备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题19 三角恒等变换（解析版）

备战2017技巧大全之#高中数学#黄金解题模板：专题19 三角恒等变换（解析版） 专业文档 【高考地位】 三角函数学习中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换，是常用的解题工具. 但由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】 方法一 运用转化与化归思想 使用情景:含不同角的三角函数式类型 解题模板:第一步 利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式; 第二步 运用有关公式进行变形，主要是角的拆变; 第三步 得出结论. ,2例1 设函数( fxxx()cos(2)sin,，，3 (1)求函数的单调递增区间; fx() ,,,13,,，173sin,(2)若0,,,,，,,，，，求的值( f()f(),,,,,242262218 ,,31【答案】(1)，，,;(2)( [,]()kkkZ,,443 【解析】 试题解析:(1) 珍贵文档 专业文档 ,,,1cos213,x2( fxxx()cos(2)sin,，，,,，,,cos2cossin2sinsin2xxx333222 ,,3,,3当，即时递减，递sin2x，,,，,，，222kxkxkk[,]()kZ,fx(),,,,4422 增( ,,3所以，函数的单调递增区间为( ，，,[,]()kkkZfx(),,44 考点:三角函数的图象与性质及三角函数的化简求值( 【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换、三角函数的图象与性质及三角函数的化简求值等问题，属于基础试题，本题的解答中注意角的范围的判断是解答的一个难点和易错点， 13fx本题的解答中，先把函数为，利用三角函数的图象与,,,cos2sin2xfxx，，，，22 性质，即可求解函数的单调递增区间，同时由，的值，推导，cos,sin(),,，sin, 的值的过程中注意角的范围问题( cos(),,， 【变式演练1】(1)化简:( (2)若、为锐角，且，，求的值( 【答案】(1);(2)( 【解析】 试题:(1)根据诱导公式及同角三角函数关系式将其化简((2)根据、为锐角，且 ，可知，也为锐角(根据同角三角 珍贵文档 专业文档 函数关系式可求得的值(由两角和差公式可求得( 试题解析:解:(1) ( (2)因为、为锐角，且，，， 所以， ? ( 考点:1诱导公式;2同角三角函数基本关系式;3两角和差公式( 31【变式演练2】已知 均为锐角，且，( ,,,,,,,tan()sin,,,35 (1)求的值;(2)求的值( sin(),,,cos, 10910【答案】(1);(2) ,,,,,sin()5010 珍贵文档 专业文档 考点:1. 同角三角函数基本关系;2. 两角差的余弦公式 方法二 运用函数方程思想 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 将把某个三角函数式看作未知数，利用已知条件或公式列出关于未知 数的方程; 第二步 求解方程组; 第三步 得出结论. 23tan()tantan,,,,，,,,,，,,,,,例2 已知sin()，sin()，求的值( 234tantan(),，,,, 珍贵文档 专业文档 【点评】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换.因此，有时在三角恒等变换中，可 以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解. 3,,,,,,0,，，,,,,例3若，， ，且，,,R,,cos20,,,,,,,,,,,,,442，，,, 1,,,3，则的值为( ) 4sin20,,,，，,cos，,,,22,, 1230(AB(C(D( 222 【答案】C 【解析】 3,,,,,3试题分析:由得,(,),sin(,,)，2,，由cos20,,,,,,,,,222,, 134sin20,,,，，,得 2 ,,,,3,,2？，,2？，,，可得，，，(,2,),sin2,，2,,,,,,2422 ,2,,.故选C. cos，,？,,,22,, 考点:诱导公式. 【思路点晴】本题考查了诱导公式的应用，简单，但难在对给定条件的理解;如何将两个条件转化成构成形式一样的形式，是难点，同一个等式中既有角，也有三角函数值，在 ,，2,我们的学习和练习中很少出现，采用整体替换的方法可得到，再利用二倍角公,,2 珍贵文档 专业文档 式即可求出所求的值.本题对学生理解能力的考查比较着重，本题属于难题. 2【变式演练3】设是方程的两根，则的值为( ) xx,，,320tan,tan,,tan(),,，A(,3 B(,1 C(1 D(3 【答案】A. 【解析】 考点:1(韦达定理;2(两角和的正切公式( 名师点睛:此题考查两角和的正切公式的整体思想，是方程的两个根，但不要tan,,tan,求方程的两根分别是多少，而用韦达定理，整体求两根之和，两根之积，然后代入( ,,,,2xaxaa，，，,,33102【变式演练4】方程两根，且，tantan,,、,,,,，，,,,,22,, ; 则,,，, 3【答案】 ,,4 【解析】 试题分析: 由已知可得，，tantan3,,，,,atantan31,,,，a tantan3,,，,a tan()1，,,,,,1tantan1(31),,，a,, 3,,,,,,,因为，所以，所以或. ,,,,，,,,,,,,，,,,,,,4422,, a,2但由于，所以 tantan310,,,，,atantan30,,，,,,a，。