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一类具有左边界层的非线性奇摄动问题

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一类具有左边界层的非线性奇摄动问题一类具有左边界层的非线性奇摄动问题 一类具有左边界层的非线性奇摄动问题 第29卷第5期 V01.29No.5 菏泽学院 JournalofHezeUniversity 2007年10月 0ct.2007 文章编号:1673—2103(2007)05—0001—03 一 类具有左边界层的非线性奇摄动问题 徐涵,倪明康2,张冬梅 (1.临沂师范学院数学系,山东临沂276000;2.华东师范大学数学系,上海20(~2) 摘要:研究了一类非线性奇摄动初值问题解的渐近展开问题,证明了解的存在惟一性,并给出该解的 ...
一类具有左边界层的非线性奇摄动问题
一类具有左边界层的非线性奇摄动问 一类具有左边界层的非线性奇摄动问题 第29卷第5期 V01.29No.5 菏泽学院 JournalofHezeUniversity 2007年10月 0ct.2007 文章编号:1673—2103(2007)05—0001—03 一 类具有左边界层的非线性奇摄动问题 徐涵,倪明康2,张冬梅 (1.临沂师范学院数学系,山东临沂276000;2.华东师范大学数学系,上海20(~2) 摘要:研究了一类非线性奇摄动初值问题解的渐近展开问题,证明了解的存在惟一性,并给出该解的 渐近. 关键词:奇摄动;边界层;渐近展开;余项估计 中图分类号:0175.1文献标识码:A 引论 文献[1]中研究了一类奇摄动初值问题 Jdz=川Y),=,… Lz(0,)=z.,y(O,)=Y.. 讨论了该问题的渐近解,并给出该解的渐近分析.本文利用文献[13]中的边界函数法对问题 jdz=川Y),tz业dt=z,t), tz(O,/1)=.,y(o,/z):Y., 进行了讨论,给出解的存在惟一性,并对解关于小参数进行渐近展开,其中,F和y,f分别为M维和m维 向量函数.为了构造问题(1)的渐近解,需要给出以下条件. 条件1):假设在开区域G中,函数r(z,Y,,)和f(z,Y,t)n阶连续可微. 方程组(2)对应的退化问题为:F(I(t),(t),t):0,.厂((t),,):0(3) 解问题(3)可得退化解为::(t),(t):((),).(4) 我们将(,)=((z),f)示为矩阵((,),,)=()::-(I)'1) 的特征值. 条件2):假设对t?[0,1],有Re(t)<0,i=1,2,…,M.. 1初值问题解的渐近构造 由文献[1]中的吉洪诺夫定理知:问题(2)有左边界层.构造其形式渐近解为: (,)=(,)+?(ro),r.=},.<<l,=(;). 其中' ?. Hkx(ro)为左边界层函数,k=1,2,…. (5) (6) 收稿日期:2OO7—03—31 基金项目:上海市教育委员会E一研究院建设计划项FI(ED3OIM) 作者简介:徐涵(1979一),女,山东临沂沂水人,助教,硕士,研究方向:奇异摄动. 倪明康(1963一),男,上海市普陀区人,教授,博士,博士研究生导师,俄罗斯科学院院士,研究方向:奇异摄 动. 1 2007年菏泽学院第5期 将(6)中的(f,)展开式代人(2)的两边,然后比较两边关于同次幂的系数,确定(6)右端的系数 函数('),rimr0),k=1,2,…,n.函数(t),?()满足下面方程. f=f=nF 【dt:_,'ldro=nf 其中=F((t,),(t,),,),7=(,,),,), l-IF=F(z(ffro,tz)+?(Z"0,/z),y(ffro,/1)+?y(r0,),r0)一F(z(ffr0,),y(,ur0,/1),ro), nf=z(ffro,)+IIz(r0,),ro)一,(z(ffro,),r0). 对于.的系数可得(,)=((t),,).向量函数(,)为已知函数.函数nox(r0)满足如下方程组: 满足条件I10(O)=z0一0(O),l-loy(O)=Y.一(o(O),O),IIo(+?)=nor(+?)=0.(8) 附加方程组:一F(x,o),;:_0(0)+nox,nox(+?):0,由附加方程组可解出nox:nox(rO).U"1 比较(=1,2,…,,…)的系数可得到关于函数,?的方程如下: = (t)+ = (t)+( 其中(r0),gI(r0)由已知函数?(r0),IIo'(r0)组成,i=1,2,…,k一1.满足条件: n~z(o)=一(O),rI~y(o)=,(0).(10) 由(9)式第一个方程组可解得=(t),=(,). 代flk.(1O)式可解得?(0)=一(0),?(o)=一(0),与(9)式方程组联立可解出向量函数1-1~y(Z"0), ?(Z"0).从而就完全确定了渐近解的系数. 2余项估计 定理当满足条件1)2)时,存在常数0>0和c>O,使得当0<<0时,问题(2)的解(t, )在区间[o,1]上存在惟一且满足不等式 II(t,)一(t,)Il?",0?t?1.(11) 证明令u(x,)=(t,)一Zn(t,),(,)=Y(t,)一yn(t,), 其中(t,):?((t)+I'l~z(r0)),(t,):?((t)+II~(ro)),将z=u+, Y=+代人问题(1)中方程,即得余项U(t,),(t,)的方程为: fdu:F(配+,v+,')一dZn, ldp:+,)一警. 满足初始条件u(o,)=0,(0,/1)=0, 方程(12)可改写为以下方程组: J=眦+啪v+cl(u,v,t,ff), Idy=fA,,/1)u+G2(u,v,t,ff). (12) (13) (14) : ,?.O,n (I, , 睹 咀,卯,L, 业 一 2007徐涵,等:一类具有左边界层的非线性奇摄动问题第5期 其中G1(",,f,I1)=F(?+,+Yn,t)一dZn— (f,)"一(t,), G2(,,f,)="+,)一dYn一 (,)". 函数Gl(u,,t,)和G2(u,v,t,)具有下面两个性质. 1)当0?t?,0<?0时,有IlG1(0,0,t,)Il?",IIG2(0,0,t,)?". 2)V,>0,:(,)>0,0=0(e)>O,使当IlllI?,II"2Il?,Il1?,ll2ll? 时有 fIGi(1,1,t,)一(2,2,t,)ii?,(iIul一2ff+fI1一v2if) 解(14),(15)可得:l_(t,)ll?",lI(t,)II?",从而(ii)式成立,证毕. 参考文献: [1]VasilyavaAB,ButuzovVF.HighSchool[M].Russia:MoscowPress,1990. [23CopsonET,AsymptoticExpansions[M].CambridgeattheUniversityPress,1971. [3]VasilyavaAB,ButuzovVF.SingularPerturbedEquationsinCfific~Cgse[M].UniversityofWisconsinMadison:TechnicalReportMRC — TSR2039,,198o. AkindofNonlinearSingularPerturbedProblems withtheLeftBoundaryLayer xuHan,NIMing-kang2,ZHANGDong.mei (1.DeparmaentofMathematics,Li.yiNormalUniversity,Ianyi,Shandong,276000,China; 2.DepartmengtofMathematics,EastChinaNormalUniversity,Shanghai,20062,China) Abstract:Akindofsingularperturbednonlinearproblemswithinitialvalueisinvestigated.Theexistenceanduniqueness ofthesolutionisproved.Thereforeweobtaintheasymptoticanalysisofthesolution. Keywords:singularperturbance;singularboundarylayer;asymptoticexpansion;theestimationofremainder 3
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