2262.培养合情推理思维，提高创新能力

2262.培养合情推理思维，提高创新能力 培养合情推理思维，提高创新能力 摘要:本文根据作者主持的台州市规划课《数学教学中通过类比归纳培养创造和发现能力》的结题报告缩写而成～文中主要内容分别以《强化归纳推理教学～培养创新能力》、《发现与创新观下的定理教学》、《强化类比推理教学～培养创新能力》为题发表于《中学数学杂志》、《创新〃实践——谈素质教育》等书刊。文章指出了现行数学教育中存在的主要弊端～介绍了合情推理的思想～了类比和归纳这两种重要的合情推理方法在培养发现和创造能力中的重要作用～提出了通过类比归纳发现和创造的一般模式、高中数学教学中强化类比归纳推理能力培养的主要途径和方法～并借鉴波利亚的“怎样解题表”～提出了一个着重启发学生进行“合情推理”的“怎样解题表”～最后提出了防止滥用类比归纳法的措施。 一、问题的提出 目前的数学教育，处在两大背景中，一是以创新精神和实践能力为核心的素质教育的不断深入，二是以计算机技术为代表的信息技术的迅猛发展.前者对高中数学教育的一个最直接的促进，就是现在使用的新教材中，增加了研究性学习内容、强调数学在实际中的应用和与相关学科的联系.而后者，使数学具有了科学的方法论属性、关于客观世界的模式的属性和技术的属性.以往人们对数学的描绘，就是利用纸、笔进行运算与证明，因此人们很难体会到试验、合情推理(类比归纳等)、模型模拟、矫正与调控、逐步优化与近似逼近等一系列的科学活动过程.随着计算机、计算器引入课堂，中学生有更多的条件通过数学学习体会科学研究的基本方法:观察、尝试、合情推理、建立猜想与实验验证. 但从现实来看，目前的数学教学基本上是还是纯演绎式的.教材呈现为“概念——定理(公式)——范例”的纯数学系统，教学中偏重知识的系统性和逻辑思维能力的训练，很难看到知识发生、形成的过程，也看不到真实可信的应用，在很大程度上还存在过分强调纯数学意义上的能力的倾向，忽视数学对发展人的一般能力、提高人的整体素质应起的促进作用.由于受应试教育的影响，教师往往着力于精心地传授，使学生获得系统的数学知识，通过大量的重复练习使学生掌握许多解题的“套路”，以使学生在应试中获得高分，对于如何引导学生自我探究，通过亲身的参与和内心的体验去发现和创造重视不够，新教材在这些方面有一些改进，但在教学实践中，仍存在“新教材、旧教法”的现象. 合情推理是美籍数学家波利亚在30年代提出的概念，主要指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法。在社会生活中，医生诊断疾病，法官审判案件，军事家指挥战争，人际交往等都经常应用合情推理。科学发现的思维，也主要是合情推理:量子力学方程是猜出来的;球体公式是阿基米德“称”出来的;在对热在金属中流动的观察研究中，傅 1 立叶发明了级数;而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。由上可以看出，“我们所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理”。合情推理是各学科之间、社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质。因此加强合情推理的教育将有助于发挥学科的两个功能，并学会发现和发明的方法。科学思维一般可分两类:一类是进行论证推理的逻辑思维;另一类则是形象思维。合情推理是形象思维的一种重要形式。逻辑思维是在“抓到真理”后进行完善和“补行证明“的思维，而合情推理则是“发现真理”的思维。“既教证明，又教猜想”，给合情推理能力的教学以适当的地位，是开发学生创造性素质的需要。 目前关于合情推理尚无一个比较统一的、明确的定义。比较一致的看法是:合情推理就是在认知过程中，主体根据自己在日常生活中积累的知识、经验，经过非演绎(或非完全演绎)的思维而得到合乎情理、理想化结论的一种推理方式。由于合情推理的结论，超出了前提的范围，所以是或然的。其表现形式一般为:归纳、类比、联想、猜测、推广、限定、观察、实验、矫正与调控等。 类比和归纳，是两种重要的合情推理方法，和学生的学习生活和社会生活的联系比较紧密，以此作为改变“重结果，轻过程;重结论，轻发现;重知识，轻能力”的弊端、培养学生创造和发现能力的入口，具有较强的操作性，这是我们提出并进行这项研究的一个主要原因. 二、理论上的思考 “从特殊到一般”与“由一般到特殊”乃是人类认识客观世界的一个普遍规律.实践是人类认识的基础.毛泽东同志在实践论中提出了一个著名的认识过程模式:“实践——认识——实践”，他认为，人的认识不是一次形成的，而是要经过由特殊到一般、由具体到抽象、由感性认识到理性螺旋式发展过程，经过多次“由此及彼，由表及里，去粗取精，去伪存真”的反复修正，不断逼近真理.作为研究“现实世界的数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)，数学当然也不例外.数学学习与研究中常用的类比法与归纳法集中体现了“从特殊到一般”的认识规律.前者是由个别事例推出一般性结论的思想方法，后者是根据两个不同的对象，在某些方面有类同之处，推测它们在其它方面也有类同之处的推理方法.著名的哥德巴赫猜想、地图四色定理、费尔马定理的提出，可以说是应用归纳法、类比法的典范，再如勾股定理、多面 n体的面顶棱定理、前个自然数的立方和公式、二项展开式和杨辉三角形，无一不是观察、实验、归纳、类比的结果. 本世纪中叶以来，随着现代认知心理学的产生与发展，国际上一些著名的心理学、教育学理论，无论是皮亚杰的发生认识论、布鲁纳的“认知——发现”学说，加涅的层次学习理 2 论，奥苏贝尔的有意义学习理论，还是加里培林的活动理论，都强调以下几点:?学生不是一张白纸，他们有着丰富的生活经验和知识积累，这其中就包含着大量的数学活动经验，特别是运用数学解决问题的策略;?学生的学习不是一个被动接受知识、记忆、反复练习、强化储存的过程，一个有意义的学习应该是学生以一种积极的心态，调动原有的知识和经验尝试解决新问题，同化新知识，并构建它们的意义;?