由 tantan310,,,，,atantan,,、，则同号; tantan30,,，,,,atantan,,、由，则都小于0。 3,，,,. ,,，,0,,所以，所以4 考点:两角和差公式以及正切函数的性质. 珍贵文档 专业文档 方法三 运用换元思想 使用情景:一般三角函数类型 解题模板:第一步 运用换元法将未知向已知转化; 第二步 利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换; 第三步 得出结论. 2例5 若求的取值范围. sin,，sin,,,cos,，cos,2 1414【答案】. [,],22 cos,，cos,【点评】本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围. 【变式演练4】若 是三角形的最小内角，则函数的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:由,令而,得 ;又,得，得 2t,11112ytt,,,,,，11,，2,，,,21y，则,所以函数的最小值为.故选，，2222 珍贵文档 专业文档 A. 考点:正弦、余弦函数的图象与性质，两角和与差的三角函数及三角恒等变换. 【高考再现】 ,31. 【2016高考新课标2理数】若，则( ) sin2,,,,cos(),45 7117(A) (B) (C) (D) ,,525255 【答案】D 【解析】 2，，,,37,,,,,,2试题分析:cos22cos121,,,,,,,,, ， ,,,,,,,,,,44525,,,,,,，， ，，,,,,，，且，故选D. cos2cos2sin2,,,,,,,,,,,,,42,,，，，， 考点:三角恒等变换. 【名师点睛】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示: (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差( (2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系( ABCsin2sinsinABC,2. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则tantantanABC的最小值是 ? . 【答案】8. 考点:三角恒等变换，切的性质应用 【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是 ABCtantantantantantanABCABC,，，本题突破口，斜三角形中恒有，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识 珍贵文档 专业文档 3,cos(),,,103(【2015高考重庆，理9】若，则( ) ,tan2tan,,,5sin(),,5 A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C 【考点定位】两角和与差的正弦(余弦)公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 【名师点晴】三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可(本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用( ,,4.【2015高考四川，理12】sin15，sin75, . 6【答案】. 2 【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值. 22ababsincossin(),,,,，,，，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解. 【名师点睛】这是一个来自于课本的题，这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一 22ababsincossin(),,,,，,，，为一个角，然后再化为一个三角函数一般地，有.第二种方法是直接凑为特殊角，利用特殊角的三角函数值求解. 珍贵文档 专业文档 115.【2015高考重庆，文6】若,则( ) tan,tan()aab=+=tan=b32 1155(A) (B) (C) (D) 7766 【答案】A 11,tan()tan1,,,，,23【解析】，故选A. tantan[()],，,,,,,,,,111tan()tan7，，,,,1，，23 【考点定位】正切差角公式及角的变换. 【名师点睛】本题考查角的变换及正切的差角公式，采用先将未知角用已知角和,,,,，表示出来，再用正切的差角公式求解.本题属于基础题，注意运算的准确性. 26.【2015高考四川，文13】已知sinα，2cosα,0，则2sinαcosα,cosα的值是______________. 