★极限四则运算法则

★极限四则运算法则 第五节 极限四则运算法则 教学目的:使学生掌握极限的四则运算法则，并会利用它们求极限; 教学重点:有理函数极限的计算; 教学过程: 一、无穷大和无穷小的概念及性质 二、讲解新课: 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 :若，则存在，且定理1limf(x),A,limg(x),Blim[f(x),g(x)] 。 lim[f(x),g(x)],A,B,limf(x),limg(x) x,x,,,0,，,,0证明: 只证lim[f(x)，g(x)],A，B，过程为，对，当01 ,(),，,,0 时，有，对此，，当fx,A,0,x,x,,0,x,x,,201022 ,(),,min{,,,}时，有，取，当时，有 gx,B,0,x,x,,1202 ,,(f(x)，g(x)),(A，B),(f(x),A)，(g(x),B),f(x),A，g(x),B,，,,22 所以。 lim(f(x)，g(x)),A，Bx,x0 其它情况类似可证。 注:本定理可推广到有限个函数的情形。 limf(x),A,limg(x),Blimf(x),g(x)定理2:若，则存在，且 limf(x)g(x),AB,limf(x),limg(x)。 limf(x),A,limg(x),Bf(x),A，,,g(x),B，,,证明:因为， , ,,f(x)g(x),(A，,)(B，,),AB，(A,，B,，,,),,(均为无穷小)，记 ,,A,，B,，,,,limf(x)g(x),AB， 为无穷小， 。 ,, clim[cf(x)],climf(x)推论1:(为常数)。 nnlim[f(x)],[limf(x)]推论2:(n为正整数)。 f(x)Alimf(x)lim,,定理3:设，则。 limf(x),A,limg(x),B,0g(x)Blimg(x)证明:设(为无穷小)，考虑差: f(x),A，,,g(x),B，,,,, ,,,f(x)AA，AB,A,,,, g(x)BB，,BB(B，,) 12B(B，,),B,0 其分子为无穷小，分母，我们不难证明B,,A,B(B，,) ,,B,Af(x)A,,，,有界(详细过程见书上)为无穷小，记为，所以， ,B(B，,)g(x)B f(x)A,lim,。 g(x)B 注:以上定理对数列亦成立。 定理4:如果,(x),,(x)lim,(x),a,lim,(x),b，且，则。 a,b【例1】。 lim(ax，b),limax，limb,alimx，b,ax，b0x,xx,xx,xx,x0000 nnn【例2】limx,[limx],x。 0,,xxxx00 nn,1f(x),ax，ax，？？，ax，a推论1:设为一多项式，当 01n,1n nn,1limf(x),ax，ax，？？，ax，a,f(x)。 0010n,10n0x,x0 P(x)P(x)0Q(x),0,limP(x),Q(x)推论2:设均为多项式，且，则。 0x,x0Q(x)Q(x)0 22【例3】lim(x,5x，10,1,5，1，1,,3。 x,1 33xx，7,90，7，0,95lim,,,3【例4】(因为0,0，3,0)。 55x,0xx,，30,0，3 Q(x),0注:若，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。 0 2x，x,2lim【例5】求。 21x,2x，x,3 解:当时，分子、分母均趋于0，因为，约去公因子， (x,1)x,1x,1 2xx2x23，,，limlim,,所以 。 2x,1x,12x35，2xx3，, 13,【例6】求。 lim()3x,,1x，1x，1 13x,,1,,解:当全没有极限，故不能直接用定理3，但当时， x,,13x，1x，1 13(x，1)(x,2)x,2,,,，所以 322x，1x，1(x，1)(x,x，1)x,x，1 x13,2,1,2lim(,),lim,,,1。 322x,,1x,,1x，1xxx，1,，1(,1),(,1)，1 2xlim【例7】求。 2x,x,2 2解:当时，，故不能直接用定理5，又，考虑:x,4x,2x,2,0 x,22,2， lim,,02x,2x4 2x,,,lim 。 2x,x,2 2xaxb，，【例8】若，求a,b的值。 lim,32x,1xsin(,1) 222sin(x,1)~x,1当时，，且 lim(x，ax，b),0x,1x,1 abba，，,,，10, =(1) 22xaxbxaxaxxa，，，,，,，，(1)(1)(1),, 2xxxxx,,，,，1(1)(1)(1)(1) 2xaxba，，，2lim3,,2x,,1 x,12 ab,,,4, 5 a,0,b,0,m,n【例9】设为自然数，则 00 a,0,当nm时,b0nn,1,，，，axaxa？？,n01,, 。 当nm时lim0,mm,1x,,，，，bxbx？？bm01,,,当nm时, ,, x,,时，分子、分母极限均不存在，故不能用?1.6定理5，先变形: 证明:当 aan1a，，，？？nn1,0nax，ax，，a？？nmx,xn01,x, limlimmm1,xx,,,,bbbx，bx，，b？？m1m01b，，，？？0mxx ,a，0，？？，001,当n,m时,b，0，？？，00, ,a，0，？？，0,0 ,0,当n,m时 ,b，0，？？，00, ,a，0，？？，00,,当n,m时,,b，0，？？，00, n12【例10】求lim(，，？？，)。 222n,,nnn n,,解:当时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形: 11n(n1)n11，，lim(12n)limlim 原式。 ,，，？？，,,,,22n,,n,,n,,22n2nn ,,xx【例11】证明lim,1,x,,为的整数部分。 x,,x xx,x1,,,,x,,,,1,,x,x证明:先考虑,0，因为是有界函数，且当时，，所xxx 以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得 xxxx,,,,,,,lim,0,lim(1,),0,lim,1。 x,,x,,x,,xxx三、课堂练习: 四、布置作业: