圆的对称性第二课时 教案 1
圆的对称性
教学目标
(一)教学知识点(二)
1(圆的旋转不变性(
2(圆心角、弧、弦之间相等关系定理(
(二)能力训练要求
1(通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动,发展空间观念、推理能力以及概括问
题的能力(
2(利用圆的旋转不变性,研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理( (三)情感与价值观要求
培养学生积极探索数学问题的态度及方法(
教学重点
圆心角、弧、弦之间关系定理(
教学难点
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明( 教学方法
指导探索法(
教具准备
投影片两张
第一张:做一做(记作?3(2(2A)
第二张:举反例图(记作?3(2(2B)
教学过程
?(创设问题情境,引入新课
[师]我们研究过中心对称图形,我们是用什么方法来研究它的,它的定义是什么,哪
位同学知道,
[生]用旋转的方法(中心对称图形是指把一个图形绕某一个点旋转180?,如果旋转后
的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫中心对称图形(这个点就是它的对称中
心(
[师]圆是一个特殊的圆形,通过前面的学习,同学们已经了解到圆既是一个轴对称图
形又是一个中心对称图形(那么,圆还有其他特性吗,下面我们继续来探讨(
?(讲授新课
[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点,
[生]大小一样(
[师]现在老师把这两个圆叠在一起,使它俩重合,将圆心固定(
将上面这个圆旋转任意一个角度,两个圆还重合吗,
[生]重合(
[师]通过旋转的方法我们知道:圆具有旋转不变的特性(即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合(圆的中心对称性是其旋转不变性的特例(即圆是中心对称图形,对称中心为圆心(
[师]我们一起来做一做((出示投影片?3(2(2A)
按下面的步骤做一做:
1(在两张透明纸上,作两个半径相等的?O和?O′,沿圆周分别将两圆剪下(
2(在?O和?O,上分别作相等的圆心角?AOB和?A,O,B,(如下图示),圆心固定(注意:在画?AOB与?A,O,B,时,要使OB相对于OA的方向与O,B,相对于O,A,的方向一致,否则当OA与OA,重合时,OB与O,B,不能重合(
3(将其中的一个圆旋转一个角度,使得OA与O,A,重合(
[生]教师叙述步骤,同学们一起动手操作(
[师]通过上面的做一做,你能发现哪些等量关系,同学们互相交流一下,说一说你的理由(
[生甲]由已知条件可知?AOB,?A,O,B,(
[生乙]由两圆的半径相等,可以得到?OAB,?OBA,?O,A,B,,?O,B,A,(
[生丙]由?AOB??A,O,B,,可得到AB,A,B,(
,,[生丁]由旋转法可知( ABAB,
„„
[师]很好(大家说得思路很清晰,其实刚才丁同学说到的理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法(
[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现,固定圆心,将其中一个圆旋转一个角度,使半径OA与O,A,重合时,由于?AOB,?A,O,B,(这样便得到半径OB与O,B,重合(因为点A和点A,重合,点B和点B,重合,所以和重合,弦AB与弦A,B,重合,即,AB,A,B,(
[师]在上述操作过程中,你会得出什么结论,
[生]在等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等(
[师]同学做得很好,这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性:圆心角、弧、弦之间相等关系定理(
下面,我们一起来看一看命题的证明(
(学生互相讨论交流,学生口述,教师板书)
如上图所示,已知:?O和?O,是两个半径相等的圆,?AOB,?A,O,B,(
求证:,AB,A,B,(
证明:将?O和?O,叠合在一起,固定圆心,将其中的一个圆旋转,一个角度,使得半径OA与O,A,重合,??AOB,?A,O,B,,
?半径OB与O,B,重合(
?点A与点A,重合,点B与点B,重合,
?与重合,弦AB与弦A,B,重合(
?,AB,A,B,(
上面的结论,在同圆中也成立(于是得到下面的定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等(
注意:在运用这个定理时,一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提(否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论(
[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的
图((出示投影片?3(2(2B)
[生]如下图示,虽然?AOB,?A,O,B,,但AB?A,B,,
下面我们共同想一想(
[师]如果我们把两个圆心角用?
示;两条弧用?表示;两条弦用?表示(我们就可以得出这样的结论:
在同圆或等圆中?,, ,也相等,,??相等,,
如果在同圆或等圆这个前提下(将题设和结论中任何一项交换一下,结论正确吗,你是怎么想的,请你说一说((同学们互相交流、讨论)
[生甲]如果将上述题设?和结论?换一下,结论仍正确(可以通过旋转法或叠合法得到证明(
[生乙]如果将上述题设?和结论?互换一下,结论也正确,可以通过证明全等或叠合法得到(
[师]好,通过上面的探索,你得到了什么结论,
[生]在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等(
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等(
注意:(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件,否则,丢掉这个前提,虽然圆心角相等,但所对的弧、弦、弦心距不一定相等(
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧(
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义(否则易错用此关系(
(4)在具体应用上述定理解决问题时,可根据需要,择其有关部分(如“在同圆中,等弧所对的圆心角相等”“在等圆中,弦心距相等的弦相等”等等(
例如,下图中的?1,?2,有的同学认为?1对AD,?2对BC,就推出了AD,BC,显然这是错误的,因为、不是“等圆心角对等弦”的弦( ADBC
[师]下面我们通过练习巩固本节课的所学内容(
课本P 随堂练习1、2、3 97
?(课时小结
[师]通过这一节的学习,在得出本节结论的过程中,回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法,(同学们之间相互讨论、归纳)
[生]本节采用的方法有多种,利用折叠法研究了圆是轴对称图形;利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理;利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性,由圆的旋转不变性,我们探究了圆心角、孤、弦、弦心距之间相等关系定理„„
?(课后作业
课本P 习题3(3:1、2 98
?(活动与探究(略)
板书
?3(2(2 圆的对称性
一、圆的旋转不变性
圆是中心对称图形,对称中心为圆心(
二、圆心角、弧、弦之间相等关系定理(
证明:略
三、随堂练习
四、课时小结
五、课后作业