[整理版]三棱锥的体积
锥体的体积
教学重点和难点
三棱锥体积公式及其探求(
教学设计过程
(一)复习三个问题(学生口答)
1(锥体平行于底面的截面的性质
2(祖暅原理
(柱体的体积公式及探求思路 3
(二)学生探求锥体体积公式
1(底面积是S,高是h的柱体体积公式的探求思路,
构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体,由祖暅原理知,它们的体积相等,所以
V=Sh( 柱体
2(等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢,
用祖暅原理(设有任意两个锥体,不妨选取一个三棱锥,一个四棱锥,并设它们的底面积都是S,高都是h(如图1)(?把这两个锥体的底面放在同一个平面α上,由于它们的高相等,故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上,即这两个锥体可夹在两个平行平面α,β之间;?用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体,设截面面积分别为S,S,截面和顶点12的距离是h,体积分别 1
h
,
图1
由祖暅原理知:V=V((生叙述师板书) 12
可以叙述为:等底面积等高的两个锥体的体积相等(
3(如何求出锥体的体积,
怎样研究三棱锥的体积呢,(板书:三棱锥的体积,并作出一个底面积为S的,高为h的三棱锥A,,ABC,(如图2)
(1)补成三棱柱,把三棱锥A,,ABC以底面?ABC为底面,AA,为侧棱补成个三棱柱ABC,A,B,C,(
(2)分割成三个三棱锥((补形过程及分割过程由学生完成)
,2,3等体积呢, 怎样证明这三个三棱锥1
(学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件:(1)等底面积,(2)等高)
在三棱锥1,2中,S?=S,又由于它们有相同顶点C,故高也相等,所以V=V(又ABA,?B,A,B12在三棱锥2,3中,S=S,它们有相同顶点A,,故高也相等(所以V=V,所以V=V=V(?BCB,?B,C,C23123
一般锥体的体积又如何呢,(设一般锥体的底面积为S,高为h)
构造一个三棱锥,使其底面积为S,高为h,由于等底面积
(三)锥体体积公式的简单应用
例1、如图7,在正方体ABCD,A,B,C,D,中,已知棱长为a,
求:(1)三棱锥B,,ABC的体积;
(2)这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几; (3)B到平面AB,C的距离,
分析(3):注意到三棱锥B,AB,C与三棱锥B,,ABC是同一个三棱锥(
S也易求,这样h即可求出( ?AB,C
巧用了三棱锥的体积,使问题的求解变得十分简捷(这种方法称作顶点转换法,有时也
称作等积转换法(
例2、直三棱锥ABC-ABC的各侧棱和底面边长均为a,点D是棱CC上任意一点,求11111三棱锥A-ABD的体积。
例3、如图有一个底面边长为3、4、5,高为8的直三棱柱形水箱,在棱AA上的D、CC11
上的E处分别有漏洞,测得AD=6、CE=4,利用此水箱盛水(可以任意放置),最多能盛多
少水,A1 C1
B1 D
E
A C
B