函数的单调性

函数的单调性 ?3函数的单调性 【知识结构】 直观感受 单调性定性描述 判断证明 定量定义 应 用 【教学目标】 根据《新课程》、考纲、教材教参的要求及学生情况，确定本节课的教学目标如下: 1.知识与技能目标:较深入的理解单调性概念，掌握用定义判断和证明函数单调性的方法;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想. 2.过程与方法目标:在教师的主导下，师生共同探究，逐步培养学生观察、归纳、推理论证的逻辑思维能力，形成用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去和处理问题，提高数学素养. 3.情感态度与价值观目标:由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习数学的兴趣，师生共同感悟知识发生发展的过程，体验成功的喜悦，培养严谨的科学态度，提升学生心理健康水平和数学素养水准. 【重点难点】 教学重点:函数单调性的概念，判断和证明函数的单调性. 教学难点:1.函数单调性概念(数学符号语言)的认知 (1)自然语言到符号语言的转化. (2)常量到变量的转化. 2.应用定义证明单调性的代数推理论证能力 (1)变形方向. (2)变形能力. (3)逻辑混乱. 本节内容，要求学生用准确的数学符号语言去刻画图像的上升与下降，把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的.因此本节课的教学重点和教学难点相辅相依、不可分割.抓住重点，才可能较好的突破难点;反之，对难点的突破程度决定着重点的落实情况. 突出重点的措施:给出大量函数对应的图像，引导学生对其分类，从形的角度对单调性的概念有直观感性的认识，进而给出定性描述，对其关键词义进行讨论和理解，从“增大”“减小”的词义中产生“数值比较”的思想，从而对单调性定义有深入的理解和认识.关于单调性的证明，在明确证明本质的基础上，必须对证明过程给出完整的板，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，在解题过程中渐进的提升推理论证能力. 突破难点的方法:函数单调性定义中数学符号语言的描述比较抽象，学生在理解上容易不透彻、不严密.为此，给出具体函数，和学生共同分析特征，将抽象、理论的问题具体化、直观化.接着以具体的数据为基础，通过辨析，以无法穷举为冲突，为符号语言的定量定义的引入做好铺垫.同时，借助多媒体辅助教学的优势，以《几何画板》展示多组不同自变量对应函数值的大小对比，动态演示“增大”的含义，说明其任意性，从而给出完整的数学符号表征的单调性定义. 【教材分析】 初中阶段，学生在一次函数、二次函数、反比例函数的基础上对增减性已经有一个初步的感性认识，进入高中，用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维，并为后续具体函数的分析作准备，同时，为以导数为工具研究单调性的相关知识奠定基础. 教参计划?2.3节分配一个课时，实际建议分配两课时。主要解决函数单调性的概念，判断、证明函数的单调性。教材安排一个实例、一个内容、两道例题、两道练习.一个内容是函数的单调性的概念;实例和例一引导学生从图形观察函数的增减情况，渗透数形结合的思想;例二在此基础上，要求学生对单调性结论做以代数论证，从而把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度.练习对理论做以巩固，并通过自变量的限制做以提升. 【学法指导】 通过实例进行具体分析，进而动手操作、观察归纳、演练巩固。由具体到抽象，逐步实现对概念理解的深化和对思维的提高。同时注意学习和掌握规范的书写格式。 【教学建议】 “以学生为主体，以教师为主导”，根据本节教学内容的特征和学生的年龄、认知结构、思维水准，建议实施教师启发，学生探究的教学方法。教师设问具体可操作、书写规范，引导合理到位，在教师的指导下，发挥学生的主观能动性，使学生能合理的分类整合有关信息，并进行认知和能力的提升与转化 【教学】 一.导课 方案1.教学实录 ,教师引言,: 前面我们学习了有关函数的基本概念，并就一些具体函数进行了研究.