关于旁心三角形的面积的两个结论

关于旁心三角形的面积的两个结论 张宁 宁夏回族自治区中卫市宣和镇张洪学校 755000 文[1]介绍了有关三角形的旁心三角形面积的一个结论. ,,, 设示ABC的旁心三角形的面积,R表示ABC的外接圆半径,则 0 2,33R ? ? 0 ,文[2]给出了的下界估计. 0 ,,,定理1 设表示ABC的旁心三角形的面积,r表示ABC的内切圆半径,则 0 2,123r? ? 0 ,本文将给出的最佳形式及不等式?的一个加强. 0 ,,,定理2 设表示ABC的旁心三角形的面积,R、r分别表示ABC的外接0 ,,圆和内切圆半径, 表示ABC的面积～则 2R ? ,,,0r ,63Rr? ? 0 ,,rrrABC的三边长分别为a、b、c～旁切圆半径分别为、、～ABC证 设abc 的半周长为s～则 111. ,,ar，br，cr，,0abc222 由常见公式 ,,,r,r,r,,,,,a，b，c,2sabcs,as,bs,c 222(s,a)(s,b)(s,c),srab，bc，ca,s，4Rr，r,,,得 abc,4Rrs 1abc ,,(，，),，,02s,as,bs,c a(s,b)(s,c)，b(s,c)(s,a)，c(s,a)(s,b),,，, 2(s,a)(s,b)(s,c) 2s(a，b，c),2s(ab，bc，ca)，3abc,,，, 2(s,a)(s,b)(s,c) 222s2s2s(s4Rrr)12Rrs,,，，，,,，, 22sr 2R. ,,r 2R2R33r63Rr由文[3]知,?,从而?. s,,,,,sr0rr 由不等式R?2r易知, ?强于?. Euler 参考文献 [1]张昌茂.一个旁心三角形面积不等式的修正.中学数学教学参考,2004,1 [2]张赟.旁心三角形面积不等式的下界估计.中学数学教学,2005,1 [3]匡继昌.常用不等式.长沙:湖南教育出版社,1993,3