所有的新知识只有通过学生的“再发现”、“再创造”活动，使其纳入自己的认知结构，才可能成为一个有效的知识.对于每一个学生主体，没有活动，没有做，就形不成学习;?应该让学生从现实中学数学、做数学.布鲁纳有一句名言:任何一个知识都能够以一种合适的方式教给任何一个年龄的学生，我们可以进一步理解为:任何一个知识如果能够以与学生的年龄特征、生活经验相适应的方式出现，就能被学生所感知，为学生所接受;?让学生体验做数学的成功乐趣，树立学好数学的自信心. 我国有人认为:“数学概念形成的过程，是学习者认知结构中的一种递归过程”，“数学问题解决，是一个经验的创造性学习过程”.问题解决的实现，经历以下几个步骤: 提出问题?分析问题?提出假设?检验假设 [1]他还提出了一个数学问题解决学习的模型. 类比与归纳在培养学生的创造能力与发现能力，激发学生学习数学的兴趣，让学生在“做数学”中学习数学、感悟数学方面具有独特的作用，为许多数学家和数学教育家所看重.欧拉说过，“类比是伟大的引路人”.高斯也曾说过，他的许多定理都靠归纳法发现的，证明只是 (Polay)一个补行的手续.著名的美籍匈亚利裔数学家、数学教育家G?波利亚在《怎样解题》 [1] 傅敏，试论数学学习的心理过程，西北师范大学学报，1995年第2期( 3 (1945)、《数学与猜想》(1954)、《数学的发现》(1962)等著作中，深刻阐述了他的启发法与发现观，并研究了数学解题的一般规律与思维方法.他认为数学解题不仅仅重结果，更要了解解题过程.他说:“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，它们是发现的伟大源泉”，特别值得一提的是，波利亚将归纳、类比等非证明推理，总结为一种合情推理模式.合情推理，直观来说，就是合乎情理的推理，它是一种似真推理，并非严格证明，但科学史表明，它是获取新的结论的一种创造性思维方法. 波利亚曾说过“不错，完成了的数学的确是演绎体系.但是，数学的创造过程却和其它知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，你总是先得猜测这个定理的内容，当你完成其证明之前，同样总是先得猜测其证明思路，而且往往得一次次地进行尝试.数学家的创造性成果 [2]是论证推理，即证明，但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的”. 从本世纪80年代，我国部分省市中学开展了《贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质》的数学教育实验(即MM教育方式实验)，MM教育方式是徐利治教授提出的一种探索式的教学方式，它直接体现了数学方法论的指导作用，强调教学、学习与数学发现同步.MM教育方式实验已在无锡、天津、武汉等地取得可喜的成果，这对我们从事这项研究与实践，是一个鼓励. 三、通过类比归纳发现和创造的两个典型案例与一般模式 我们先看两个通过类比归纳发现和创造的两个典型案例，并由此归纳通过类比归纳发现和创造的一般模式. 【案例1】开普勒第三定理的发现. 第谷是一位经验丰富的天文学家，他积累了大量的观测资料，但并未从中引出规律性的东西.开普勒是第谷事业的合作者，他利用第谷的资料，利用归纳的方法，发现了行星公转的周期与行星和太阳的距离的关系. TD 23T,D开普勒从下表(表1)中六个行星的资料中发现了，于是建立了猜想:行星公转的周期的平方与它同太阳的距离的立方成正比. TD 表1: 23(T)(D)公转周期 太阳距离 行星名称 TD 水星 0.241 0.387 0.058 0.058 金星 0.615 0.723 0.378 0.378 地球 1.000 1.000 1.000 1.000 火星 1.881 1.524 3.524 3.524 [2] G?波利亚《发现与猜测》，科学出版社( 4 木星 11.862 5.203 140.7 140.7 土星 29.457 9.539 367.7 367.7 这里应该注意的是，这一猜想的提出并不是开普勒的偶然发现，而是开普勒确信行星运动的周期与它们的轨道大小应该是和谐的，于是才悉心探求，借助于归纳法找到了规律.开普勒第三定理的发现，为后来勒维烈和亚当斯发现海王星起了关键的导航作用.勒维烈曾说过:天王星“我是用笔算出来的”. 1111【案例2】无穷级数的和的发现. ，，，，？，，？124916n 著名的瑞士数学家贝努利曾发现了许多无穷数列的和，但是，他却未能求出一切自然数 1111平方的倒数之和，即无穷级数的和.于是，他公开征求这个问，，，，？，，？124916n 题的解答，可惜直到他逝世时都没有人能解决.瑞士的另一位著名的数学家欧拉，用类比的方法解决了这个问题.具体作法是:把一个次方程的根与系数的关系类推到“无穷次”方2n 程(见表2). 表2: sinx，即 “无穷次”方程,0方 x次方程 2n24624n2n程 xxxb,bx，bx，？，(,1)bx,0 012n 1,，,，？,03!5!7!方 设它有个相异根 2n它有无穷多个根 程 ,,,,,2,,,2,,3,,,3,,？ ,,,,,,,,,,？,,,,, 的 1122nn 根 246xxx 由1,，,，？3!5!7!24n2n222根 b,bx，bx，？，(,1)bx由 012nxxx(1)(1)(1)？ ? ,,,,与 242n222xxx,,,49,(1,)(1,)？(1,)b， 0系 222再将推出?式的方法(比较系数法)类推到,,,12n数 ?，就有以下猜想: 比较系数即得: 的 11111111， ,，，，，？关 2222b,b(，，？，) ? 106222,4,9,16,,,,系 12n2111,,1，，，，？即 ? 64916这是一个有限与无限类比发现公式的典型案例.公式?的严格证明则要用到积分的方法.但值得注意的是，欧拉发现公式?时并没有用到微积分. 案例1中用到的就是归纳法，而案例2用到的则是类比法. 归纳法是由个别事例推出一般性结论的思想方法，其基础是观察与实践.