下面请同学们拿出笔和纸，作出下列函数的图像(几何画板展示函数). (1).; (2).; (3).; y,xy,xy,,x 23(4).; (5). y,xy,x 设计意图: (1).检查学生对基本初等函数图像的掌握能力. 3(2).作出图像的目的在于简要复习描点法并为新教材中新增内容“幂函数”作y,x 铺垫，该函数可针对学生情况作出删减或改动.向学生渗透研究函数问题的一般方法和步骤. ,设问,: 我们知道，依据不同的分类标准，可以产生不同的分类结果。比如按照组别，可以将我们班分为四个组，按照性别，则可以分为男、女两个群体，那么，结合图像(几何画板给出图像)，我们可以将以上五个函数如何分类,其标准又是什么, (分类情形会很多:有的以函数值的范围为标准、有的以自变量的范围为标准、有的以图像所在象限的不同为标准、有的以图像的直曲为标准、有的以图像的不同对称特征为标准、有的以与的对应关系为标准、有的以上升下降为标准„) yx ,评价,: 以上分类标准，有的价值较高，有的价值较低。大家可以讨论交流 ,告知,: 以上升和下降为标准对函数进行的研究，就是我们今天要学习的:?,(,函数的单调 性 设计意图: (1).数学概念的产生有其自然性与合理性，展示概念的发生发展过程，不仅只是对概念本身的教学，更重要的是向学生展示数学家怎么会想到去研究这个问题，又是如何研究的. (2).从学生熟知的各种实际背景出发，通过学生自主探究，从知识产生、发展的过程中构建新概念，去经历再发现、再创造的过程，符合学生的认知规律，同时这也是提升学生归纳类比、抽象概括能力的一个良好契机. 说明: 该方案优点:给出了单调性定义较为完整的发生发展的过程教学，符合学生的认知结构，基于感性，发展理性，有较好的层次感，并且课堂起始不局限于单调性本身的教学，有利于激发学生的思维和学习的积极主动性，有利于提高学生的数学素养. 该方案缺点:导课时间的长短、教师引导的合理性、学生层次的高低，均会导致定义发生的时间不可操控，进而会直接影响到,,分钟的课堂效率 方案2.教学实录 ,教师引言,: 大家看这样一张图片(几何画板展示一张股市曲线图)，这是一张反映某股票价值走向的曲线图，就这么一个图表，那是“有人欢喜有人忧”啊～(学生笑).请问同学们，你们是否知道，他们看着这条曲线，“何时欢喜何时忧”啊,(学生们都很兴奋，积极回答). ,评价,: 这条曲线上升时，他们很高兴，因为他们的钱在增加，反之，赔钱了，当然就很忧伤(学生笑).数学来源于现实生活、扎根于现实生活、应用于现实生活.在我们身边，数学无处不在，这条曲线的上升和下降，就涉及到一个很重要的数学概念，那就是我们今天将要学习的“?,(,函数的单调性” 设计意图: 教育心理学家格里诺等人提出“情景是一切认知活动的基础”，股市波动曲线是现今城市学生较感兴趣的生动的具体情景，有利于激发学生的兴趣，使学生感受数学与生活的密切联系，对数学产生亲切感，让学生用数学的眼光观察生活，用数学的思维思考生活，感受数学的魅力，从而使数学走进学生的生活. 说明: 该方案优点:创设生活化的学生感兴趣的具体情景，有利于调动学生学习的积极性，同时帮助学生认识数学与生活密切相关，数学也很生动、也很具体. 该方案缺点:该情景城市文化气息较浓，具体教学应合理选择或改编;同时，该例生活素材情景较为简单，缺少思维的冲突、抽象、整合的逐步递进过程，教学中必需准确地把握该例的地位. 方案3.教学实录 舍去方案一、方案二的导入过程，直接进入下面的环节，展开对具体函数的分析，进而对概念进行转化和深入. 说明: 该方案优点:开门见山，课堂效率较高. 该方案缺点:相对于前两种方案，单调性概念的引入显得有些突兀，缺少生活化气息. 二.新知探求 教学实录 2(方案一隐去其它函数，凸现;方案二以语言导入:“我们从一个大家很熟悉的y,x 函数开始分析”;方案三直接描述) [步骤1]: 2下面大家观察函数的图像(分别在、轴和图像上取对应的三个点，展示其yy,xx 直观的升降情形)，我们说，它在定义域的左侧部分上是递减的，它在定义域的右侧部分上是递增的.那么，结合我们的规定，同学们能否描述出什么是增减函数, (学生总结，教师概括，得出自然语言描述的单调性图像刻划:在某个区间，从左到右，图像下降，则函数在该区间上是递减的;从左到右，图像上升，则函数在该区间上是递增的) 设计意图: 1、对概念正式教学时，具体针对一个函数进行分析，有利于学生集中注意力，突出教学重点 22、教材上递增与递减的定义均是在定义域内的一个区间上给出。