判断函数奇偶性不能忽视的定义域

判断函数奇偶性不能忽视的定义域 ?汪小兵 作为函数三大要素之一的定义域，在函数奇偶性的判断中起着至关重要的作用，研究函数的奇偶性时，应特别注意考查函数的定义域，否则将导致解出错。 一、未注意定义域的对称性出错 例1、判断函数f(x),(1，x)的奇偶性。 错解:f(,x),(1,x) ,(1,x) ,(1，x) ,(1，x),f(x) ?函数f(x)为偶函数。 分析:函数为奇偶函数的必要条件是定义域关于原点中心对称，故判断函数的奇偶性，应先考虑定义域及对称性。 ?,1,x?1,，不关于原点对称，故函数f(x)为非奇非偶函数。 由?0知定义域为,x 二、定义域为动区间时不讨论出错 例2、判断函数f(x),的奇偶性。 错解:由x，a?0知定义域为(,?,a)?(a, ，?)，不关于原点中心对称，故函数f(x)为非奇非偶函数。 分析:参数的取值不确定，在不同取值情况下，定义域也不同，应作分类讨论，当a?0时，上述解法是正确的，而当a,0时，定义域为(,?,0)?(0, ，?)关于原点对称，且f(x),x2,函数为偶函数。 三、误求定义域出错 例3、已知f(x2,3),lg，判断函数f(x)的奇偶性。 错解:设t,x2,3,则x2,t，3，?f(t),lg?f(x),lg由,0及x,3?0知定义域为(,?,,3)?(3, ，?)关于原点对称。 又?函数f(,x),lg,lg ,lg(),1 ,,f(,x) ?函数f(x)为奇函数。 分析:用变量代换法要注意新旧变量的取值范围及其关系，错解没有考虑新变量的取值范围，误求定义域，导致错判奇偶性。 由,0，得x2,6,0，即x2,6，?t,x2,3,?t,3从而应由f(t),lg(t,3)得f(x),lg(x,3)，由于定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数。 四、化简变形脱离定义域出错 例4、判断函数f(x),的奇偶性。 错解:由9,x2?0且?x,3??0知函数的定义域 为,x?,3?x?3且x?0,，关于原点中心对称。 ?f(,x),,??f(x) ?函数为非奇非偶函数。 分析:利用定义域可以简化复杂函数的解析式，使f(,x)与f(x)的隐含关系显露出来，错解在化简时没有结合定义域，使化简半途而废，从而误判奇偶性。 当,3?x?3且x?0时，?x，3?,x，3, ?x,3?,3,x,则f(x),，f(,x),，?f(,x),,f(x)，所以f(x)为奇函数。 五、取值超越定义域出错 例5、函数f(x)的定义域关于原点对称，且对于定义域中任意两个不同的值x1,x2,都有f(x1,x2),，判断f(x)的奇偶性。 错解:设x是定义域中的一个值，令x1,0,x2,x?0，得f(,x),，再令x1,x?0，x2,0得f(x),，?f(,x),f(x)?函数f(x)为奇函数。 分析:题设中“定义域关于原点对称”并无“一定包括原点”的含意，若原点不在定义域中，则令x1,0或x2,0将使式子无意义，如函数f(x),cotx的定义域关于原点对称，且cot(x1,x2),,但x1,0或x2,0时，由于0不在定义域内，所以cotx不存在。 正解:由已知式知x1,x2在定义域内，设x,x1,x2由定义域关于原点对称知,x,x2,x1也在定义域内，于是有f(,x),f(x2,x1),，而f(x),f(x1,x2),，?f(,x),,f(x)，所以f(x)为奇函数