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等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明

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等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 一、一周知识概述 1、等腰三角形的性质定理   等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”). 2、等腰三角形性质定理的推论   推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).   推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°. 3、等腰三角形的判定定理   两个角相等的三角形是等腰三角形. 4、等腰三角形判定定理的推论   推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.   推论2:有一个角等于60°的等...
等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明
等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明 一、一周知识概述 1、等腰三角形的性质定理   等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”). 2、等腰三角形性质定理的推论   推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”).   推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°. 3、等腰三角形的判定定理   两个角相等的三角形是等腰三角形. 4、等腰三角形判定定理的推论   推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.   推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 5、直角三角形的性质定理   在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 6、平行四边形的性质定理   定理1:平行四边形的对边相等.   定理2、平行四边形的对角相等.   定理3、平行四边形的对角线互相平分. 7、平行四边形的判定定理   定理1:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.   定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.   定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.   定理4:两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 8、三角形中位线的性质定理   三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半. 二、重难点知识 1、要说明一个命题的正确性,需用已学过的公理或定理进行证明,命题证明的步骤:先画图,写出已知、求证,给出严格的证明. 2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点. 三、典型例题讲解 例1、如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于D,交AC于E.求证:BD+EC=DE. 分析:   因为DE=DF+FE,即结论为BD+EC=DF+FE,分别证明BD=DF,CE=FE即可,于是运用“在同一个三角形中,等角对等边”,易证结论成立. 证明:   ∵DE∥BC(已知),   ∴∠3=∠2(两直线平行,内错角相等).   又∵BF平分∠ABC,∴∠1=∠2.∴∠1=∠3.∴DB=DF(等角对等边).   同理可证EF=CE.   ∴BD+EC=DF+EF,即BD+EC=DE.   小结:过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交,所构成的三角形是一个等腰三角形,这是一个常见的构图,应熟练掌握. 例2、数学课堂上,老师布置了一道几何证明题,让大家讨论它的证明方法,通过大家的激烈讨论,有几位同学说出了他们的思路,并添加了辅助线,你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗?   如图,已知△ABC中AB=AC,F在AC上,在BA延长线上取AE=AF.求证:EF⊥BC. 解:   首先,小明根据等腰三角形这一已知条件,结合等腰三角形的性质,想到了过A作AG⊥BC于G这一条辅助线,如图. 证明1:   过A作AG⊥BC于G.   ∵AB=AC,∴∠3=∠4.   又∵AE=AF,∴∠1=∠E.   又∵∠3+∠4=∠1+∠E,   ∴∠3=∠E,   ∴AG//EF,   ∴EF⊥BC.   接着小亮根据题设AE=AF,结合等腰三角形的性质作出过A作AH⊥EF于H这条辅助线,如图. 证明2:   过A作AH⊥EF于H.   ∵AE=AF,∴∠EAH=∠FAH.   又∵∠AB=AC,∴∠B=∠C.   又∵∠EAH+∠FAH=∠B+∠C,   ∴∠EAH=∠B,   ∴AH//BC,   ∴EF⊥BC.   小彬也作出了一条辅助线,过C作MC⊥BC交BA的延长线于M,如图. 证明3:   过C作MC⊥BC交BA的延长线于M,则∠1+∠2=90°.   ∵AE=AF,∴∠AEF=∠AFE,   ∴∠EAF=180°-2∠AFE.   又∵AB=AC,∴∠B=∠1.   又∵∠EAF=∠B+∠1,∴∠EAF=2∠1,   ∴2∠1=180°-2∠AFE,   ∴∠1+∠AFE=90°,   ∴∠2=∠AFE,   ∴DE//MC,   ∴EF⊥BC.   小颖的作法是:过E作EN⊥EF交CA的延长线于N,如图. 证明4:   过E作EN⊥EF交CA的延长线于N,则∠1+∠2=90°.   ∵AE=AF,   ∴∠2=∠AFE,∴∠EAF=180°-2∠2.   又∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠EAF=∠B+∠C=2∠B,   ∴2∠B=180°-2∠2,∴∠B+∠2=90°,   ∴∠1=∠B,∴EN//BC,   ∴EF⊥BC.   小虎的作法是:过E点作EP//AC交BC的延长线于P,如图. 证明5:   过E作EP//AC交BC的延长线于P,则∠AFE=∠2,∠3=∠P.   又∵AE=AF,∴∠1=∠AFE,   ∴∠1=∠2.   又∵AB=AC,∴∠B=∠3,   ∴∠B=∠P,∴EB=EP,   ∴EF⊥BC.   大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时,小红突然站起来说,不作辅助线也可以证明,你说是吗?(如图). 证明6:   ∵AE=AF,   ∴∠1=∠E.   又∵∠2=∠1+∠E,   ∴∠2=2∠E.   又∵AB=AC,∴∠B=∠C,   ∴∠2=180°-2∠B,   ∴2∠E=180°-2∠B,   即∠E+∠B=90°,   ∴∠3=180°-90°=90°,   ∴EF⊥BC.   小结:本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识,要注意灵活运用与牢固掌握相结合. 例3、如图,在△ABC中,AB=AC=CB,AE=CD,AD、BE相交于P,BQ⊥AD于Q.   求证:BP=2PQ。 分析:   在Rt△BPQ中,本题的结论等价于证明∠PBQ=30° 证明:   ∵AB=CA,∠BAE=∠ACD=60°,AE=CD,   ∴△BAE≌△ACD   ∴∠ABE=∠CAD   ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP      =∠CAD+∠BAP=60°   又∵BQ⊥AD   ∴∠PBQ=30°   ∴BP=2PQ 例4、(2006·黄冈)如图所示,DB∥AC,且,E是AC的中点.求证BC=DE. 分析:   本题考查运用三角形中位线的性质、平行四边形的判定定理等进行证明. 证明:   ∵E是AC的中点,   ∴EC=DB.∵DB∥AC,∴DB∥EC,   ∴四边形DBCE是平行四边形,∴BC=DE. 例5、如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是AB,CD的中点,AD,BC的延长线分别与EF的延长线交于点H,G,求证∠1=∠2. 分析:   本题的条件与结论较为分散,利用三角形中位线的性质定理将它们集中起来,有利于问题的解决. 证明:   连接AC,取AC的中点M,连接MF,ME,   则ME,MF分别是△ABC和△CDA的中位线,   故ME∥BC且 MF∥AD且   ∴∠1=∠3,∠2=∠4.又∵AD=BC,∴ME=MF.∴∠3=∠4.   ∴∠1=∠2.   小结:(1)在有关平行四边形的证明问题中,常用到与全等三角形及平行线有关的公理、定理,需在学习过程中灵活应用和深入理解.   (2)在运用三角形中位线定理时,一定要注意中位线与它所平行的边之间的关系是“中位线平行于第三边并且等于它的一半”,这为线段之间关系的确定提供了一个依据.
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