作为最重要的y,x基本的初等函数，学生相对熟悉，且其包含定义的两种情形，故选用之 3、帮助学生认识到单调性定义是对函数图像特征的一种数学描述，并渗透数形结合思想，完成“从图形中观察出函数的增减情况”的教材要求 [步骤2]: 分析以上定义，请问，在某个区间上，什么叫做“从左到右”什么叫做“图像下降”;“从左到右”、“图像上升”又是什么意思,大家能否对以上刻划进行转化, (学生总结，教师概括，得出自然语言描述的定性刻划:在某个区间上，当自变量增x大时，函数值随之减小，则函数在该区间上是递减的;当自变量增大时，函数值随之yyx 增大，则函数在该区间上是递增的). 设计意图: (1).合理设置层次，为单调性定义的本质的揭示做好铺垫，思维上水到渠成. (2).单调性实质上揭示了在某一个区间上，函数值随自变量的变化而变化的性质,yx 描述函数图像在这一个区间上的升降趋势，给出其动态观点，有利于多角度、深层次揭示这一概念的本质属性，可以使学生对单调性的认识更加明确和深刻，同时帮助学生体会运用动态观点判断函数的单调性，培养学生的形象思维. [步骤3]: 我们对以上刻划继续进行分析 (1).T:定义中“当自变量增大时，函数值随之增大”，连词“当„，„随之„”意yx 味着什么, S:函数值与自变量相关联. yx S:函数值依赖于自变量. yx (2).T:定义中“当自变量增大时”，“增大”这个词的含义是什么, x S:在某基础上加大的意思. T:“在某基础上”意味着什么, S:比较或者对比的含义. T:很好，从数学的观点来看，“增大”即意味着数值之间的一种大小对比. T:下面，请大家观察图像，以其上某两点为例(几何画板给出图像及两点)，结合其数值，请问，你能否用大小对比的方法，借助数学符号，表达“当自变量增大时，函数x值随之增大”吗, y (学生开始尝试). (可能一:自变量与函数值不相关，此时应借助图像的直观，加强对连词的分析); (可能二:自变量与函数值取一组具体数字做验证，得定义); (可能三:自变量与函数值取多组具体数值做验证，得定义); 以上三种可能均说明由常量到变量的转化是教学中的一个难点，我们可以组织学生辨析，引导学生明确两个自变量不可能被穷举，结合图像，将两个点一般化，并隐去几何画板上数值计算，再做以提问，引导帮助学生用字母代替数字，从而突破常量到变量的转化. (可能四:符号表征不规范，此时应进行说明和规范); (3).T:图像上某两点满足“当时，有成立”，能否说明函数f(x)x,xf(x),f(x)1212 单调递增, (学生辨析、讨论，争执,列举反例，统一意见). S:不能. T:对，函数在某一区间上单调递增，则函数在该区间上变化趋势对任意两点均应该 成立. (借助几何画板，在其上移动点，说明其任意性). T:由此，我们在前两个描述的基础上，转化提升，可以得出函数单调性符号表征的 定量刻划，这就是我们所要学习的函数单调性的定义. (师生共同叙述，板演). [评价]: 借助符号表征单调性的定义，简单而严密。数学语言从某种意义上说就是符号表征。以后我们还会遇见大量的符号表征，大家应逐步习惯并有意识的从符号化的角度看待问题 设计意图: (1).“以教师为主导，以学生为主体”，教师不能以包办替代过程教学，而应帮助学生经历符号表征的得出过程. (2).由自然语言到符号表征，其跨度较大，需要合理划分层次.如果抓住定性定义中的关键性词语进行分析和研究，有利于分解难度，逐步提升思维高度，逐步养成理性精神. 说明: (1).数学的发展离不开符号化，符号表征不仅促进数学理论的形成，还能减缩思维过程，在由具体到抽象的过程中培养人的理性. (2).教学的关键在于如何合理的设置台阶，帮助学生以具体的经验认知为支撑，逐步趋于抽象. (3).结合单调性的历史背景和生成过程，设置图像、动态趋势、符号表征三个层次，以其相互转化，螺旋递进的方式，培养学生学会用数学的眼光、数学的思维、数学的表达，数学化的处理问题. (4).在过渡到符号表征时，为了突破难点，应从两个方面引起重视:一是进行具体计算，列举具体数值，从而利于学生概括抽象、认知接受;一是语言分析到位，设问明确，目的性强，利于学生操作，不茫然，能循着教师提供的主线有意识的进行数学活动，逐步提升理性思维水平. (三).