一元二次方程的解法(配方法)教案

一元二次方程的解法(法) ????? 2(一)使学生知道解完全的一元二次方程ax+bx+c=0(a?0， b?0， c?0)可以转2化为适合于直接开平的形式(x+m)=n; (二)在理的基础上，牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半 的平方”； (三)在数学思想方法方面，使学生体会“转化”的思想和掌握配方法。 重点：掌握用配方法配一元二次方程。 难点：凑配成完全平方的方法与技巧。 (一)复习 1.完全的一元二次方程的一般形式是什么样的?(注意a?0) 2.不完全一元二次方程的哪几种形式? 222 (答：只有三种ax=0,ax+c=0,ax+bx=0(a?0)) 22 3.对于前两种不完全的一元二次方程ax=0 (a?0)和ax+c=0 (a?0),我们已经学会了它们的解法。 2 特别是结合换元法，我们还会解形如(x+m)=n(n?0)的方程。 2 例 解方程：(x-3)=4 (让学生说出过程)。 解：方程两边开方，得 x-3=?2，移项，得 x=3?2。 所以 x=5,x=1. (并代回原方程检验，是不是根) 12 2 4.其实(x-3)=4是一个完全的一元二次方程，我们把原方程展开、整理为 一元二次方程。(把这个展开过程写在黑板上) 2 (x-3)=4, ? 2 x-6x+9=4, ? 2 x-6x+5=0. ? (二)新课 1.逆向思维 我们把上述由方程??方程??方程?的变形逆转过来，可以发现，对于一 2个完全的一元二次方程，不妨试试把它转化为(x+m)=n的形式。这个转化的关 2键是在方程左端构造出一个未知数的一次式的完全平方式(x+m)。 2.通过观察，发现规律 22 问：在x+2x上添加一个什么数，能成为一个完全平方(x+?)。 (添一项+1) 2 2 即 (x+2x+1)=(x+1). 练习，填空： 2 22 2x+4x+( )=(x+ ); y+6y+( )=(y+ ). 222算理 x+4x=2x?2，所以添2的平方，y+6y=y+2y3，所以添3的平方。 2 总结规律：对于x+px,再添上一次项系数一半的平方，就能配出一个含未知 数的一个次式的完全平方式。即.? (让学生对?式的右边展开，体会括号内第一项与第二项乘积的2倍，恰是左边的一次 项，括号内第二项的平方，恰是配方时所添的常数项) 项固练习(填空配方) 总之，左边的常数项是一次项系数一半的平方。 问：如果左边的一次项系数是负数，那么右边括号里第二项的正负号怎么 取?算理是什么? 巩固练习(填空配方) 2 22 2-bx+( )=(x- ); x-(m+n)x+( )=(x- ). x 2 3.用配方法解一元二次方程(先将左边化为(x?)形式) 2 例1 解方程：x-8x-9=0. (写出完整的板书) 2 解：移项，得 x-8x=9, 两边都加一次项系数一半的平方， 222 x-8x+4=q+4, 2 配方，得 (x-4)=25, 解这个方程，得 x-4=?5， 移项，得 x=4?5. 即 x1=9,x2=-1. (口头检验，是不是原方程的根) 2 例2 解方程：x-8x-8=0. 2 分析： 像例1那样，把方程左边配方成(x+m)形式. 2 解：原方程移项，像x-8x=8，方程左边配方添一次项系数一半的平方，方 程右边也添一次项系数一半的平方 2 2 2 x-8x+(x-4)=8+(-4), 2 (x-4)=24, x-4=?2 6， 所以 x=4+2 6 ,x=4-2 6. 12 2 例3 解方程：x-8x+18=0. 分析：仿例2的步骤， 2 移项，得 x-8x=-18. 2 方程两边都加(-4),得 2 2 2 x-8x+(-4)=-18+(-4), 2 (x-4)=-2. 因为平方不能是负数，x-4不存在，所以x不存在，即原方程无解. 22 例4 解方程x+2mx+2=0，并指出m取什么值时，这个方程有解. 分析：由例3可见，在方程左边配方后，方程右边式子的值决定了此方程 是否有解，当方程右边式子的值是正数或零，此方程有解，当方程右边式子的值 是负数，此方程无解. 2 解：移项，得x+2mx=-2. 2 配方，两边加m,得 222 x+2mx+m=m-2, 22 (x+m)=m-2, 22 当m-2?0，即m?2时， 所以m2?2，原方程有解. 2 例5 解方程：3x+2x-3=0. 提问：二次项系数不是1，怎么办?算理是什么? (答：根据方程同解变形原理，在方程两边都除以同一个不为零的数，所 得方程与原方程同解，原方程两边都除以3) (三)课堂练习 2-4x-3=0. 1.用配方法解方程：x 2 2.用配方法解法程：2x+5x-1=0. 提示： (四) 2 2 1.填空：x+px+( )=(x+ ). 2 2.用语言说出对于x+px添上什么，才能成为一个完全平方?(添一次项 系数p的一半 的平方) 3.用配方法解一元二次方程的步骤是： (1)化二次项系数为1； (2)移项，使方程左边只有二次项及一次项； (3)在方程两边都加上一次项系数一半的平方； 2 (4)变形为(x+m)n的形式，如果n?0，得x+m=?,x=-m?.所以 x=-m+,x=-m-. 12 (五)作业 23 2.方程 -25(2x+1)=(-4)的解是 . 3. 则x的值是( ). (A) 8 (B)-2 (C)8或-2 (D)任意实数 4.填空： 5.用配方法解方程： 222-10x+24=0; (2)x-8x+15=0; (3)x+2x-99=0; (1)x 222 (4)y+5y+2=0; (5)3x-1=4x; (6)2x+2x-30=0; 222 (7)x+px+q=0 (p-4q?0)； (8)-x+2x+3=0; 22 (9)ax+x-2=0 (a＞0)； (10)ax+abx-2=0 (a＞0). 作业的答案或提示 3.选(C). 课堂教学设计 1.从逆向思维启发学生，关键在于把方程左边构造出一个完全平方式. 2.通过练习并结合算理加深学生对“添一次项系数一半的平方”这句话的 认识和理解. 222 3. 配方练习中先集中力量配x+px型，然后，提出x-px型，进而提出ax+bx型，由浅入深. 4.解方程的五个例题是这样安排的： 2 在配方成(x+m)=n后，对n的取值由易到难，例1中，是整数，使学生觉得易学不难例2中，是无理数，上了一个档次，例3中，n＜0，使学生 认识到，方程有没有解，决定于它的系数，而不是决定于哪种解法。例4中，引入了地字母系数讨论的思想，例5，引入了把二次项系数化为1的方法和算理. 豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效 的文档营销服务。包括中国、日本、韩国、北美、欧洲等在内的豆丁全球分站，将面向全球各地 的文档拥有者和代理商提供服务，帮助他们把文档发行到世界的每一个角落。豆丁正在全球各地 建立便捷、安全、高效的支付与兑换渠道，为每一位用户提供优质的文档交易和账务服务。