它是人们认识自然，总结生产、生活经验，处理科学实验材料的一种十分重要而又被普遍使用的方法.物理学家、化学家的最基本的研究手段就是实验和归纳.例如物理学中的波义耳—马略特定律，化学 5 中的门捷列夫元素周期表等，就都是运用归纳法的典型例证.实验和归纳同样是数学领域里寻 n找、发现真理的主要手段.如勾股定理、多面体欧拉定理、前个自然数的立方和定理、二项展开式和杨辉三角形等，无一不是观察、实验和归纳的结果. 归纳法有完全归纳法与不完全归纳法之分. 完全归纳法也叫完全归纳推理，是在考察了某类事物中的所有对象后，推出的该类对象的某种性质的方法，其结论正确无误. 不完全归纳是通过对一类事物的部分对象的考察，从中作出有关这一类事物的一般性结论的猜想的方法，它大致包括以下几个阶段: 观察、试验推广猜测一般性结论 ,,,,,, 这是一种由点到线、由线到面的推理方法，其结论不一定可靠.它的价值在于其发现和创新功能. 类比推理是根据两个不同的对象，在某些方面有类同之处，推测它们在其它方面也有类同之处的推理方法.类比推理在生产、生活和科学实践中有着广泛而普遍的应用.在数学中，类比推理同样是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，甚至是开拓新领域、创造新分支的重要手段. 用类比法发现未知目标促使问题解决大致有以下几个步骤: 寻找(模拟) 预测(猜想、猜测) 按目标确定解题 类比 类比对象 未知目标 途径与方法 在许多情况下，类比与归纳是交织的(后文通过具体例子说明)，因此从一个数学材料中发现结论的模式可表示为: 猜测 证明 数学材料 猜想 结论 归纳 分析 类比 演绎 联想 化归 在这里，作出猜想是类比归纳后的一个必然结果，联想在这里起关键的作用.实际上，对于比较复杂的问题，猜想不可能是一步到位的，而是要经过多次的改进，因此以上模式相应改为: 猜测 论证、检验 证明 数学材料 猜想 改进了的猜想 结论 猜测 我国数学家徐利治教授在1980年就充分肯定归纳、类比在从事数学创造活动中的作用， 6 [3]并提出一个公式: 从具体实验——归纳——推形成证 问题、 广 普遍 具体素 命题 明 材出发 类比——联想——预 见 四、高中数学教学中强化类比归纳推理教学的主要途径和方法 强化类比归纳推理教学可通过以下四条途径: 1、概念、定理、公式教学中通过类比，以旧引新，搭桥引渡: 教材中许多概念、定理、公式都是直接呈现的，学生看不到概念是怎样提出的、定理公式是怎样发现的、证明的思路是怎样找到的，就是说，学生看不到知识的发生过程，这就需要教师精心进行教学，促使学生“再发现”. 例1(我们在引出二面角的概念后，对“角”和“二面角”这两个对象进行类比(见表3)，这种“二维与三维”的类比，不仅可以降低学习的难度，而且可以使新概念、新公式、新定(((((((((((理“自动”递归到学习者原有的认知结构中，使知识系统化. (((((((((((((((((((((((((( 表3: 角 二面角 从一点出发的两条射线构成的图从一条直线出发的两个半平面构定 义 形 成的图形 图 形 ,,a,, 二面角表示符号 ，AOB 构 成 边—顶点—顶点 半平面—棱—半平面 相关的类比还有很多(见表4): 表4: ?点与线、线与面、面与体、长度与面积、面积与体积; ?三角形与三棱柱、三角形与三棱锥; [3] 徐利治，数学方法论，沈阳:辽宁人民出版社，1980( 7 ?直角三角形与直三棱锥; ?等差数列与等比数列; ?梯形的中位线与台体的中截面; ?线段的定比分点与台体的平行截面( 例2(等差数列与等比数列从定义、性质等许多方面都有类似之处，它们的通项公式都可通过归纳法“发现”，等差数列与一次、二次函数、直线方程都有一些类似之处，因此，在这部分内容的教学过程中，我们有意识地启发引导学生通过类比、归纳的方法去学习、去发现、去探索. 表5: 等差数列 等比数列 如果一个数列从第二项起，后一项与前如果一个数列从第二项起，后一项与前定义 一项的差等于同一常数，则称这个数列一项的比等于同一常数，则称这个数列 为等差数列，此常数称为公差. 为等比数列，此常数称为公比. 通项 n,1a,a，(n,1)d a,aq n1n1公式 nn前项a,aqa(1,q)aa，(1)nn,n111ns,,(q,1) snnad,,，n1n1,q1,q22和公式 **(m,n,l,k,N)(m,n,l,k,N)若，则，则若m，n,l，km，n,l，k常见 性质 a，a,a，aaa,aa mnlkmnlk 2、解题教学中通过类比归纳，促进联想，激活知识储备，使学生能“触类旁通” “题海战术”的缺点在于，只注重“练习量”的“大容量”和“高密度”，不注重练习的质，特别是忽视通过练习培养学生思维的深刻性和批判性，期望以时间和精力上的“高投入”得到分数的“高产出”.而实际上，题目是做不完的，这种“高投入”未必就有“高产出”，即使有，培养出来的是也往往是“高分低能”的学生.我们在解题教学中不仅注重量的适度，更注重质的提高，不仅注重“一题多解”，更注重通过类比归纳，促进联想，激活知识储备，(((((((((((((((((((((((((((((((((使学生能“触类旁通”，学会“多题一解”，这样，一个(((((((((((((((((((((((((y B 典型的例(习)题往往可以发挥“以一当十”的作用. (((((((((((((((((((((((( A 2,sinxy,例3(求函数的最大值和最小值( 2,cosx 8 O x y,y21分析:已知函数表达式可与过两点的斜率公式相类比，由此可对问题作以k,x,x21下类比转化: 函数最大斜率最大 yk, 于是设，因点在单位圆上，所以问题又转化为:在单位圆上A(cosx,sinx),B(2,2)A 求一点，使得k最大(小)( AAB ，,4747y,y,,如图，不难求得，当与?