巩固反馈 1例1.说出函数f(x),的单调区间，并指明在该区间上的单调性. x 1f(x),解:(,,,0)和(0,，,)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数是减少的 x 设计意图: (1).帮助学生体会和学习从图像中观察函数的增减情况 (2).通过不连续分段函数纠正典型错误 说明: 单调区间是定义域的子集 对于定义域上的连续单调函数和不连续单调函数要重点分析和区别，例如函数的y,x 1单调递增区间是其定义域，但函数的减区间是和，而不f(x),(,,,，,)(,,,0)(0,，,)x 1能说在其定义域上是递减函数. ,f(x),(,,,0)(0,，,)x 例2.画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明 f(x),3x，2 解:作出的图像(如图)。由图看出，函数的图像在R上是上升的，函f(x),3x，2 数是R上的增函数。 下面进行证明: 任取，且，则 x、x,Rx,xx,x,0121212 所以 f(x),f(x),(3x，2),(3x，2),3(x,x),0121212 即 f(x),f(x)12 又单调函数的定义可知，函数是R上的增函数. f(x),3x，2 设计意图: 课本例题给出用定义证明函数单调性的具体模式 说明: 教师教学时，应注意板演步骤规范，便于学生学习其程序化操作，培养逻辑思维能力. 2例3.证明函数在区间上是增函数. [2,，,)y,x 设计意图: 在课本例题的示范作用下，通过本例，适当提升，培养学生的逻辑思维能力. 说明: ?.板演步骤规范，便于学生学习其程序化操作，培养逻辑思维能力. ?.强化学生恒等变形的基本技能和方法，对初中常见恒等变形(配方、因式分解、通 分„)做以复习和强化.恒等变形时，针对部分学生不知如何变形，通过本例引导其逐步明 确变形的主要思路是因式分解;针对学生可能“变形不到位、不彻底、想当然的判断出大小 关系”的问题，此向学生分析清楚思维中隐含的逻辑循环错误，从而逐步优化学生严谨的逻 辑思维. (四).归纳总结 1.概念理论: (1).定义的得出与演变阶段. ?.直观感受. ?.定性描述. ?.定量定义. (2).三个阶段对应的方法特征. ?.图像观察法. ?.动态观察法. ?.严格论证法. (3).定量定义中关键词. “定义域内的一个区间A上”、“任意两数、”、“当„，都有„” xx12 2.方法技能: (1).判断函数单调性的方法. (2).证明函数单调性的方法和步骤:取值—作差—变形—定号—下结论. 3.注意事项: (1).单调性的本质是揭示随变化而变化的一种趋势，不可误解为由的正负定单调 yxx性(如部分学生会产生下列错误结论:函数，在时单调递减;在时单调y,xx,0x,0递增). (2).单调性是一个区间概念，单调性与单调区间不可分割(不能脱离区间叙述函数的单调性). (3).强化对“任意”的认识. (4).变形要到位，逻辑要严密. 设计意图: (1).通过归纳总结，对课堂知识进行再次整理、再次显化，能起到组织和指导学生归纳知识、技能、方法的一般规律，深化对数学思想方法的认识的重要作用. (2).对概念发生发展过程的回顾，有利于学生清晰思路，感悟思维的逐层升华. (3).对方法技能的回顾，有利于理清思路，规范解题，感受数形结合、等价转化等思想方法的重要作用. (4).对注意事项的总结，有利于学生规避错误，持续的深化对概念的理性认识. (五).拓展提升 练习1. 设是定义在R上的函数: f(x) ?若存在，,，,，使,成立，则函数在上单调递 RRf(x)xxxxf(x)f(x)111222 增; ,,R,?若存在，，，使成立，则函数在R上不可能 xf(x)xxxf(x)f(x)112122 单调递减; ,,,?若存在0，对于任意xR，都有f(x)成立，则函数在R xf(x，x)f(x)11212 上单调递增; ,,,?对任意x，R，x，都有f(x)f(x)成立，则函数在R上单调 xxf(x)111222 递减. 以上命题正确的序号是( ) A. ?? B. ?? C. ?? D. ? 设计意图: (1).