所得税交纳点选址的数学模型

所得税交纳点选址的数学模型 试题：所得税交纳点选址 所得税管理部门对某个城市的所得税交纳点网络进行重新。下图是该城市主要区和主要道路的示意图。区旁边的黑体数字示该区居民数目，单位为千人。在连区之间的弧上标出了它们之间的距离，单位为千米（斜体字）。为覆盖整个城市，所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。请建立数学模型给出三个纳税点安排的最佳方案。 摘要 所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。如图所示，区旁边的黑体数字表示该区居民数目，单位为千人。在连区之间的弧上标出了它们之间的距离，单位为千米（斜体字）。为覆整个城市，所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。 首先我们将问题参数化，建立数学模型。然后利用穷举法计算出每个点到所指定的三个纳税点的距离，再利用弗洛依德算法得出距离矩阵，并结合 math lab等程序（C语言、Lingo），得出其与人数加权后的距离矩阵。 最后得出在1，6，和11 设置纳税点为最佳。1，2，5，7区 的居民去1区 的纳税点缴税，3，4，6，9 区的居民去6 区的纳税点缴税，8，10，11，12区的居民去11区 的纳税点缴税。 我们的模型虽然简单，但合理、实用，可以被各领域针对自己的情况应用到中去，指导他们的实际工作。 模型的总体假设 1. 假设纳税点集中在每个区的中心； 2. 假设限定每个区的居民只能到一个纳税点缴税； 3. 假设三个纳税点之间无特定联系; 4. 不考虑“道路难度系数”（即实际路程、地面情况及障碍物等）; 5. 不考虑路程与时间的关系（即选出的是人数和距离加权后最小的纳税点，而非时间最短）； 6. 不考虑居民的迁入迁出，即假定该区居民数目稳定; 7. 不考虑居民的主观因素（如个人偏好，或者因最近纳税点人多而临时改变纳税点等）； 模型的建立与求解 ◆第一步：模型的建立 根据假设一，每个纳税点集中在每个区的中心，可能的位置有12种，则三个纳税点的组合至多有 =12*11*10/6=220个。可将问题参数化。 参数的假定： ① i、j、k——所选纳税点的区号；（共有 =220种选择方案） ② m——区号数；（m=1、2、3…12） ③ ——m区的居民数，单位为千人； ④ 、 、 ——分别表示m区到i、j、k区（即所选纳税点）的最小距离； ⑤ =Min[ ， ， ]即m区到三个纳税点的最小距离； 则问题可以表述为： 求目标函数：Min[Z(i，j，k)]= ◆第二步：模型的求解(考虑用穷举法) 一、距离矩阵的建立 1、i=1,j=2,k=3(即所选的三个纳税点为1区，2区，3区)； （1）m=1,2,3时，显然， =0； =0； =0（即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小，距离为0） （2）m=4时，由题图显然： =55（4——3——2——1）； =40（4——3——2）； =18（4——3）； =min( ， ， )= =18; …… (10) m=12时，由题图显然： =67（12——9——5——1）； =61（12——9——3——2）； =39（12——9——3）； =min( , , )= =39; 2、 i=1,j=2,k=4 (即所选的三个纳税点为1区，2区，4区)； (1) m=1,2,4时，显然， =0； =0； =0（即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小，距离为0。 （2）m=3时，由题图显然： =37（3——2——1）； =22（3——2）； =18（3——4）； =min( , , )= =18; …… (10) m=12时，由题图显然（以此类推）： …… 以此类推，可得距离矩阵如下： 二、距离与人数的加权 与人数加权后的距离矩阵如下： 由公式Min[Z(i，j，k)]= 结合与人数加权后的距离矩阵可得结果为：加权后的最小距离和为2438；在1，6，和11 设置纳税点为最佳。1，2，5，7区 的居民去1区 的纳税点缴税，3，4，6，9 区的居民去6 区的纳税点缴税，8，10，11，12区的居民去11区 的纳税点缴税。 三、 将上述求解过程程序化（以Math lab为主，C语言程序、Lingo 的程序及运行结果见附录） Math lab思考过程及程序如下： 第一步，用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij（i，j ＝ 1，2，…，12），并将其写成如下距离矩阵： ShortDistance= 第二步，以各顶点的载荷（人口数）加权，求每一个顶点至其它各个顶点的最短路径长度的加权和，并将其写成如下距离矩阵： ShortPath= 第三部，用穷举法任选三点，求其他九点中的任意一点到该三点的加权距离的最短距离的加权和，MATLAB中可用矩阵依次求出所有可能的结果，并标记最短距离SDL及最优第三点i,j,k. 第四步，输出，shortpath,SDL及i,j,k. M=inf;A=[15 10 12 18 5 24 11 16 13 22 19 20]; a=[0,15,M,M,24,M,18,M,M,M,M,M;0,0,22,M,M,M,M,M,M,M,M,M;zeros(1,3),18,16,M,M,M,20,M,M,M;zeros(1,4),M,12,M,M,M,M,M,M;zeros(1,5),M,M,12,24,M,M,M;zeros(1,6),M,M,12,M,M,22;zeros(1,7),15,M,22,M,M;zeros(1,8),30,M,25,M;zeros(1,9),M,19,19;zeros(1,10),19,M;zeros(1,11),21;zeros(1,12)]; a=a+a'; for i=1:length(a) pb(1:length(a))=0;pb(i)=1; d(1:length(a))=M;d(i)=0;temp=i; while sum(pb) void floyd(int (*dist)[13],int n) { int i,j,k; for(k=1;k