相切时，( ABOmaxmin33 ，222222x,y,z,R例4(已知，求证:( x，xy，y，x，xz，z,y，yz，z A 分析:不等式的结构，可与“三角形任意两边之和大于第三边”相类比( x 22220x，xy，y,x，y,2xycos120由，联想到余 z O 弦定理，可构造，使 ,ABC，AOB,，BOC,，AOCy B C 0，，OB,y，(如图)，则 ,120OA,xOC,z 222222( AB,x，xy，y,AC,x，xz，z,BC,y，yz，z 222222由，即得x，xy，y，x，xz，z,y，yz，z( AB，AC,BC a，b，cabc3abc,(abc)a,b,c,(0,，,)例5(已知，求证( 这是一个三元的不等式，证明有一定难度，我们可以先考虑与它类似的二元不等式 a，bab2ab,(ab)(a,b,(0,，,))，这是不难证明的( a，ba,bb,aa,bababaab2222ab,(ab)ab不妨设，则由,,(),1，得( a,ba，bb2ab() a，cb，cacbc22ac,(ac),bc,(bc)(a,b,c,(0,，,))同理可得， bcacab，，，abc，，，2a2b2c222abc,aac三式相乘，得， 9 3ab3ca，b，cabcabc,(abc)两边平方后再约去，得， abc a，b，cabc3abc,(abc)最后，上式两边开立方得( 这里我们通过降元类比，回归到了简单情况，构造引理而证明了原不等式，我们还可以通过升元类比将原不等式推广: aaa，，,,,，12naaann12a,a,？,a,(0,，,)设，则( aa？a,(aa？a)12n1212nn 可以用数学归纳法证明其正确性，此处不赘述( 近年来，关于类比能力的考察，开始出现在高考中，如2000年上海高考有这样一个小题: {a}a，a，？，a,a，a，？，aa,0在等差数列中，若，则有等式成n12n1219,nn b,1{b}立(类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式_____________成立( 9n 例6(三维空间余弦定理的发现( 0222在平面上，我们知道有勾股定理:中，，则( C,90c,a，b,ABC 通过对其条件和结论类比，可得到所谓三维空间的勾股定理:在直三面角D—ABC(DA、 2222DB、DC两两垂直)中，有S=S+S+S(S表示BCD的面积，余类似)( ,DABCA 222我们还知道平面上有所谓余弦定理:中，( c,a，b,2abcosC,ABC 在空间也应该有它的类比定理，其中三角形在空间的一个类比对象应该是四面体，相应的，三角形边长的一个类比对象是四面体表面的面积，三角形内角的一个类比对象是四面体的两个面所成的内二面角，这样我们就得到关于三维空间的余弦定理的一个猜想: ,AAAAAS1,i,j,4设在四面体中，是棱()上的内二面角，表示顶点ijij1234iA(i,1,2,3,4)所对的面的面积，则 i 2222S,S，S，S,2SScos,,2SScos,,2SScos,(,) 4123231413241234 如何证明(,)式,我们仍可以通过与余弦定理的证明作类比寻找思路，当然我们应从余弦的许多种证明方法中选择便于推广到空间的证法作类比(在余弦定理的证明中，有一种基于射影定理和消元思想的证明( A 如图1，在ABC中，根据线段射影定理有 , 10 C B D (1) a,bcosC，ccosB (2) b,acosC，ccosA (3) c,acosB，bcosA a,bcosCcosB,由(1)得，， A4 c b,acosCcosA,由(2)得，， c b(b,acosC)a(a,bcosC)c,，代入(3)得 ， cc 222A3 A化简得( c,a，b,2abcosC1 O 线段射影在空间的类比对象应该是面积射影，如图2 A2 S=Scos,+Scos,+Scos, (4)1234324423 同理 S=Scos,+Scos,+Scos, (5)2134314413 S=Scos,+Scos,+Scos, (6)3124214412 S=Scos,+Scos,+Scos, (7)4123213312 由(4)、(5)、(6)分别解出cos,、cos,、cos,，代入(7)化简即得(,) 231312 这是一个在二维空间与三维空间之间进行类比、通过探究“发现”定理的好问题，遗憾 的是，很多这样富含启发性和创造性的例子却因“高考不考”而被忽视( x,x,？,x例6(非零实数满足 12n 2222222(x，x，？，x)(x，x，？，x),(xx，xx，？，xx) n,nn,n1212312231 {x}求证:是等比数列( n 此题的归纳证明冗长繁琐，其实已知条件即 2222222,(x，x，？，x)(x，x，？，x),0(xx，xx，？，xx) n,nn,n1223112123上式左边与二次函数的判别式(即其对应的二次方程的判别式判别式)的结构类似，为此我 们考察以其为判别式的二次函数 2222222f(x),(x，x，？，x)x,，(x，x，？，x)2(xx，xx，？，xx)x 12n,11223n,1n23n 222f(x),(xx,x)，(xx,x)，？，(xx,x),0变形得恒成立，故其判别式 n,n12231 2222222,,4(xx，xx，？，xx),4(x，x，？，x)(x，x，？，x),0 n,nn,n1223112123 11 但由已知，故方程有唯一解，其唯一解应适合 f(x),0,,0 xx,x,xx,x,？xx,x,0 1223n,1n xxx3n2{x}x,,,？,所以，故成等比数列( nxxx12n,1 k12n{kC}T,C，2C，？，nC例7(求数列的和:( nnnnn 我们知道，对于等差数列，我们可以用一种叫做“倒序求和”的方法求其前n项和，即 {a}Sn若是等差数列，是其前项和，则 nn S,a，a，？，aS,a，a，？，a一方面，另一方面， n12nnnn,11 2S,(a，a)，(a，a)，？，(a，a)两式相加得， n1n2n,1n1 ()a，an1na，a,a，a,？,a，a注意到，就可得到( S,1n2n,1n1n2 k{kC}数列与等差数列也有一些类似之处:组合数的上标成等差数列，组合数的“系数”n 也成等差数列，不妨用“倒序求和法”一试( T将改写为 n 012nT,0,C，1,C，2C，？