斯托克斯公式

斯托克斯公式 ?10.7 一．斯托克斯公式 定理1 设为光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的下向,,,, 与的侧符合右手。P(x,y,z),Q((x,y,z),R((x,y,z)在包含2在内的一个空间区域内具有一阶, 连续编导数，则有 ,R,Q,p,R,Q,P(,)dydz，(,)dzdx，(,)dxdy,Pdx，Qdy，Rdz ,,,,,y,z,z,x,x,y, 为了便于记忆，利用行列式记号将斯托克斯公式写成： dydzdzdxdxdy ,,,= Pdx，Qdy，Rdz,,,,,x,y,z, PQR cos,cos,cos, ,,,或ds=Pdx，Qdy，Rdz ,,,,,x,y,z, PQR 如果是xoy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式 , 例1． 利用斯托克斯公式计算曲线积分zdx，xdy，ydz其中为平面x+y+z=1被三个,,, 坐标面所截成的三角形的整个边界，它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合 右手规则 解：zdx，xdy，ydz ,, dydzdzdxdxdy ,,, = ,,,x,y,z, PQR = dydz，dzdx，dxdy,,, 13= dxdy3,3，,,,22Dxy 222222例2． 计算I=(y,z)dx，(z,x)dy，(x,y)dz ,, 3是用平面截立方体：的表面所得的截痕，0,x,1,0,y,1,0,z,1x，y，z,,2 若从OX轴的正向看去，取逆时针方向 其中 13,解： ,,n,,,,1,1,1,cos,cos,cos,33 333 333 3,,, I=ds= ,，4(x，y，z)ds,,,,xyz3,,,22 222222yzzxxy,,, 433 = ,1，1，1ds,,32Dxy 19 = ,6,(Dxy),,6(1,2，),,82二．环流量与旋度 1． 环流量：APdx，Qdy，Rdz=Ads叫做向量场沿有向闭曲线的环流量。,,,t,, 其中A为向量在的切线向量上的投影 A,A,t,Pcos,，Qcos,，Rcosv,t 2． 旋度：记作rotA ,,,,R,Q,P,R,Q,Prot(,)i，(,)j，(,)kA= ,y,z,z,x,x,y ,,,ijk ,,,= ,x,y,z PQR 例 求A= (2z,3y)i，(3x,z)j，(y,2x)k ,,,ijk ,,,,,,解： rotA,2i，4j，6k= ,x,y,z 2z,3y3x,zy,2x 课堂练习：P224 1、（1）（2）2、（2）3、（1）4、（2） 课后作业：P224 1、（3）（4）2、（3）3、（2）4、（1）6