二 次 函 数 姓名： 年龄： 我们学过如何在直角座标上画直线像y = 2x

二 次 函 数 姓名： 年龄： 我们学过如何在直角座标上画直线像y = 2x 二 次 函 數 姓名: 年齡: 唐宗浩、朱佳仁編著 1 我們學過如何在直角座標上畫直線。像y = 2x + 3就是一條直線。 在y = 2x + 3這樣的關係式中,若把y看成依變數,x看成自變數,它們的關係,就稱為一次函數,也叫直線函數。 y = f(x) = ax + b, a ? 0 這樣的函數都是【 】 次函數,因為它是x的【 】次多項式。 如果要研究複雜一點的函數,最直接的想法,就是把多項式的次數加【 】,從一次延伸到二次。 2像是y = f(x) = 2x + 4x + 1 一般的二次函數如下: 2y = f(x) = ax + bx + c, a ? 0 二次函數可以說是一次函數之上,最簡單的一類函數。它的應用範圍比一次函數廣泛。從變速運動到極值問題都會用到。 二次函數的圖形不是直線,而是拋物線,以下是兩個例子: 要掌握二次函數,需要瞭解基本的函數作圖,還有一元二次方程式。特別是一元二次方程式中的配方法。請先確定你的先備知識充份,再往下進展。 唐宗浩、朱佳仁編著 2 2先試試看作f(x) = x的圖吧,這是最簡單的。 2練習:描點,作f(x) = x的圖 〈這樣想想看〉 由於它不是直線,不能只描兩個點。我們要多描幾個點。 製表: x 0 1 2 3 1/2 1/3 【 】 y 0 1 【 】 【 】 【 】 【 】 【 】 如果自變數是負數,由於負負得正,所以是對稱的: x 0 -1 -2 -3 -1/2 -1/3 【 】 y 0 1 【 】 【 】 【 】 【 】 【 】 點有了,再連線即可。請注意連線的時候不要用尺畫直線,而是用手畫出平滑的曲線: 下頁有電腦畫的結果,可以對照。 唐宗浩、朱佳仁編著 3 這是基本的拋物線。 2練習:請畫出f(x) = -2x的圖形。 唐宗浩、朱佳仁編著 4 222會畫f(x) = x和f(x) = -2x,表示你會畫所有f(x) = ax的圖了。 接下來,問題就是:如果一次項或常數項有數字,怎麼辦, 222練習:在同一個座標平面上,畫出f(x) = x、g(x) = x+1 和 h(x) = x-1的圖形。 〈這樣想想看〉 一次畫好幾個函數時,可以只用一張表解決,比較有效率。 製表,請補完空格: x 0 1 2 3 1/2 1/3 f(x) 4 1/4 g(x) 1 5 10 h(x) 0 -8/9 描點、作圖: 你發現這中間的秩序了嗎, 函數的常數項每增加一單位,就表示每個點都向【 】搬移【 】單位。 所以整個函數圖形也就向【 】搬移【 】單位。 唐宗浩、朱佳仁編著 5 基本功操練時間1 畫出下列函數的圖形: 21. f(x) = x 22. y = x + 2 23. y = -2x + 2 24. y = x - 2 25. y = 0.5x -1 唐宗浩、朱佳仁編著 6 我們知道了如何作縱向平移,接下來,問題就是:如何作水平平移, 這件事和一次項的係數有關係。 練習: 222在同一個座標平面上,畫出f(x) = x、g(x) = (x-1) 和 h(x) = (x-2)的圖形。 〈這樣想想看〉 製表,請補完空格: x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 0 1 g(x) 4 4 9 0 描點、作圖: 你發現這中間的秩序了嗎, 如果函數中的x被換成x-h,就表示每個點都向【 】搬移【 】單位。 所以整個函數圖形也就向【 】搬移【 】單位 唐宗浩、朱佳仁編著 7 基本功操練時間2 畫出下列函數的圖形: 21. f(x) = (x-1) 22. y = (x-1) + 2 23. y = (x-2) - 1 24. f(x) = x + 2x + 3:提示:先用配方法: 25. y = 2x - 6x +1 唐宗浩、朱佳仁編著 8 只要使用配方法,我們可以把任何二次函數配成 2f(x) = a(x-h) + k 的形式。 當我們知道如何平移,就可以知道一般的二次函數 2f(x) = a(x-h) + k 的圖形長什麼樣子了。 2它就是f(x) = x函數圖形,先向右平移【 】單位,再向上平移【 】單位。 所以,它的頂點,就會從原本的(0, 0),搬移到【 】。 知道頂點,對稱軸當然就有了。對稱軸是一條直線,用一條方程式代表。 2f(x) = x 的對稱軸,就是y軸,寫成方程式就是x =【 】 2f(x) = (x-h) + k 的對稱軸,就是x =【 】 至於開口,它是由a決定的。 練習: 222在同一個座標平面上,畫出f(x) = x、g(x) = 2x 和 h(x) = -2x的圖形。 製表,請補完空格: x -2 -1 0 1 2 3 f(x) 0 1 9 g(x) 2 8 -8 -8 請利用講義左側空白部份,作圖觀察。 你發現這中間的秩序了嗎, 二次項係數a若是正的,表示開口向【 】;a若是負的,就表示開口向【 】。 