例1、一帆船从A地到B地，若每小时加快6海里，可以提前3小时到达；若每 ...

例1、一帆船从A地到B地，若每小时加快6海里，可以提前3小时到达；若每 ... 浙江省衢州市教育局教研室 胡兴余 （324002） 行程问题是初中教学中常见的一类，传统的教学中往往要求学生死记行程问 题各种类型的基本解法，这严重妨碍了学生思维的发展。事实上，某些较为复杂的行程问题， 如有些数学竞赛题,往往数量关系不明，难以建立等量关系。此时如按常规列方程求解， 往往限于困境之中，难以凑效。如果我们通过建立一次函数模型，则可将隐藏于文字中的数 量关系，利用函数图象直观地显现出来，不用煞费苦心地去寻找等量关系，为解决复杂的行 程问题提供了一条有效的思考方法和解题途径，同时有利于促进学生思维发展，培养学生综 合运用知识问题和解决问题的能力。请看下面例子： 例1、一帆船从A地到B地，若每小时加快6海里，可以提前3小时到达；若每小时减慢3海里，则要迟到2小时40分到达。求原规定帆船航行所需的时间和帆船的速度。 解：设帆船航行时间为t，帆船航行的速度为v, 帆船离开A地的距离为y,则帆船航行的函数关系式 为y yvt, ，由题意，画出函数图象，如图1 设原规定帆船航行所需的时间为小时， t0 2 帆船的速度海里/小时，则 vy1 0yy3 当时， ? vv,，6yvt,，,63，，，，0100o t t-3 0t0 t+2.4 0当 时 ， ? vv,yvt,020 当时， ? 图1 vv,,3yvt,,，32.4，，，，0300 ? 由? 、?、?求得，， yyy,,t,12v,1812300 y 答：原规定帆船航行所需的时间为12小时，帆船的速度18海 25 里/小时。 B 例2、甲、乙两人分别从相距25千米的A、B两地 y1 同时相向而行，甲步行每小时5千米，乙骑自行车每小 D 时15千米，乙到达A地后立即原路返回，当乙追到甲 y5 时，离开A地的距离是多少？ 2 y3 O C 2 解:设他们所行的时间为x小时，与A地的 o t A 距离为y千米。由题意，可画出y与x的函数关 系式的图象，如图2。 图2 甲从B地到A地的时间为2555,,,小时，则有甲的函数图象经过（0，25），的直线BC,0,,1533,, 的解析式，故有直线CD的解析式为，而乙的直线AD解析yx,,，1525yx,,152512 5x,15255xx,,，，当乙追到甲时，则， ? ?y=12.5 yx,5yy,2332式为 答：当乙追到甲时，离开A地的距离是12.5千米 例3、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这 三辆车分别用6分;10分、12分追上骑车人。现知道快车每时走24千米，中车每时走20千米， 那么慢车每时走多少千米？ 分析：考虑到快、中、慢三辆车出发时与骑车人的距离相同 y 1 记为S,若设慢车速度为V， 0 3m2 由题意，可画出快、中、慢三辆车及骑车人的行程与时间的函数m关系式图象分别是m 、m、 m、m，如图3。 则可设，m12 34 3 快车的函数关系式为y=24t，中车的函数关系式为 y=20t， P P 1212m4 慢车的函数关系式为 y=Vt，骑车人的函数关系式为y=Vt+S，33440 故当t=6时， y =144 ?P （6，144） t 11o 当t=10时，y =200 ?P （10，200） 22 求得经过点P、P的直线解析式y=14t+60， 图3124 所以，当t=12时，y= y ，即12 V=14×12+60 343 ? V=19，即慢车每时走19千米 3 例4、一巡逻艇和一货轮同时从A港口出发前往相距100 km的B港口，巡逻艇和货轮的速 度分别为100km/h和20 km/h，巡逻艇不停的往返于A,B两港口巡逻（巡逻调头的时间忽略不 计），(1)货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？（2)出发多少时间，巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口多少千米？” 分析：（1）由题意可画出巡逻艇（实线），货轮（虚线） 行驶路程与时间关系图像，如图4所示，它们图像有四 个交点（不包括原点），因而货轮从A港口出发以后直 到B港口与巡逻艇一共相遇4次。 （2）先观察出第三次相遇在图中是哪两条直线的交点。如图4， 设DE所在直线方程y=kx+b，又D（3，100），E（4，0） 代入求得k=－100，b=400，故有y=－100x+400， 又OF所在直线方程为y=20x，联立得10,y,,，100400,x, 解得 图4 ,,,3yx,20,,200,y,,3, 10200?