立体几何线面平行问题

线线问题及线面平行问题 一、 1 空间两直线的位置关系（1）相交——有且只有一个公共点；（2）平行——在同一平面内，没有公共点；（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式： ． 3.等角定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，则这两个角相等 4.等角定理的推论:若两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式： EMBED Equation.DSMT4 与 是异面直线 7．异面直线所成的角：已知两条异面直线 ，经过空间任一点 作直线 ， 所成的角的大小与点 的选择无关，把 所成的锐角（或直角）叫异面直线 所成的角（或夹角）．为了简便，点 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围： 8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线 垂直，记作 ． 9．求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求 10．两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线的公垂线 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交”的含义．两条异面直线的公垂线有且只有一条 11．异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离． 12．直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为 ， ， ． 13．线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式： ． 14. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．推理模式： ． 二、基本题型 1．判断题（对的打“√”，错的打“×”） （1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 （ ） （2）两线段AB、CD不在同一平面内，如果AC=BD，AD=BC，则AB⊥CD（ ） （3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60º （ ） （4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直 （ ） 2．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中 ①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60º角； ④DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A）①②③ （B）②④ （C）③④ （D）②③④ 3．已知空间四边形ABCD.(1)求证：对角线AC与BD是异面直线;(2)若AC⊥BD,E,F,G,H分别这四条边AB,BC,CD,DA的中点,试判断四边形EFGH的形状;(3)若AB＝BC＝CD＝DA,作出异面直线AC与BD的公垂线段.翰林汇 4．完成下列证明，已知直线a、b、c不共面，它们相交于点P，A(a，D(a，B(b，E(c求证：BD和AE是异面直线 证明：假设__ 共面于(，则点A、E、B、D都在平面__内 (A(a，D(a，∴__(γ. (P(a，∴P(__. (P(b，B(b，P(c，E(c ∴__((，__((，这与____矛盾 ∴BD、AE__________ 5 已知 分别是空间四边形四条边 的中点，（1）求证四边形 是平行四边形（2）若AC⊥BD时，求证： 为矩形；（3）若BD=2，AC=6，求 ；（4）若AC、BD成30º角，AC=6，BD=4，求四边形 的面积；（5）若AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求AC与BD间的距离. 6 空间四边形 中， ， 分别是 的中点， ，求异面直线 所成的角 7. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求(1)A1B与B1D1所成角;(2)AC与BD1所成角.翰林汇翰林汇 8．在长方体 中，已知AB=a，BC=b， =c(a＞b)，求异面直线 与AC所成角的余弦值 9．如图，已知 是平行四边形 所在平面外一点， 、 分别是 、 的中点（1）求证： 平面 ；（2）若 ， ， 求异面直线 与 所成的角的大小 10．如图,正方形 与 不在同一平面内, 、 分别在 、 上，且 求证： 平面 参考： 1.（1）× （2）× （3）√ （4）× 2. C 3. 证明：(1)∵ABCD是空间四边形,∴A点不在平面BCD上,而C 平面BCD, ∴AC过平面BCD外一点A与平面BCD内一点C, 又∵BD 平面BCD,且C BD.∴AC与BD是异面直线. (2)解如图,∵E,F分别为AB,BC的中点,∴EF//AC,且EF= AC. 同理HG//AC,且HG= AC.∴EF平行且相等HG,∴EFGH是平行四边形. 又∵F,G分别为BC,CD的中点,∴FG//BD,∴∠EFG是异面直线AC与BD所成的角. ∵AC⊥BD,∴∠EFG=90o.∴EFGH是矩形. (3)作法取BD中点E,AC中点F,连EF,则EF即为所求. 4. 答案：假设BD、AE共面于(，则点A、E、B、D都在平面 ( 内 ∵A(a，D(a，∴ a ((. ∵P(a，P( ( . ∵P(b，B(b，P(c，E(c. ∴ b ((，c ((，这与a、b、c不共面矛盾 ∴BD、AE是异面直线翰林 5. 证明（1）：连结 ，∵ 是 的边 上的中点，∴ ， 同理， ，∴ ， 同理， ，所以，四边形 是平行四边形 证明（2）：由（1）四边形 是平行四边形 ∵ ， ，∴由AC⊥BD得， ，∴ 为矩形. 解（3）：由（1）四边形 是平行四边形 ∵BD=2，AC=6，∴ ∴由平行四边形的对角线的性质 . 解（4）：由（1）四边形 是平行四边形 ∵BD=4，AC=6，∴ 又∵ ， ，AC、BD成30º角，∴EF、EH成30º角， ∴四边形 的面积 . 解（5）：分别取AC与BD的中点M、N,连接MN、MB、MD、NA、NC， ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，∴MB＝MD＝NA＝NC＝ ∴ ，∴MN是AC与BD的公垂线段 且 ∴AC与BD间的距离为 . 6. 解：取 中点 ，连结 ，∵ 分别是 的中点， ∴ 且 ， ∴异面直线 所成的角即为 所成的角， 在 中， ， ∴ ，异面直线 所成的角为 ． 7. 解(1)如图,连结BD,A1D,∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1. ∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1.∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形,∴∠A1BD=60o, ∵∠A1BD是锐角,∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角.∴A1B与B1D1成角为60o. (2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC.∵O为BD中点,∴OE//BD1. ∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. 在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o. 又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD1成角90o. 8. 解(1)如图,连结BD,A1D, ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴DD1平行且相等BB1. ∴DBB1D1为平行四边形,∴BD//B1D1. ∴A1B,BD,A1D是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD是正三角形, ∴∠A1BD=60o, ∵∠A1BD是锐角, ∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角. ∴A1B与B1D1成角为60o. (2)连BD交AC于O,取DD1 中点E,连EO,EA,EC. ∵O为BD中点,∴OE//BD1. ∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC. 在等腰△EAC中,∵O是AC的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o. 又∴∠EOA是异面直线AC与BD1所成角,∴AC与BD成角90o. 9. 略证（1）取PD的中点H，连接AH， 为平行四边形 EMBED Equation.3 解(2): 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON，则OM平行且等于BC的一半，ON平行且等于PA的一半，所以 就是异面直线 与 所成的角，由 ， 得，OM=2，ON= 所以 ，即异面直线 与 成 的角 10. 略证：作 分别交BC、BE于T、H点 从而有MNHT为平行四边形 E A F B C M N D � EMBED PBrush ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� _1131366272.unknown _1159330757.unknown _1159356786.unknown _1159820140.unknown _1159820386.unknown _1159821037.unknown _1159821214.unknown _1159821254.unknown _1159821140.unknown _1159820474.unknown _1159820319.unknown _1159356848.unknown _1159819226.unknown _1159819345.unknown _1159819543.unknown _1159649464.unknown _1159356831.unknown _1159332885.unknown _1159333882.unknown _1159334138.unknown _1159334223.unknown _1159333952.unknown _1159333037.unknown _1159332546.unknown _1159332702.unknown _1159332320.unknown _1159331830.unknown _1159332228.unknown _1131424018.unknown _1131424035.unknown _1131424097.unknown _1131424119.unknown _1131424172.unknown _1131424192.unknown _1131424145.unknown _1131424111.unknown _1131424083.unknown _1131366361.unknown _1131368878.unknown _1131368996.unknown _1131369012.unknown _1131368913.unknown _1131367121.unknown _1131366422.unknown _1131366296.unknown _1131366304.unknown _1131366279.unknown _1131197235.unknown _1131295224.unknown _1131360864.unknown _1131366226.unknown _1131295770.unknown _1131198720.unknown _1131199262.unknown _1131255080.unknown _1131258845.unknown _1131295166.unknown _1131255081.unknown _1131253571.unknown _1131255079.unknown _1131253553.unknown _1131253562.unknown _1131199311.unknown _1131253445.unknown _1131199025.unknown _1131199062.unknown _1131198976.unknown _1131198524.unknown _1131198647.unknown _1131198668.unknown _1131198632.unknown _1131198553.unknown _1131198478.unknown _1131198500.unknown _1131198459.unknown _1131198443.unknown _1131080058.unknown _1131191384.unknown _1131194242.unknown _1131197167.unknown _1131194182.unknown _1131194069.unknown _1131194146.unknown _1131190992.unknown _1131191003.unknown _1131189195.unknown _1131189201.unknown _1131189213.unknown _1131189102.unknown _1131189184.unknown _1131079771.unknown _1131079999.unknown _1131080025.unknown _1131079832.unknown _979378715.unknown _979380516.unknown _1131079342.unknown _1131079688.unknown _979380562.unknown _979380418.unknown _979287717.unknown