8、一元二次方程的定义和解法

8、一元二次方程的定义和解法 辅 导 讲 义 教师 陈勇 科目 数学 上课日期 2014.8. 12 总共学时 学生 吴美雪 年级 8升9 上课时间 10:00-12:00 第几学时 类别 基础 提高 培优 一元二次方程 知识要点 知识点一:一元二次方程概念 1、一元二次方程的概念: 通过化简后，只含有 个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程( 2、一元二次方程的一般形式: 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ， 这种形式叫做一元二次方程的一般形式(其中 是二次项， 是二次项系数; 是一次项， 是一次项系数; 是常数项( 知识点二:一元二次方程根(解)的情况 223、在一般式的情况下ax+bx+c=0(a?0)，一元二次方程根的判别式为?=b—4ac (1)?,0时，方程有 的实数根。 (2)?=0时，方程有 的实数根。 (3)?,0时，方程 实数根。 知识点三:韦达定理(※) 2 *在一元二次方程一般式的情况下a+bx+c=0x(a?0)， X+X= ，XX= 。 1212 知识点四:一元二次方程的解法(1) (1)直接开平方法 (2)配方法 (3)公式法 (4)分解因式法 (5)十字相乘法 第 1 页 共 1 页 典型例题 类型一:一元二次方程基本概念 1222例1、下列方程?x+1=0;?2y(3y-5)=6y+4;?ax+bx+c=0 ;?， ,5x,3,0x 其中是一元二次方程的有 。 2y12222变式:方程:? ? ? ?,0 2x,,17x，1,02x,5xy，y,03x2中一元二次程的是 。 2例2、一元二次方程化为一般形式为: ， (1，3x)(x,3),2x，1 二次项系数为: ，一次项系数为: ，常数项为: 。 2变式1:一元二次方程3(x—2),5x,1的一般形式是 ， 二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 变式2:有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为,1，一次项的系数为3， 常数项为,6，请你写出它的一般形式______________。 m-7例3、在关于x的方程(m-5)x+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程; 当m=_____时，它是一元一次方程。 2变式1:已知关于x的方程(m+1)x,mx+1=0，它是 ( ) A(一元二次方程 B(一元一次方程 C(一元一次方程或一元二次方程 D(以上答案都不对 2m,7变式2:当m 时，关于x的方程是一元二次方程 (m,3)x,x,5 : 类型二:一元二次方程根的情况(判定) 根的判别式?= ， ?,0时，方程有 ?=0时，方程有 ?,0时，方程 注意:一元二次方程有解(有实数根)，那么? 第 2 页 共 2 页 例1、不解方程，判定方程根的情况 222(1)16x+8x=-3 (2)9x+6x+1=0 (3)2x-9x+8=0 22(4)x-7x-18=0 (5) (6)X—6=0 ，，，，2x，3x,1,1 2例2、若方程有两个相等的实数根，则= ;若该方程有解， x,3x，m,0m 则的取值范围为 。 m 2变式1:关于x的一元二次方程,kx2x+1=0有实数根，则k的取值范围是 2变式2:若关于x的一元二次方程,xmx+m=0有两个相等的实数根，则m等于( ) A(4 B(,4 C(0或4 D(0或,4 2abc，，,0变式3:定义:如果一元二次方程满足，那么我们 axbxca，，,,0(0) 2称这个方程为“凤凰”方程. 已知 是“凤凰”方程，且有两个 axbxca，，,,0(0) 相等的实数根，则下列结论正确的是( ) ab,bc,abc,,A( B( C( D( ac, 2例3、若关于x的一元二次方程(a-2)x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集。 (用含a的式子示) 2例4、如果关于x的一元二次方程2x(ax,4),x+6=0没有实数根，那么a的最小整数 值是 。 122xmxm,,，,(3)0变式:已知关于x的方程 有两个不相等的实根，则m的最大整数 4 是___________。 第 3 页 共 3 页 类型三:韦达定理(※) 例1、已知方程的两根是x1、x，不解方程，求下列各式的值。 2 1111(1)— (2)(+)(+) xx12xxxx1122 2变式(重庆)已知一元二次方程的两根为、，则 。 2x,3x,1,0xxx，x,1212 2例2、(2007广州)关于x的方程的两根同为负数，则( ) xpxq，，,0 A(且 B(且 C(且 D(且 q>0q<0q>0q<0p>0p>0p<0p<0 2x,3x，m,0例3、已知方程有两个不相等的实数根，且x=2，则另一解为 。 类型四:解的情况及直接开平方法 2直接开平方法解适用于形如:(x+m)= n(n?0)的一元二次方程; 2例如: (x+2)=25 两边开平方得: x+2=?5 ? x= 3 x= -7 12 2例1、已知关于x的一元二次方程+kx+k=0x的一个根是–2，那么k=_ __。 12变式1:若是关于x的方程kx,x,2=0的一个根，则k=________( x,,2 2变式2:已知方程5+m=0x的一根是2，求方程的另一根及m的值。 第 4 页 共 4 页 例2、用直接开平方法解方程 222 (x—1)=289 X—8=0 (2x,1),9 12 2 22 2(x,3),18 (x+3)=2 (x,2),(2x，3) 2 类型五:综合题型 已知,、,、;分别是?ABC的三边，其中,,1，;,4，且关于x的方程 例1、 2x,4x，b,0有两个相等的实数根，试判断?ABC的形状。 22变式:若a)b)c是ΔABC的三边,且关于x的方程 c(x，2)，b(x,2),22ax,0 有两个相等的实数根,求证:ΔABC是RtΔ. 第 5 页 共 5 页 课堂练习 1、一元二次方程(x+2)(2x—1)=2，化成一般式为 ，二次项系数为 ， 一次项系数为 ，常数项为 ，该方程根的情况为 。 m2、(B班)若关于x的方程是一元二次方程，则m= 。 mxxm,，,,2220，， m (A班)若关于x的方程是一元二次方程，求不等式: mxxm,，,,2220，， 的解集。 mxm，,,11，， 3、请你给出一个c值, c= ，使方程x2-3x+c=0无解。 4、判断下列方程跟的情况 22 2X—3X—4=0 X+8=0 (X—2)(X+3)=0 25、若关于x的方程x+4x,2m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_______( 6、用直接开平方法解一元二次方程 2222 X=169 (X—2)—1=0 2(X+1)=36 5(X=2)—4=0 27、如果方程x+px+q=0的两根分别为x=3，x=1，•那么这个一元二次方程是( )( 122222(A)x+3x+4=0 (B)x-4x+3=0 (C)x+4x-3=0 (D)x+3x-4=0 225,xxc,，,40、(2007安徽芜湖)已知是一元8二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ( 2ab,axbx，,,4009、(2007湖南株州)已知x,1是一元二次方程的一个解，且，求22ab,的值. 22ab, 第 6 页 共 6 页