出发时巡逻艇与货轮第三次相遇，这时离港口 km33 例5、游泳者顺大河逆流而上在A桥处将水壶遗失，在继续前游20分钟后，才发现水壶遗失，于是立即返回寻找水壶，在B桥处追到水壶。若A、B二桥相距2千米，问大河水速多少？ 分析：由题意，画出行程与时间的关系图象，如图5 设大河水速为a千米/时，游泳者在静水中的 速度是x千米/时， y 另设水壶顺水的函数关系式， yatb,，B 11 y1 游泳者顺水的函数关系式， yxatb,，，，，22 y2 A y3 游泳者逆水的函数关系式 yxatb,,,，，，31 o 2/a t 1/3 图5 111当时，，即…? yy,t,xabxab，，,,,，，，，，2321333 2xa，，，2当时，，即……? ， yy,2，,，bbt,1212aa 由?、?得，a,3，即大河水速为3千米/时。 例6、一条街上，一个骑自行车的人和一个步行的人同向而行。骑车人的速度是步行人 的3倍，每隔10分钟有一辆公共汽车超过步行的人，每隔20分钟有一辆公共汽车超过骑自行车的人。如果公共汽车从始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么每隔几分钟发一辆公 共汽车？ 分析：考虑到公共汽车从始发站每次每次间 隔同样的时间发一辆车，可知相邻两辆公共汽车 的间隔距离是相同的。 y 设步行的速度为3 yy，骑自行车人的速度为， vv1 122 公共汽车的速度为，由题意，画出函数图象，如图6vy3 t 则可设，步行人的函数关系式为 yvt,11o 骑车人的函数关系式为 图6 yvtvt,,3221 公共汽车的函数关系式为， yvtb,，33 当公共汽车追上步行人时，则yv,10, ，此时 ? ? yy,100vvb,，,11，，1331,yvb,，1033, 当公共汽车追上骑车人时，则yv,，203, ，此时 ? ? yy,2030vvb,，,，，212331,yvb,，20,33 由?、?得， vv,531 这表明公共汽车的速度是步行的速度的5倍，可见行人走10分钟的路程，公共汽车2分钟走完。 ? 10－2=8，即车站每隔8分钟发一辆公共汽车。 例7、A、B两公共汽车站相向发车，某人在一条大街上匀速行走，发现每隔12分钟从背后追来一辆汽车，每隔4分钟从迎面开来一辆汽车。如果发车间隔时间相同假定车速不变， 求A、B两站发车间隔时间。 y 分析：设步行人的速度为，汽车的速度为， vv12 由题意，画出函数图象，如图7 y2 另设步行人的函数关系式 yvt,11y1 3 y从背追来的汽车的函数关系式， yvtb,，22o t 则迎面开来的汽车的函数关系式为， yvtb,,,32 yv,12, 图7 11,yvb,，1222,当汽车从背后追上步行人时，则 ? …… ? 120vvb,，,，，21 yv,4,当汽车从迎面开来相遇时，则11 ? ……? 40vvb，，,，，12,yvb,,,432, 由?、?得 ， 这表明公共汽车的速度是步行人速度的2倍。可见，步行人走12vv,221 分钟的路程，公共汽车6分钟走完。 ?12－6=6 ，即A、B两站发车间隔时间为6分钟。 例8.甲港和乙港之间新开辟一条航线,每天正午分别从两港相对开出一艘船，若所有船 的航速相同，且从甲港到乙港要航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第1天）从甲港开出一的那只船在航线上遇到乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有几只？ 分析：以时间t（天）为自变量,以.甲港和乙港之间的距离s为因变量,显然,从甲港和乙港出发的各船的s均是t的一次函数.在同一直角坐标系内分别作出它们的图象,如图所示,由图象可知,从甲港第4天出发的船与从乙港同时出发的船,其航行的函数图象在7天后相交的共有10条线,故从甲港第4天出发的船，在航线上共碰到10艘（10个交点）乙港开来的船， s 甲港 10 2 3 4 5 8 乙港 0 1 6 7 9 11 12 t（天） 以上解题，巧妙地将行程问题转化为一次函数图象问题，思路清晰，关系明了，效果可 佳，使我们看到了数形结合的威力，看似一些复杂的实际问题，利用图象却很直观地获得了 解决。数形结合是一种极富数学特点的信息转换，它能使抽象思维和形象思维相互作用，实 现数量关系与图象性质相互转化，是一种将抽象的数量关系和直观的图象结合起来研究数学 问题的基本方法。教学中要有意识渗透数学思想方法,培养学生运用数学思想方法分析问题 和解决问题的能力. (本文发表于<<中数学>>2008年第5期)