剩余的 13 个测得值，已不再包含粗大误差。 2-21. 对某一个电阻进行 200 次测量，测得结果列表如下： 测得电阻值 R/Ω 1220 1219 1218 1217 1216 1215 1214 1213 1212 1211 1210 该电阻值出现次数 1 3 8 21 43 54 40 19 9 1 1 ① 绘出测量结果的统计直方图，由此可得到什么结论？ ② 求测量结果并写出表达式。 ③ 写出测量误差概率分布密度函数式。 【解】①测量结果的统计直方图如下。由此可看出电阻值的阻值偏差基本符合正态分布。 测量结果的统计直方图 121512141212 121312111210 10 20 40 30 50 60 测得电阻值1219 122012181216 1217 出 现 次 数