，nC (8) nnnnn kn,kC,C(k,0,1,2,？,n)注意到，由 nn nnn,1,20T,nC，(n,1)C，(n,2)C，？，0,C nnnnn 012nT,nC，(n,1)C，(n,2)C，？，0,C得 (9) nnnnn(8)+(9)，得 012n012nn2T,nC，nC，nC，？，nC,n(C，C，C，？，C),n,2， nnnnnnnnn n,1T,n,2于是得( n 这里我们通过类比将适合于一个特殊对象的特殊方法迁移到不同对象，这种迁移可以使 我们已掌握的方法“以一当十”地发挥作用( 12 对此命题还可以从不同角度推广和引申:比如组合数的上标换成等差数列的一般自然数呢,组合数的“系数”换成一般的等差数列或等比数列呢,这里仅给出一种推广: a,a,a,？,a若成等差数列，则 012n 012nnaC，aC，aC，？，aC,(a，a)2( 0120nnnnnn 1，f(x)f(x，a),a例8(已知为非零常数，且，试探讨的周期性( f(x)x,R1,f(x) 1，f(x)f(x，a),由于探索周期性，容易联想到三角函数，又的结构与1,f(x) 1，tanx,,atan(x，),类似，因而可看作f(x)的一个原型，且相当于原型中的，tanx441,tanx ,再由的周期为，故可猜想f(x)为周期函数，且周期为( 4a4tanx,,,4 1，f(x)1，1，f(x，a)11,f(x)f(x，2a),f[(x，a)，a],证明:?， ,,,1，f(x)1,f(x，a)f(x)1,1,f(x) 1f(x，4a),f[(x，2a)，2a],,,f(x)f(x)?，即为周期函数，且周f(x，2a) 期为( 4a f(x)f(x)这里我们通过结构类比找到了的一个原型，进而做出了关于周期的猜想，使 问题解决的方向、途径变得明朗，难度得以降低( 例9(圆内接四边形面积公式的发现( a,b,c我们知道，计算三角形面积的海伦公式:设三角形的三边长分别为，半周长 1p,(a，b，c)，则此三角形的面积，通过将三角形与圆S,p(p,a)(p,b)(p,c)2 内接四边形类比(如它们都有外接圆，三角形可看作有一边长为零的四边形等)，可就圆内接四边形的面积公式作以下猜想: 1a,b,c,dp,(a，b，c，d)设圆内接四边形的四边长分别为，半周长，则此四边形2 的面积( S,(p,a)(p,b)(p,c)(p,d) 13 可以证明以上猜想是正确的( 例10(在学了 1111S,，，，，(1) ？n1，22，33，4n(n，1) 的求和之后，我们可进一步思考以下题组: 1111S,，，，，(2)求; ？n1，33，55，7(2n,1)(2n，1) 1111S？{a}(3)若为等差数列，求,，，，，; nnaaaaaaaa122334nn，1 1111S,，，，，(4)求; ？n1，3，53，5，75，7，9(2n,1)(2n，1)(2n，3) ,,1并进一步归纳出一类型数列的求和方法.事实证明，这种由学生经过自己的探,,(((((((((f(n),, 索“发现”的结论，比起教师直接“奉送”的知识，印象要深刻得多，而且学生从中学到的((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((不仅仅是这些知识本身. ((((((((((( 例11(任意等分线段方法的发现( 前两年，国内报载美国的两位中学生(15岁的大卫和16岁的丹尼尔)在计算机上借助“几何画板”软件，找到了任意等分线段的一种新方法，这个问题本来是两千多年前古希腊的几何学家欧几里得提出并解决的，大卫和丹尼尔的方法是y 自欧几里得以来任意等分线段的第二种方法，而且比欧几里 BB0 1 得的方法还好，本例即由此改编而成(这说明，在培养学生 的创新能力成为教育的当务之急的今天，中学数学教学中进B2 行发现与创造的教育，不仅必要，而且可行.以下我们根据报B3 道中的线索，呈现这两个中学生的方法( 如图，欲把线段AA分成2等分，我们可先作以AA0101AAA3 A0 2 x1 为边的正方形AABB，设其对角线AB和AB交于B，011001102 过B作BA,AA于A，A即为线段AA的2等分点; 222012201 连BA，交AB于B，过B作BA,AA于A，可以证明，A是AA的3等分点:02013333013301不妨设AA=1，建立直角坐标系如图，则AB，AB的方程分别为y=x，2x+y=1，解方程010120 14 y,x,111组，得B()，A()，故A是AA的3等分点; ,,033 201,3332x，y,1, 我们可以猜想，重复这个过程，可得到AA的4等分点，5等分点，？( 01 1事实上，假设A是AA的k等分点，即A()， ,0k01kk y,x,11连BA则BA的方程为kx+y=1，解方程组，得B()，A,0k0kk+1k+1,kx，y,1kk，，11, 1()，即A是AA的k+1等分点( ,0k+101k，1 n例12(个平面最多把空间分成几个部分, 这是一个比较复杂的问题，但与相类似的问题1、问题2(见表6)相对比较简单. 首先f(1),2，f(2),4,f(1)，2，f(3),7,f(2)，3，于是可猜想: f(n),f(n,1)，n，从而可进一步猜想: n(n,1)f(n),2，2，3，？，(n,1)，n,1，. 2 不难证明以上猜想的正确性. 表6: 类比 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, nnn个点最多把所问题2:条直线最多把原问题:个平面最多问题1:n 在直线分成几部分, 所在平面分成几部分, 把空间分成几个部分, n=1 2 2 2 n=2 3 4 4 n=3 4 7 8 „ „ „ „ n f(n)g(n) 设为 设为 n，1 ng(n)经上表中问题1、问题2与原问题的类比，我们又可猜想:是关于的3次式，设 32g(n),an，bn，cn，d，由 15 d,1g(0),1,, ,,a，b，c，d,2g(1),2,,51，得，解得. a,,b,0,c,,d,1,,668a，4b，2c，d,4g(2),4,, ,,27a，9b，3c，d,8g(3),8,, 31故，其正确性也不难证明. g(n),(n，5n，6)6 在这个问题的解决中，类比和归纳是交织在一起的. 