【答案】,1 【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力. 22【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是:结合sinα，cosα,1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨 22论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sinα，cosα(,1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. 【反馈练习】 1. 【2015-2016学年天津市静海一中等六校高一上期末#数学#，理14】已知 2,1,tan(),,，,tan(),,tan()，,，那么= . ,,5444 3【答案】. 22【解析】 珍贵文档 专业文档 试题分析: ,,,21tantan，,,,,,，，,,, ，，4,,3,,,,54tan()tan，,，,,,,,,,,,，，,,,,214422,,,,,，，1，，1tantan，，,，，,,,,,544,,考点:两角差的正切公式. 2. 【2015-2016学年江苏省如东高中高一下期中数学试卷，理15】已知 tan,,,，，，，sin22sin2,,,，,，则的值是_________( ，，tan,，，，,,, 【答案】3 【解析】 考点:两角和与差正弦公式 3(【 2015-2016学年浙江省慈溪中学高一4-6班上期中数学卷，理14】，是方tan,tan, ,,2xx,，,3340,程的两个根，且，，则 ( ,,(,),,，,,22 2,【答案】( 3 【解析】 tan0,,试题分析:根据韦达定理可知，，，?，tantan33,,，,tantan4,,, ， tan0,, ,2,tantan33,,，,,(0,)，,?，，?，?( tan()3，,,,,,,,,,231tantan14,,,, 考点:1(韦达定理;2(三角恒等变形( 4(【2014-2015学年江苏省扬州中学高二下学期质量检测数学试卷，文14】若 ,,1sin(2)a，sin(),,,，则的值为 ( 646 7【答案】 8 珍贵文档 专业文档 【解析】 考点:三角恒等变换( 5. 【2015-2016学年江西省抚州市高一上学期期末质量检测数学试卷，理9】已知 ，则的取值范围是( )( coscos1,,，,sinsin,,, ，，，，,11，,2，2A B C 03， D ,33， ,,,,，，，，【答案】D( 222【解析】令，则，即(sinsin)(sinsin)1,,,,,，,,，tsinsin,,,,t 22,,,33t，所以,,,,212t，即，故应选D( 2cos()1,,，,,t 考点:1、换元法;2.三角恒等变形. 6. 【2014-2015学年浙江省杭州第二中学高一下学期期中考试数学试卷，理14】已知: ,,3,,3512,,,,,,,,，，且，则,,，,,0，cossin,,,,,，，,,,,,,,,,,,,,,,,,,45413444 cos,,，=_______. ，， 33,【答案】 65 【解析】 ,,,,334512,,,,,,,,试题分析:， ,,？,,,？,,,,cossin？sin，,,,,,,,,,,,,,444545413,,,,,,,, 11215,,,, ,,,,？，,sin？，,cos,,,,413413,,,, 珍贵文档 专业文档 ，，,,3541233,,,,,, ？，,，,,,，，，,,,coscos,,,,，，,,,,,,,,4451351365,,,,,,，， 考点:1.同角间的三角函数关系;2.两角和差的正余弦公式 7. 【2015届江苏省宿迁市剑桥国际学校高三上学期期中考试数学试卷，理14】设 ,15,,,，,, tansin(),,，，,,,cos,，，，且(则的值为 ( 1322 16【答案】 ,65 【解析】 考点:三角恒等变形. 8. 【2013-2014学年湖南省五市十校高一下学期期中检测数学试卷，理14】已知 23520xx，,,tan,tan,,tan,,，,是方程的两根，则 ( ，，【答案】 ,1 【解析】 23520xx，,,tan,tan,,试题分析:?是方程的两根 25?tanα+tanβ=，tanαtanβ=， ,,33 5,tantan,,，3则=(故答案为: - ,1tan，,,,1,,，，21tantan,,,,,1,,,,3,, 考点:两角和与差的正切函数;根与系数的关系( x9. 【2015-2016学年江西省上高县二中高一上学期期末数学试卷，理18】关于的方程 ,,2xxm，，,,,4sintan0(0)有两个相等的实数根( ,,22 m(1)求实数的取值范围; 珍贵文档 专业文档 41sin2cos2，,,,(2)若，求的值( ，,,m2cos31tan，, 5【答案】(1);(2)( ,(0,2]9 【解析】 aa2试题解析:(1)关于的方程有两个相等的实数根， xxxm，，,,,4sintan0(0),,22 a216sinaaaa22所以，则( m,,,4sincos2sin,,,,,16sin4tan0ma22224tan2因为，所以(即所求实数m的取值范围为( 0,,,,02sin2,,,(0,2] 21sin2cos22sin2sincos，,，,,,,,(2), sin,1tan，,1，cos,2sincos(sincos),,,,， ,,2sincos,,sincos，,, 42当时，则， ，,,,,，,m2cossincos33 45平方得，,,,，?,,,,， 12sincos2sincos991sin2cos25，,,,即,,( 1tan9，, 考点:三角函数的化简求值( 珍贵文档