欧拉函数和欧拉公式

欧拉函数和欧拉 欧拉函数 本文介绍的是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。关于形式为 的函数 当n为1至1000的整数时的值 在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为φ函数、欧拉商数等。 例如，因为1,3,5,7均和8互质。 欧拉函数实际上是模n的同余类所构成的乘法群(即环的所有单位元组成的乘法群)的阶。这个性质与拉格朗日定理一起构成了欧拉定理的证明。 欧拉函数的值 (小于等于1的正整数中唯一和1互质的数就是1本身)。 若n是质数p的k次幂，，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。 欧拉函数是积性函数，即是说若m,n互质，。证明:设A, B, C是跟m, n, mn互质的数的集，据中国剩余定理，和可建立双射(一一对应)的关系。因此的值使用算术基本定理便知， 若 则 。 其中是使得整除的最大整数(这里)。 例如 性质 n的欧拉函数 也是循环群 C 的生成元的个数(也是n阶分圆多项式的次n 数)。C 中每个元素都能生成 C 的一个子群，即必然是某个子群的生成元。而nn 且按照定义，不同的子群不可能有相同的生成元。此外， C 的所有子群都具有 n C 的形式，其中d整除n(记作d | n)。因此只要考察n的所有因数d，将 C dd的生成元个数相加，就将得到 C 的元素总个数:n。也就是说: n 其中的d为n的正约数。 运用默比乌斯反转公式来“翻转”这个和，就可以得到另一个关于的公式: 其中 μ 是所谓的默比乌斯函数，定义在正整数上。 对任何两个互质的正整数a, m(即 gcd(a,m) = 1)，，有 即欧拉定理。 这个定理可以由群论中的拉格朗日定理得出，因为任意与互质的都属于环 ma 的单位元组成的乘法群 当m是质数p时，此式则为: 即费马小定理。 生成函数 以下两个由欧拉函数生成的级数都是来自于上节所给出的性质:。 由(n)生成的狄利克雷级数是: 其中ζ(s)是黎曼ζ函数。推导过程如下: 使用开始时的等式，就得到: 于是 欧拉函数生成的朗贝级数如下: 其对于满足 |q|<1 的q收敛。 推导如下: 后者等价于: 欧拉函数的走势 随着n变大，估计 的值是一件很难的事。当n为质数时，，但有时又与n差得很远。 在n足够大时，有估计: 对每个 ε > 0，都有n > N(ε)使得 如果考虑比值: 由以上已经提到的公式，可以得到其值等于类似的项的乘积。因此，使比值小的n将是两两不同的质数的乘积。由素数定理可以知道，常数 ε 可以被替换为: 就平均值的意义上来说是与n很相近的，因为: 其中的O示大O符号。这个等式也可以说明在集合 {1, 2, ..., n} 中随机选 取两个数，则当趋于无穷大时，它们互质的概率趋于 。一个相关的结果n 是比值的平均值: 其他与欧拉函数有关的等式 1. 2. 使得 3. 使得 4. 5. 6. 7. 8. 9. 与欧拉函数有关的不等式 1. ，其中n > 2，γ 为欧拉-马歇罗尼常 数。 2. ，其中n > 0。 3. 对整数n > 6，。 4. 当n为质数时，显然有。对于合数的n，则有: 欧拉公式 欧拉公式(英语:Euler's formula，又称尤拉公式)是在复分析领域的公式，将三角函数与复数指数函数相关联，因其提出者莱昂哈德?欧拉而得名。欧拉公式提出，对任意实数 ，都存在 其中 是自然对数的底数， 是虚数单位，而 和 则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 则以弧度为单位。这一复数指数函数有时还写作 (英语:cosine plus i sine，余弦加 i 正弦)。由于该公式在 为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为欧拉公式。 形式 , 在复分析领域的欧拉公式为 对于任意实数，存在: 当时，欧拉公式的特殊形式为。(参见欧拉恒等式) , 在几何学和代数拓扑学方面，欧拉公式的形式为 对于一个拥有个面、个顶角和条棱(边)的单连通多面体，必存在 (参见欧拉示性数) cis函数 主条目:Cis函数 在复分析领域，欧拉公式亦可以以函数的形式表示 并且一般定义域为，值域为(复平面上的所有单位向量)。 当一复数的模为1，其反函数就是辐角(arg函数)。 当值为复数时，cis函数仍然是有效的，所以有些人可利用cis函数将欧拉公[1]式推广到更复杂的版本。 证明 方法一:泰勒级数 把函数、和写成泰勒级数形式: 将代入可得: 方法二:求导法 定义函数 由于 可知不可能为0，因此以上定义成立。 之导数为: 因此必是常数函数。 重新整理，即可得到: 方法三:微积分 找出一个函数，使得及 如果使用积分法，iy的原函数是以上两个函数。 x=1时，原函数的值相等，所以以上两个函数相等。 在复分析的应用 这公式可以说明当为实数时，函数可在复数平面描述一单位圆。且为此平面上一条连至原点的线与正实轴的交角。 先前一个在复平面的复点只能用笛卡尔坐标系描述，欧拉公式在此提供复点至极坐标的变换 任何复数皆可记为 在此 为实部 为虚部 为z的模 ,其中