2、 应用题教学中通过类比、归纳建模 解应用问题，一般都要经历以下步骤: 实 际 问 题 数 学 问 题 ,,, ,, 实际问题的解数学问题的解 ,,, 对大多数学生来说，最大的困难在于把实际问题转化为数学问题这一步，因此，我们在相关问题的解决中，把类比归纳的方法作为将实际问题转化为数学问题、突破难点的一个重要手段.下面是教学中的一个案例. 例13((2001年全国高考题)如图，小圆圈表5 ( ( 示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相6 12 3 ( 联(连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以4 ( A 通过的最大信息量(现从结点A向结点B传递信息，( 7 B 6 12 ( ( 则单位时间内传递的最大信息量为( ) 6 8 ( A(26 B(24 C(20 D(19 分析:把网线与自来水管道类比，两个结点之间的一段网线传递的信息量相当于一段水管中通过的水流量(经过这样的类比，问题变得相当直观，可以借助生活经验轻易得到解答( 例14((第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛题)燕隼(sun)和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类.它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似.红隼的体形比燕隼略大.通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为厘米，平均翅长约为厘米;红隼的平均体3127 长约为35厘米，平均翅长约为25厘米.近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟.经测量， B(A(32.65知道这两只鸟的体长和翅长分别为厘米，25.2厘米)，33.4厘米，26.9厘米)，你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼, 对此题，我们是这样组织教学的:(见表7) 表7: 16 教师活动 学生活动 设计意图 要求学生阅读题目，审清题意，分清已知审清题意，为建模读题、审题. 和未知. 奠定基础. 七嘴八舌:大小基本相同;从数学角度，抽象提问:同一种类的鸟应有什么共同点, “模样”基本一样等. 出同一种鸟的本 质特征. 追问:谁能把这些意见概括起来呢, 某生:相似 追问:在数学中，我们知道的关于相似的多数学生回答:相似形. 概念有哪些, 七嘴八舌:对应边成比例;启发联想. 周长的比等于相似比;面追问:相似形有哪些性质, 积的比等于相似比的平方 等. 追问:如果我们把燕隼和红隼中同一种类多数学生回答: 类比建模. 的鸟看作“相似形”，其对应边应是什么, 体长和翅长. 到此，建模的难点已经突破，得到以下解法. x,,解法一:用体长与翅长的比(体翅比)来进行判别. y xxxx12AB,,,,设燕隼、红隼、鸟、鸟的体翅比分别为，，，，AB,,,,12AByyyy12AB ,,1.148,,1.40,,1.296,,1.242不难算出，，，，. 12AB |,,,|,0.148,0.104,|,,,|由于，故鸟为红隼. AA1A2 |,,,|,0.094,0.158,|,,,|由于，故鸟为燕隼. BB1B2 另外，还可启发学生把问题中的鸟看作以身长与翅长为坐标的“点”，则由同一种类的((((((((((((((((((((两只鸟之间的“距离”应小于不同种类的两只鸟之间的“距离”，得 (((((((((((((((((((((((((((( 解法二:把(31，27)，(35，25)，(32.65，25.2)，(31.4，26.9)看作平面直角坐标系中的点，可以通过比较这两只鸟表示的点与燕隼及红隼表示的点之间的距离的大小来判断它们属于哪一类. xyxy设燕隼的平均体长为，平均翅长为，红隼的平均体长为，平均翅长为，待判1122 17 x鸟的体长为，翅长为，则它与燕隼和红隼的距离分别为 y 2222，. D,(x,x)，(y,y)D,(x,x)，(y,y)111222 由此可得判别规则:若，则判此鸟为红隼，，则判此鸟为燕隼，，D,DD,DD,D121212则表明仅用这些数据无法给出明确的判断. 在问题中x,31,y,27,x,31,y,27,x,32.65,y,25.2,x,33.4,y,26.9，代1122AABB入以上的模型，算得D,2.44,D,2.36,D,2.40,D,2.48.由于D,D，A1A2B1B2A1A2可知鸟为红隼，D,D，可知鸟为燕隼. ABB1B2 3s例15(现有流量为/的两条河流A、B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙300m 33量分别为/和/，假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点(两股水流2kg0.2kgmm 3在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换的水量，100m 33即从A股流入B股水，经混合后，又从B股流入A股水并混合(问从第几个100m100m 3观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.1kg/, m 分析:将此题与“(配制农药的)浓度问题”相类比，就不难找到思路:(见表8) 表8: 从第几个观测点开始，两股河水的含两条河流A、B 流量 含沙量 混合效果 30.1kg沙量之差小于/m, 至少需要操作多少次可以使两瓶农药两个容器A、B 容积 浓度 农药配制比例 30.1kg的浓度差早于/m, 3、 研究性学习中通过类比归纳让学生“再发现” 高中数学新教材中，新增了“研究性学习”板块，并将其作为综合实践活动的重要内容.