改变概念的内涵或外延，有利于学生从较高层次上把握概念的本质，从而认识到概念中哪些因素重要关键，哪些因素容易出错，形成对数学概念的全面的理解和认识. (2).从反面或者引入反例、错例，可以帮助学生从另一个角度形成对数学概念的更深入、更全面的认识. 说明: 概念教学中，不但要帮助学生认识、理解其表面特征，更要促使其抓住本质特征，对概念做到全面且深入的认知. 1练习2. 证明函数在区间(1，)上是增函数 y,x，，,x 设计意图: (1).通过练习的思考分析，交流求解，分析讲解，引导学生对证明方法做适当延拓. 1(2).通过逐步渗透该类函数的单调性，为以后教学作铺垫. y,x，x 2练习三. 已知函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围[3,，,)y,x,ax，8a是 , 设计意图: (1).渗透分类讨论思想，数形结合思想. (2).对题目演变，引入含参问题，提升学生能力. (3).使学生能够区分“在某区间单调递增”与“某区间为单调递增区间”的不同. (六).作业 布置作业: 1.必做题:习题A组第2、4、5题. P38 2.选作题:习题A组第3题，习题B组第2题. PP3939 3.拓展题:已知函数、均是增函数，那么函数是否单调递增,f(x)g(x)f(x)，g(x)如果成立，请给出论证;如果不成立，请给出反例.函数又是怎样的情形, f(x),g(x) 设计意图: 新课程理念告诉我们，不同的人在数学上可以获得不同的发展，每个学生都能够获得这些数学，有专长的，可以进一步发展,因此设计不同程度要求的习题. ?课程资源 常见结论: af(x)g(x)f(x)，g(x)f(x),g(x)f[g(x)]f(x) a,0a,0 增 增 增 减 增 增 增 减 增 减 增 减 减 增 减 增 减 减 减 减 减 增 减 增 习题汇集 21.作出函数的图像并写出函数的单调递减区间。 fxxx()2,,， 1x,122.已知函数，则得单调减区间是 ( ) f(x),()f(4,x)2 A. B. C. D. (0,，,)(,,,0)(0,2)(,2,0) 23.已知函数在[1，2]上单调，则的取值范围是 ( ) f(x),x,2ax，1aA( B( C( 或 D( a,1a,2a,1a,212,,a 24(函数在内递减，则的取值范围是 ( ) (,2),,fxxax()42,，，aA. B. C. D. a,1a,1a,,1a,,15. 已知函数、定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且 fx()gx()fx()gx() ，则 ( ) gx()0, A. 为减函数 B. 是增函数 fxgx()()，fxgx()(), fx()C. 是减函数 D. 是增函数 fxgx()(),gx() (3a,1)x，4a,x,1,f(x),6.已知是上的减函数，那么的取值范围是(,,,，,)a,logx,x,1a, ( ) 1111A.(0，1) B. C. D. (0,)[,)[,1)3737 27. 已知函数() fxaxx()21,,，a,0 (1)求fx()在区间上的最小值; [1,3] fx()(2)令，当时，试判定函数在区间上的单调性并证明. gx()(0,)，,a,1gx(),x AB8.在函数(0,a,1，x,1)的图像上有、、三点，它们的横坐标分y,logxCa 别是，， tt，2t，4 (1)若的面积为，求S,f(t); ,ABCS (2)判断S,f(t)的单调性; (3)求的最大值。 S,f(t) 9(已知函数的定义域为R，对任意实数，f(x)x，x都满足f(x，x),f(x)，f(x)121212 若当. x,0时，f(x),0且f(2),3 (1)判断的奇偶性和单调性; f(x) (2)解不等式. f(x)，f(5,x)，3,0 10.已知函数是定义在上的函数,若对于任意,都有f(x)[,1,1]x,y,[,1,1] ，且,0时,有,0. f(x，y),f(x)，f(y)f(x)x (1)判断函数的奇偶性; (2)函数在上是增函数，还是减函数，并证明你的结论; f(x)[,1,1] 2(3)设,若,对所有，恒成立,求实数f(1),1x,[,1,1]a,[,1,1]f(x),m,2am，1 的取值范围. m ?单调性相关数学文化