一类具有左边界层的非线性奇摄动问
一类具有左边界层的非线性奇摄动问题 第29卷第5期
V01.29No.5
菏泽学院
JournalofHezeUniversity
2007年10月
0ct.2007
文章编号:1673—2103(2007)05—0001—03
一
类具有左边界层的非线性奇摄动问题
徐涵,倪明康2,张冬梅
(1.临沂师范学院数学系,山东临沂276000;2.华东师范大学数学系,上海20(~2) 摘要:研究了一类非线性奇摄动初值问题解的渐近展开问题,证明了解的存在惟一性,并给出该解的
渐近
.
关键词:奇摄动;边界层;渐近展开;余项估计
中图分类号:0175.1文献标识码:A
引论
文献[1]中研究了一类奇摄动初值问题
Jdz=川Y),=,…
Lz(0,)=z.,y(O,)=Y..
讨论了该问题的渐近解,并给出该解的渐近分析.本文利用文献[13]中的边界函数法对问题
jdz=川Y),tz业dt=z,t),
tz(O,/1)=.,y(o,/z):Y.,
进行了讨论,给出解的存在惟一性,并对解关于小参数进行渐近展开,其中,F和y,f分别为M维和m维
向量函数.为了构造问题(1)的渐近解,需要给出以下条件.
条件1):假设在开区域G中,函数r(z,Y,,)和f(z,Y,t)n阶连续可微. 方程组(2)对应的退化问题为:F(I(t),(t),t):0,.厂((t),,):0(3) 解问题(3)可得退化解为::(t),(t):((),).(4) 我们将(,)=((z),f)
示为矩阵((,),,)=()::-(I)'1) 的特征值.
条件2):假设对t?[0,1],有Re(t)<0,i=1,2,…,M..
1初值问题解的渐近构造
由文献[1]中的吉洪诺夫定理知:问题(2)有左边界层.构造其形式渐近解为: (,)=(,)+?(ro),r.=},.<<l,=(;). 其中'
?.
Hkx(ro)为左边界层函数,k=1,2,….
(5)
(6)
收稿日期:2OO7—03—31
基金项目:上海市教育委员会E一研究院建设计划项FI(ED3OIM) 作者简介:徐涵(1979一),女,山东临沂沂水人,助教,硕士,研究方向:奇异摄动. 倪明康(1963一),男,上海市普陀区人,教授,博士,博士研究生导师,俄罗斯科学院院士,研究方向:奇异摄
动.
1
2007年菏泽学院第5期
将(6)中的(f,)展开式代人(2)的两边,然后比较两边关于同次幂的系数,确定(6)右端的系数
函数('),rimr0),k=1,2,…,n.函数(t),?()满足下面方程.
f=f=nF
【dt:_,'ldro=nf
其中=F((t,),(t,),,),7=(,,),,),
l-IF=F(z(ffro,tz)+?(Z"0,/z),y(ffro,/1)+?y(r0,),r0)一F(z(ffr0,),y(,ur0,/1),ro),
nf=z(ffro,)+IIz(r0,),ro)一,(z(ffro,),r0).
对于.的系数可得(,)=((t),,).向量函数(,)为已知函数.函数nox(r0)满足如下方程组:
满足条件I10(O)=z0一0(O),l-loy(O)=Y.一(o(O),O),IIo(+?)=nor(+?)=0.(8) 附加方程组:一F(x,o),;:_0(0)+nox,nox(+?):0,由附加方程组可解出nox:nox(rO).U"1
比较(=1,2,…,,…)的系数可得到关于函数,?的方程如下:
=
(t)+
=
(t)+(
其中(r0),gI(r0)由已知函数?(r0),IIo'(r0)组成,i=1,2,…,k一1.满足条件: n~z(o)=一(O),rI~y(o)=,(0).(10)
由(9)式第一个方程组可解得=(t),=(,).
代flk.(1O)式可解得?(0)=一(0),?(o)=一(0),与(9)式方程组联立可解出向量函数1-1~y(Z"0),
?(Z"0).从而就完全确定了渐近解的系数.
2余项估计
定理当满足条件1)2)时,存在常数0>0和c>O,使得当0<<0时,问题(2)的解(t,
)在区间[o,1]上存在惟一且满足不等式
II(t,)一(t,)Il?",0?t?1.(11)
证明令u(x,)=(t,)一Zn(t,),(,)=Y(t,)一yn(t,),
其中(t,):?((t)+I'l~z(r0)),(t,):?((t)+II~(ro)),将z=u+,
Y=+代人问题(1)中方程,即得余项U(t,),(t,)的方程为:
fdu:F(配+,v+,')一dZn,
ldp:+,)一警.
满足初始条件u(o,)=0,(0,/1)=0, 方程(12)可改写为以下方程组:
J=眦+啪v+cl(u,v,t,ff),
Idy=fA,,/1)u+G2(u,v,t,ff). (12)
(13)
(14)
:
,?.O,n
(I,
,
睹
咀,卯,L,
业
一
2007徐涵,等:一类具有左边界层的非线性奇摄动问题第5期 其中G1(",,f,I1)=F(?+,+Yn,t)一dZn—
(f,)"一(t,),
G2(,,f,)="+,)一dYn一
(,)".
函数Gl(u,,t,)和G2(u,v,t,)具有下面两个性质.
1)当0?t?,0<?0时,有IlG1(0,0,t,)Il?",IIG2(0,0,t,)?". 2)V,>0,:(,)>0,0=0(e)>O,使当IlllI?,II"2Il?,Il1?,ll2ll? 时有
fIGi(1,1,t,)一(2,2,t,)ii?,(iIul一2ff+fI1一v2if) 解(14),(15)可得:l_(t,)ll?",lI(t,)II?",从而(ii)式成立,证毕. 参考文献:
[1]VasilyavaAB,ButuzovVF.HighSchool[M].Russia:MoscowPress,1990.
[23CopsonET,AsymptoticExpansions[M].CambridgeattheUniversityPress,1971.
[3]VasilyavaAB,ButuzovVF.SingularPerturbedEquationsinCfific~Cgse[M].UniversityofWisconsinMadison:TechnicalReportMRC
—
TSR2039,,198o.
AkindofNonlinearSingularPerturbedProblems
withtheLeftBoundaryLayer
xuHan,NIMing-kang2,ZHANGDong.mei
(1.DeparmaentofMathematics,Li.yiNormalUniversity,Ianyi,Shandong,276000,China; 2.DepartmengtofMathematics,EastChinaNormalUniversity,Shanghai,20062,China) Abstract:Akindofsingularperturbednonlinearproblemswithinitialvalueisinvestigated.Theexistenceanduniqueness
ofthesolutionisproved.Thereforeweobtaintheasymptoticanalysisofthesolution. Keywords:singularperturbance;singularboundarylayer;asymptoticexpansion;theestimationofremainder
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