研究性学习旨在让学生通过自主学习、研究性学习和亲身实践，获取多种直接经验，提高综合运用所学知识、分析问题、解决问题的能力，培养学生的创新精神和综合实践能力.在《高中数学教学大纲》中还给出了“多面体欧拉定理的发现”等4个参考课题.类比法与归纳法为数学学科内研究性学习提供了一个视角. 18 (4)例16(多面体欧拉定理的发现. 波利亚为我们“复原”了欧拉关于多面体的面、顶点和棱的个数之间的关系 的全过程，他估计欧拉是这么猜出来的: (F，V,E，2) 先提出一个明确的问题:假定把多面体的面、顶点和棱的个数分别记为、、，FEV面的个数是否随同顶点个数的增大而增大,然后把各式各样的多面体画得足够清楚，以FV 便数出它们的面、顶点和棱的个数，并用表格列出:(见表9) 表9: 面 顶点 棱 (F)(V)(E) 多面体 ? 立方体 6 8 12 ? 三棱柱 5 6 9 ? 五棱柱 7 10 15 ? 四棱锥 5 5 8 ? 三棱锥 4 4 6 ? 五棱锥 6 6 10 ? 八面体 8 6 12 ? “塔顶”体 9 9 16 ? 截角立方体 7 10 15 从表中的?和?可以看出，答案是“否”. 然后，再来探讨另外的问题:是否随或增大,为了系统地回答此问题，我们按EFEV 增大的次序重新编排上表如下:(见表10) 表10: (F)(V)(E)面 顶点 棱 多 面 体 三 棱 锥 4 4 6 四 棱 锥 5 5 8 三 棱 柱 5 6 9 五 棱 锥 6 6 10 立 方 体 6 8 12 ()4史久一、朱梧槚，《化归与归纳•类比•联想》，江苏教育出版社( 19 八 面 体 8 6 12 五 棱 柱 7 10 15 截角立方体 7 10 15 “塔顶”体 9 9 16 观察重新排列的数据，我们发现:不存在所猜想的这类规律.但是，我们 看出，和是“联合”增大的，即随的增大而增大.继而，我们发现一个更准确FEVF，V 的规律: F，V,E，2 nn不过，并不能到此为止，还应该考虑有个侧面的棱柱和有个侧面的棱锥，从而使猜想的可靠性增加:(见表11) 表11: 面 顶点 棱 (F)(V)(E)多面体 n有个侧面的棱柱 n，22n3n n有个侧面的棱锥 n，1n，12n 这样就完了吗,不～还应该考虑一些不同于前面已研究过的多面体，比如，镶嵌画的框架状的多面体.这时，我们终于明白:前面所考虑的都是凸多面体.于是我们可以做出更精确的猜想:任何凸多面体的面、顶点和棱的个数之间满足关系式. F，V,E，2 这种“复原”方法为我们设计研究性学习课题提供了一个很好的视角. 以上例题的处理中我们多次用到列表的方法，列表是类比、归纳中一个常用的手段. 五、对学生进行类比归纳训练的步骤 1、介绍类比归纳的涵义和基本模式，为类比归纳奠定基础 在类比归纳的开始阶段，可利用多种形式多种场合向学生介绍类比归纳的涵义、类比归纳的基本模式(见下图) a,b,c,d对象甲具有属性 对象乙也具有属性da,b,c对象乙具有属性 类比的基本类型? a,b,c,d对象甲具有属性 对象乙也具有与属性d,,,a,b,c对象乙具有属性 ,相类似的属性 d ,,,a,b,ca,b,c(与相似) 类比的基本类型? 观察 归纳 猜想 验证 归纳的类型 20 在学生对类比归纳的思想方法有一定的感性认识之后，教师应从学生主体地位出发，充分挖掘教材及其它学习材料中类比归纳的素材，精心进行教学设计，调动学生学习的积极性、主动性和创造性，通过亲身参与和内心的体验，从类比中学习类比，从归纳中学习归纳. 2、介绍类比归纳的功能，激发学生的兴趣 爱因斯坦说:“兴趣是最好的老师”，学生类比归纳能力的提高，很大程度上依赖于自主((((((((((((((((((((((参与类比归纳过程、感受类比归纳的作用和意义的程度，因此，我们这方面下了不少功夫. (((((((((((((((((((((((( 在我们的“故事库”中收集了不少类比归纳的案例:(见表12) 表12: 鲁班发明锯子的故事; 地图四色定理的发现; 门捷列夫的元素周期表; 费尔马定理的发现; 杨辉三角; 多面体的面、顶、棱定理(欧拉公式); n前个自然数的立方和公式; 空间勾股定理、射影定理、余弦定理的发现; 哥德巴赫猜想; 大陆漂移学说的提出; 贝努利提出的自然数倒数的平方和公式; 达尔文的“杂交优势”学说. 这样的故事很多很多，我们在必修课、选修课、科技讲座中选择其中的一些案例介绍给学生，许多同学产生了浓厚的兴趣，有的开始尝试用类比归纳思想解决问题，有的还利用类比归纳思想撰写了数学论文. 3、挖掘类比、归纳素材，创设类比归纳情境，分层次、分阶段进行训练 在学习类比归纳的开始阶段，为了降低起点，我们一般直接给出类比的对象或归纳的素材，提供给学生.对有些数学问题，我们进行了“再设计”，例如以题组形式引导学生类比归纳，题组中的各小题一般从易到难排列，前一小题为后续问题提供归纳的基础或类比的对象. A,{x,x,？,x}A例17(原问题:(n元集的子集个数问题)若集合，求的子集个n12nn数. 让未受过任何类比归纳方法训练的高一学生直接去解决这个问题，是有困难的，为此， 21 我们把问题改变为: ((((( A,{x,x,？,x}设集合，填写下表，然后: n12n A(1)推测的子集个数的表示式;(2)证明你的猜想. n 表13: AAA的元素 的子集 的子集个数 n的值 nnn 1 2 3 这里让学生填表，意在收集归纳的素材，认真观察这些素材，就不难作出猜想.