a的絕對值愈【 】,開口愈大;a的絕對值愈【 】,開口愈小。 唐宗浩、朱佳仁編著 9 現在我們花點時間看看為什麼之前學一元二次方程式時,解要叫做「根」。 2長得像ax + bx + c = 0的一元二次方程式 2和長得像f(x) = ax + bx + c的二次函數 是一一對應的。 2考慮f(x) = ax + bx + c 和x軸的交點,它在圖形中,像是地上落到地底的「根」 2它的x座標滿足ax + bx + c = 0,並且叫做這個二次函數的「根」。 2而交點的x座標其實就是ax + bx + c = 0的解。 所以有時「解」和「根」會交互使用。 這也是為什麼兩解相同時,叫做「重根」。 唐宗浩、朱佳仁編著 10 以下是兩個例圖,說明頂點、對稱軸、根的幾何意義: 從圖形來看,頂點的y座標,就是函數的最大值或【 】值。 從圖形來看,因為對稱軸是x = h,所以兩根的平均 = 【 】。 唐宗浩、朱佳仁編著 11 基本功操練時間3 21. 寫出f(x) = 2(x+2) - 8 的對稱軸、頂點、根 22. 寫出f(x) = -3(x-3) + 2 的對稱軸、頂點、根 23. 寫出f(x) = -x + 2x + 2 的對稱軸、頂點、根 已知頂點的y座標,就是函數的最大值或最小值,請問: 24. f(x) = 2(x+2) – 8 有最大值還是最小值, 是多少, 25. f(x) = -3(x-3) + 2 有最大值還是最小值, 是多少, 26. f(x) = -x + 2x + 2 有最大值還是最小值, 是多少, 227. 將ax + bx + c配方,成為a(x-h) + k的形式 把h、k寫成a, b, c的函數 8. 承上題,請 已知兩根平均 = h,請問: 29. ax + 2x + c 的兩根是0、6,請問a = ? c = ? 210. x + 3x + c 的其中一個根是-2,請問另一個根是多少, c = ? 偶數題沒有現成答案。請把你的答案代回原式來驗算。 奇數題有現成答案,但7.9.其中一個是錯的,請圈出來。 1. 對稱軸x = -2、頂點(-2,-4)、根-4, 0 3. 對稱軸x = 1、頂點(1, 3)、根1+?3, 1-?3 225. h = -b / 2a, k = 4ac - b / 4a 7. 另一個根 = -1, c = 2 9. 最大值 3 唐宗浩、朱佳仁編著 12 生活中,我們常想找「最省時的路程」、「最便宜的交通工具」; 設計工程的人,要找「最省材料又夠堅固」的工法; 農耕隊救助貧窮國家時,要找「合適當地氣候,單位面積產量最高」的作物來推廣。 在給定的條件下,希望找到最佳的策略,就是所謂的最佳化問題。這 1種問題會算出一個極大或極小值,所以也叫做極值問題。 舉例來說: 用一條長度8的繩子,圍一個長方形,怎麼圍面積最大, 〈這樣想想看〉 繩子的長度是固定數8。 長方形的兩邊長,一邊設成x,另一邊就是【 】。 我們要算面積的最大值,也就是x(4 – x) 的最大值 展開得 2-x + 4x 配方:沒有等號,只能減多少就加回多少: 2-x + 4x – 4 + 4 2-(x–2) + 4 2其中-(x–2)永遠不會大於【 】。 2-(x–2)最大也就是0,它會發生在x =【 】的時候。 所以在x = 2,也就是正方形的情況下, 面積有最大值【 】。 配出完全平方,就可以找出x要多少才會有最大或最小值,同時找出最大或最小值是多少。 1 極大值是局部的,最大值是廣域的。一元二次問題中,兩者沒有分別,極大值就是最大值。 唐宗浩、朱佳仁編著 13 綜合練習 1. 如果固定長度的繩子,靠著一面牆,圍成一個ㄇ字形。 請問要怎麼圍,面積最大,,作圖並回答, 2. 開心麵店的大滷麵,每碗成本約10元。當每碗賣40元時,每天約可賣出200 碗大滷麵。老闆想改變定價。他估計, 價錢提高1元,每天賣出的量會少5碗。降低1元就可多賣5碗。 在這種估計下,請問他的大滷麵每碗賣多少錢,對他最有利,,作圖並回答, 3. 修正的馬爾薩斯人口模型是 「人口成長率」正比於「總人口 × (土地能承受的最大人口 - 總人口)」 若新天堂樂園能承受的最大人口是500萬,請問總人口多少時,人口成長最快,唐宗浩、朱佳仁編著 14 ,作圖並回答, 唐宗浩、朱佳仁編著 15 除錯練習時間 以下是新版改進用的問題回報,您提出的問題在新版將會改進。 請將找到的問題填入空格: 第【 】頁有錯字或筆誤:【 】 第【 】頁有錯字或筆誤:【 】 第【 】頁讓我整個卡住了。 我覺得第【 】頁令人生厭。 第【 】頁觀念有誤,因為【 】 來延伸挑戰吧, 我想到【 】頁的觀念可以用其他的角度來介紹: 【 】 ???????????????????????????????? 感謝您的回饋。您希望收到改良後的新版嗎,【 】 您預期多久會收到新版,【 】 請留下您的 大名【 】 性別【 】 年齡【 】 您的e-mail:【 】 唐宗浩、朱佳仁編著 16