对导数解决函数恒成立问题与存在性问题的探究

对导数解决函数恒成立问与存在性问题的探究 关于用导数解决函数恒成立问题与存在性问题的探究 山东省平度市第九中学 王新民 导数，作为解决与函数有关问题的强有力工具，越来越受到高考命题专家的重视。其中， 利用导数解决函数恒成立问题或存在性问题中参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。解决这类问题的关键是运用等价转化的数学思想，下面笔者根据教学经验，通过自编的 一个题目介绍一下此类问题的解法，期望对考生有所帮助。 fxaxx()ln,，()a,R例:已知函数. 2，，,,xee,fx()0,? 若对，函数恒成立，求实数的取值范围。 a，， 2，，，,xee,fx()0,? 若，使得函数成立，求实数的取值范围。 a，， 2，，，,xee,fx()0,? 若，使得函数成立，求实数的取值范围。 a，， 2fxgx()(),,,x1,2? 设，若对，恒成立，求实数的取值范围。 gxxx()1ln,，，a,, 2fxgx()(),，,x1,2? 设，若，使得成立，求实数的取值范围。 gxxx()1ln,，，a,, 22，，,,xee,,,x0,1? 设，当时，若，，使得，a,0gxxx()24,,，fxgx()(),,,1212，， 求实数的取值范围。 a 22，，,,xee,，,x0,1? 设，当时，若，，使得，a,0gxxx()24,,，fxgx()(),,,1212，， 求实数的取值范围。 a 22，，，,xee,,,x0,1? 设，当时，若，，使得，a,0gxxx()24,,，fxgx()(),,,1212，， 求实数的取值范围。 a ,lnx22，，，，xee,,xee,,fxaxx()ln0,，,解:?由题意知，恒成立，即，恒成a,，，，，x ,lnx1ln,x22，，，，xee,,,xee,,立。设，即，。而，，aFx,()Fx(),Fx()0,,,max2，，，，xx 2222，，ee,Fx()故在区间上为增函数，所以，所以。 a,,FxFe()(),,,max2，，2ee ,lnx22，，，，，,xee,xee,,Fx()?由题意知，使成立，即，。因为在aFx,()a,min，，，，x 112，，ee,区间上为增函数，所以，所以。 a,,FxFe()(),,,min，，ee ,lnx2，，，,xee,yFx,()ya,?由题意知，使成立，即与的图像有交点，故的a,a，，x 1212，，，，Fx()a,,,,Fx(),,,,取值范围即函数的值域。由??知，故。 22,,,,eeee，，，， 1fxgx()()0,,?由题意知，恒成立，即，恒成立，设,,x1,2x,1,2ax,，,,,,x 2x,11,Gx()，即，。而，，故在x,1,2Gx()0,,x,1,2aGx,()Gxx(),，,,,,min2xx 区间上为增函数，所以，所以。 1,2a,2GxG()(1)2,,,,min 1Gx()?由题意知，,x1,2，使成立，即，x,1,2。因为在区间aGx,()ax,，,,,,maxx 55上为增函数，所以，所以。 1,2GxG()(2),,a,,,max22 ax，111,?由题意知，且，而，故函fxa()0,，,,fxgx()(),gx()3,11max2min2minxx11 1222，，ee,数在区间上为增函数，所以，所以。 fxfeae()()2,,，fx()0,,a11max2，，e 2，，ee,?由题意知，且，因为函数在区间上为增函fxgx()(),gx()4,fx()1max2max2max1，， 222数，所以，所以。 fxfeae()()2,,，0,,a1max2e 2，，ee,?由题意知，且，因为函数在区间上为增函fxgx()(),fx()gx()3,1min2min2min1，， 2数，所以，所以。 fxfeae()()1,,，0,,a1mine 总结:一个变量一个函数的恒成立与存在性问题中的不等式问题，既可以选择分离参数，也可以选择直接求最值，关键是注意求函数的最大值还是最小值，存在性问题中的等式问题一般转化成函数值域问题;一个变量两个函数的恒成立与存在性问题，一般选择将一个函数先移项，之后既可以选择分离参数，也可以选择直接求最值，建议优先考虑分离参数;两个变量两个函数的恒成立与存在性问题，既可以选择分离参数，也可以选择直接求最值，因为是涉及两个变量的任意性与存在性，所以分离参数后最值的选择会困难些，因此建议优先考虑直接求函数最值。