经过这样的处理，可使学生逐步体会到，解决有些数学问题时，可以“先考虑类似的一些简单问题，(((((((((((((再从这些个别事例推测一般性结论”，经过若干次这种训练，教师就可明确提出以下的归纳发((((((((((((((( 现模式: 观察 归纳 猜想 验证 例18(在学生作了以下两个证明题: 33511,,,,,(1);(2)( cos，cos,cos，cos，cos,5527772 ,1后，教师再把学生熟知的与这两个等式放在一起，学生立刻从等式的结构中感觉cos,32 到这里一定有一种规律性的东西，并产生一种探索的欲望，这时教师适时提出以下问题让学生探讨: 对这组三角恒等式 (1)能否从项数方面进行推广, (2)能否从指数方面进行推广, 通过探索，多数同学能归纳出以下恒等式: (2n,1),31,,cos，cos，，cos,( ？2n，12n，12n，12一些学有余力的同学甚至还作了指数推广: 35kkk1,,,k,1,3,5cos，cos，cos,推广1:对，有( 7772 k,1,3,5,？,2n,1推广2:若，对，则 k,N 22 (2n,1),kk3k1,,cos，cos，，cos,( ？2n，12n，12n，12 在经过一定的训练后，学生有了类比归纳的一定基础后，我们让学生开始探讨一些“开放性”的问题，让学生有所发现. 例18(三角形是我们比较熟悉的图形，常见的边角关系有 (1)中，任意两边之和大于第三边，即 ? ,ABCa，b,c 222(2)余弦定理:中， ? c,a，b,2abcosC,ABC 在空间，三角形既可与四面体类比，也可与三棱柱类比. 在学生对以上内容有所了解的前提下，我们呈现以下问题让学生探索. S设S、S、分别表示三棱柱ABC,ABC的侧面CAB111 BCACAB,、侧面、侧面的面积，、,、,表示棱AA、BC1111A 、上的内二面角(如图4)，试将三棱柱与三角形类比，BBCC11 猜想与关系?、?相对应的类比式.经过探索，不少同学得出了 以下结果: SSS，, ? CAB 222S，S,2SScos,,S ? ABABCC 教师再提出问题:猜想是否正确,如何证明,经过探索，不少同学能利用立体几何知识给出正确的证明. 4、改造我们的提问 传统的提问多是检查型的提问，在有的老师那里，甚至变成了诸如“对不对”、“是不是”、“懂不懂”的口头禅.我们以启发、引导学生发现问题、发现解决问题的思路、发现问题的结(((((((((((((((((((((((((((((论，促进学生思考为宗旨，按照波利亚的“怎样解题”表的思想方法，设计了引导学生通过((((((((((( 类比归纳方法探究的启导语，并设计了“怎样解题”表，供课堂提问时参考.经过一定时间的((( 训练，有些学生还学会了用这些启导语“自问”. 表14:怎样解题表 第一步、审题 已知条件是什么,所证结论或所求未知数是什么, 你能否将条件或结论换一个写法，比如，将文字叙述的条件或结论用数学符号表示(如 23 列一个方程), 你能否画一个图形，使条件或所求结论直观化,或者，列一个表，以便清楚而有条理地显示已知和未知, 你能否将条件或结论的各部分分开(分解), 第二步、探索解决的思路 【类比法的启导语】 你能否找到一个类比的问题,并从类比问题的解决方法中找到解决的思路,或由类比问题的结论猜想所求问题的结论,你能否证明这个猜想, 你见过类似的问题吗,若见过，你能否利用它的结论、或解决它的思想方法,若没见过，你能否构造一个类似的问题，并从解决它的过程中获得某种启示, 【归纳法的启导语】 你能否直接解决这个问题，若不能，你能否解决比它更简单、更特殊的问题，并由此找到解决的思路, 你能否通过归纳法猜想出这个问题的结论，或解决这个问题的方法,你能设法验证猜想的可靠性吗,若猜想有误，你怎样修改它,你能证明修改后的猜想吗, 第三步、实现 为了简捷地表达你的求解过程，你能否引入适当的符号, 按你的思路完成问题的解答. 第四步、反思 你的解法是否为最好的,能否改进,你能否用别的方法导出这个结果, 你能否将这个结果推广, 你能否把这个结果应用于解决其它的问题, 在附件中，我们就如何使用这些启导语启发引导通过举例作了说明，此处不再赘述. 六、如何防止滥用类比法和归纳法 类比是易于负迁移的，即学生容易把一种表面形式的对比所得结论当作真实的，学生学 a(x，y),ax，ay习中这类错误类比的例子是很多的，例如，由，类推出lg(x，y),lgx，lgysin(x，y),sinx，siny，，等等.对此类错误，可通过“先破后立”的方法，及时加以纠正.以下以纠正 类比,,,,a(x，y),ax，aysin(x，y),sinx，siny 24 这类错误来说明“破”和“立”的一般程序. 1，3,,,?举反例:取，则sin(x，y),sin,1,sinx，siny,，所以,x,y,2236 . sin(x，y),sinx，siny a?从与的意义入手:中与是相乘的关系，乘法满a(x，y)sin(x，y)a(x，y)x，y足分配律，故有，而不是与相乘的意思，而是对a(x，y),ax，aysin(x，y)x，ysin 取正弦，因此两者不能类比. x，y 以上所谓“破”. S?让同学将公式亲自推导一遍. ,，, ?让学生作以下练习: 等式sin(x，y),sinx，siny成立的充要条件是( ) x,2k,,或y,2k,(k,Z)A( B( x,,y x,2k,,或y,2k,,或x，y,2k,(k,Z)C(x,y,k,(k,Z) D( 以上所谓“立”. 错误类比的情况是很多的(在一本比较好的数学方法论著作中，作者在对棱台和梯形作 1V,(S，S，S)hSSS以下类比(见表15)后猜测:(其中、、表示上底面、012012棱台3 下底面、中截面的面积，表示高)，并断言:“上述猜测是正确的”. h 表15: 25 梯形 棱台(四棱台) 上下底平行 上下底面平行 另外两边不平行 另外四个面不平行 两腰延长后交于一点 四个侧面延伸后交于一点 中位线平行于上、下底 中截面平行于上、下底面 1V,? S,(a，b)h 棱台梯形2 1事实上，上述猜测是不对的:由熟知的公式及V,(S，SS，S)h1122棱台3 2,,S，SS，S1212,,S,S,S可知，要使猜想成立，应有，即.故,SS01212,,22,,猜测仅对棱柱成立，对一般棱台不成立. 向学生介绍这些错例，意在提醒学生:不可滥用类比法和归纳法. 26