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★极限四则运算法则

2017-09-27 4 侵权/举报
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★极限四则运算法则

第五节 极限四则运算法则

教学目的:使学生掌握极限的四则运算法则,并会利用它们求极限; 教学重点:有理函数极限的计算;

教学过程:

一、复习无穷大和无穷小的概念及性质

二、讲解新课:

极限四则运算法则

由极限定义来求极限是不可取的,也是不行的,因此需寻求一些方法来求极限。

:若,则存在,且定理1limf(x),A,limg(x),Blim[f(x),g(x)]

。 lim[f(x),g(x)],A,B,limf(x),limg(x)

x,x,,,0,,,,0证明: 只证lim[f(x),g(x)],A,B,过程为,对,当01

,(),,,,0 时,有,对此,,当fx,A,0,x,x,,0,x,x,,201022

,(),,min{,,,}时,有,取,当时,有 gx,B,0,x,x,,1202

,,(f(x),g(x)),(A,B),(f(x),A),(g(x),B),f(x),A,g(x),B,,,,22

所以。 lim(f(x),g(x)),A,Bx,x0

其它情况类似可证。

注:本定理可推广到有限个函数的情形。

limf(x),A,limg(x),Blimf(x),g(x)定理2:若,则存在,且

limf(x)g(x),AB,limf(x),limg(x)。

limf(x),A,limg(x),Bf(x),A,,,g(x),B,,,证明:因为, ,

,,f(x)g(x),(A,,)(B,,),AB,(A,,B,,,,),,(均为无穷小),记 ,,A,,B,,,,,limf(x)g(x),AB, 为无穷小, 。 ,,


clim[cf(x)],climf(x)推论1:(为常数)。

nnlim[f(x)],[limf(x)]推论2:(n为正整数)。

f(x)Alimf(x)lim,,定理3:设,则。 limf(x),A,limg(x),B,0g(x)Blimg(x)证明:设(为无穷小),考虑差: f(x),A,,,g(x),B,,,,,

,,,f(x)AA,AB,A,,,, g(x)BB,,BB(B,,)

12B(B,,),B,0 其分子为无穷小,分母,我们不难证明B,,A,B(B,,)

,,B,Af(x)A,,,,有界(详细过程见书上)为无穷小,记为,所以, ,B(B,,)g(x)B

f(x)A,lim,。 g(x)B

注:以上定理对数列亦成立。

定理4:如果,(x),,(x)lim,(x),a,lim,(x),b,且,则。 a,b【例1】。 lim(ax,b),limax,limb,alimx,b,ax,b0x,xx,xx,xx,x0000

nnn【例2】limx,[limx],x。 0,,xxxx00

nn,1f(x),ax,ax,??,ax,a推论1:设为一多项式,当 01n,1n

nn,1limf(x),ax,ax,??,ax,a,f(x)。 0010n,10n0x,x0

P(x)P(x)0Q(x),0,limP(x),Q(x)推论2:设均为多项式,且,则。 0x,x0Q(x)Q(x)0

22【例3】lim(x,5x,10,1,5,1,1,,3。 x,1

33xx,7,90,7,0,95lim,,,3【例4】(因为0,0,3,0)。 55x,0xx,,30,0,3

Q(x),0注:若,则不能用推论2来求极限,需采用其它手段。 0

2x,x,2lim【例5】求。 21x,2x,x,3

解:当时,分子、分母均趋于0,因为,约去公因子, (x,1)x,1x,1

2xx2x23,,,limlim,,所以 。 2x,1x,12x35,2xx3,,

13,【例6】求。 lim()3x,,1x,1x,1


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