数学：《函数的对称性与周期性》教案（新人教A版）

：《函数的对称性与周期性》（新人教A版） 1(函数对称性与周期性 知识归纳: 一(函数自身的对称性结论 结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a,x) = 2b 证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，?点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称 ‘点P(2a,x，2b,y)也在y = f (x)图像上，? 2b,y = f (2a,x) 即y + f (2a,x)=2b故f (x) + f (2a,x) = 2b，必要性得证。 (充分性)设点P(x,y)是y = f (x)图像上任一点，则y = f (x) 0000 ? f (x) + f (2a,x) =2b?f (x) + f (2a,x) =2b，即2b,y = f (2a,x) 。 0000 ‘‘ 故点P(2a,x，2b,y)也在y = f (x) 图像上，而点P与点P关于点A (a ,b)对称，充分性得00 征。 推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (,x) = 0 ab，结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b,x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称，反2之亦然。 xy,xxy证明 :已知对于任意的都有f(a+) =f(b,)= 00000 '"xxx 令a+=, b,=x 00 '"yyx 则,(，)，,(x，)是函数y=f(x)上的点 00 ab， 显然，两点是关于x= 对称的。 2 ab， 反之，若已知函数关于直线x = 对称， 2 xy,xy, 在函数y = f (x)上任取一点,()那么() P0000 ab，'xy关于x = 对称点(a+ b,,)也在函数上 P200 xxxx故f()=f(a+ b,)f(a+(-a))=f(b-(-a)) ,0000 所以有f (a +x) = f (b,x)成立。 推论1:函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a,x) 即f (x) = f (2a,x) 推论2:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (,x) 结论3. ?若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a?b)，则y = f (x)是周期函数，且2| a,b|是其一个周期。 ?若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a?b)，则y = f (x) 是周期函数，且2| a,b|是其一个周期。 ?若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a?b)， 则y = f (x)是周期函数，且4| a,b|是其一个周期。 ??的证明留给读者，以下给出?的证明: ?函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ?f (x) + f (2a,x) =2c，用2b,x代x得: f (2b,x) + f [2a,(2b,x) ] =2c………………(*) 又?函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称， ? f (2b,x) = f (x)代入(*)得: f (x) = 2c,f [2(a,b) + x]…………(**)，用2(a,b),x代x得 f [2 (a,b)+ x] = 2c,f [4(a,b) + x]代入(**)得: f (x) = f [4(a,b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a,b|是其一个周期。 二(不同函数的对称性结论 结论4. 函数y = f (x)与y = 2b,f (2a,x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。 结论5. ?函数y = f (x)与y = f (2a,x)的图像关于直线x = a成轴对称。 ?函数y = f (x)与a,x = f (a,y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。 ?函数y = f (x)与x,a = f (y + a)的图像关于直线x,y = a成轴对称。 定理4与定理5中的??证明留给读者，现证定理5中的? 设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，则y = f (x)。记点P( x ,y)关于直线x,y = a的0000 ‘轴对称点为P(x， y)，则x= a + y, y= x,a ，?x= a + y, y= x,a 代入y = f (x)111 0 1 00 1 0100 ‘之中得x,a = f (a + y) ?点P(x， y)在函数x,a = f (y + a)的图像上。 1111 同理可证:函数x,a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x,y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的?成立。 推论:函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。 三(三角函数图像的对称性 函 数 对称中心坐标 对称轴方程 y = sin x ( kπ, 0 ) x = kπ+π/2 y = cos x ( kπ+π/2 ,0 ) x = kπ y = tan x (kπ/2 ,0 ) 无 注:上表中k?Z 举例 例1:定义在R上的非常数函数满足:f (10+x)为偶函数，且f (5,x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数 解:?f (10+x)为偶函数，?f (10+x) = f (10,x). ?f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ?x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 故选(A) -1例2:设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x,1)和g(x,2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。 (A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。 -1解:?y = f(x,1)和y = g(x,2)函数的图像关于直线y = x对称， -1-1?y = g(x,2) 反函数是y = f(x,1)，而y = g(x,2)的反函数是:y = 2 + g(x), ?f(x,1) = 2 + g(x), ?有f(5,1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选(C) 1例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1,x),当,1?x?0时，f (x) = ,x，则f (8.6 ) 2= _________ 解:?f(x)是定义在R上的偶函数?x = 0是y = f(x)对称轴; 又?f(1+x)= f(1,x) ?x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，?f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (,0.6 ) = 0.3 ,5例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( ) 2 ,,,,5(A) x = , (B) x = , (C) x = (D) x = 2484 ,,,55,解:函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k+ 222 k,,,?x = ,,显然取k = 1时的对称轴方程是x = , 故选(A) 22 例5(求证:若为奇函数，则方程=0若有根一定为奇数个。 fxxR,fx，，，，，， ？证: 为奇函数 -= fxf0,f,0f0，，，，，，，， x？2=0 即=0是方程=0的根 f0fx，，，， x若是=0的根，即=0 由奇数定义得=0 fxfxfx,,,fx，，，，，，，，1111 x,x？？也是方程的根 即方程的根除=0外成对出现。方程根为奇数个。 1 练习: 1(设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= ,f(x),当0?x?1时，f (x) = x，则f (7.5 ) = ( ) (A) 0.5 (B) ,0.5 (C) 1.5 (D) ,1.5 解:?y = f (x)是定义在R上的奇函数，?点(0，0)是其对称中心; 又?f (x+2 )= ,f (x) = f (,x)，即f (1+ x) = f (1,x)， ?直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故 y = f (x)是周期为2的周期函数。 ?f (7.5 ) = f (8,0.5 ) = f (,0.5 ) = ,f (0.5 ) =,0.5 故选(B) 2(知函数y=f(x)对一切实数x满足f(2-x)=f(4+x)，且方程f(x)=0有5个实根，则这5个实根之和为( C ) A、5 B、10 C、15 D、18 6353(是周期为2的奇函数，当时，则 fx()fxx()lg.,01,,xafbf,,(),(),cf,(),522(A) (B) (C) (D) abc,,bac,,cba,,cab,, fx()fxx()lg.,解:已知是周期为2的奇函数，当时， 01,,x 64431151设，，<0，cff,,()()afff,,,,,()()()bfff,,,,,()()()22555222 ?，选D. cab,, ，，，，，，，，fxf1，f4，f74(定义在上的函数是奇函数又是以为周期的周期函数,则等于 R2 (B ) A.-1B.0C.1D.4 1,5(用min{a,b}表示a，b两数中的最小值。若函数f(x)=min{|x|,|x+t|}的图像关于直线x=对2 称，则t的值为( ) A(-2 B(2 C(-1 D(1 log(1,),,0xx,26(定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ， ,f(x,1),f(x,2),x,0, 则f(2010)的值为 ( B ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 f(1)log21,,,解析 由已知得,f(0)0,,fff(1)(0)(1)1,,,,,, 2 fff(2)(1)(0)1,,,,fff(3)(2)(1)1(1)0,,,,,,,,, fff(4)(3)(2)0(1)1,,,,,,fff(5)(4)(3)1,,,fff(6)(5)(4)0,,,,,, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2010)= f(6)=0,故选C. 7((定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间(0，6)内解f(2),0f(x) 的个数的最小值是 ( ) A(5 B(4 C(3 D(2 ，，，，，，，，f(2),f5,f,1,,f1,,f4,0解析:由的周期性知， f(x) 即至少有根1，2，4，5。故选择B。 8(设函数y=f(x)的定义域为R，且满足f(x+1)=f(1-x)，则y=f(x+1)的图象关于___y___对称。y=f(x)图象关于__x=1_对称。 9(设y=f(x)的定义域为R，且对任意x?R，有f(1-2x)=f(2x)，则y=f(2x)图象关于__________对称，y=f(x)关于__________对称。 10(设函数y=f(x)的定义域为R，则下列命题中，?若y=f(x)是偶函数，则y=f(x+2)图象关于y轴对称;?若y=f(x+2)是偶函数，则y=f(x)图象关于直线x=2对称;?若f(x-2)=f(2-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=2对称;?y=f(x-2)与y=f(2-x)图象关于直线x=2对称，其中正确命题序号为___??____。 1，，y,fx11(设f(x)是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ x,2 f (4)+ f (5)= _______________. 【分析】本题考查函数的周期性 ff,,,00f00,fn,0解析:得，假设 ，，，，，，，， 1fnfnfn，,,,,,10,n因为点(，0)和点()关于对称，所以 n，1,0x,，，，，，，2 fn,0n因此，对一切正整数都有: ，， fffff123450，，，，,从而:。本题填写:0 ，，，，，，，，，， 1fx，,2x12(函数对于任意实数满足条件，若则fxf15,,,，，，，，，fx，， __________。 ff5,，，，， 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 11fx，,2fxfx，,,4()解析:由得，所以，则ff(5)(1)5,,,，，，，fxfx，2，，，， 11ffff5(5)(1),,,,,,,。 ，，，，f(12)5,， 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵 1fx，,2活。本题应直观理解 “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通，，fx，， 也。 x13(设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数fxfx，1fx,1，，，，，， 在区间上至少有 个零点. yfx,0,100，，,, 答案:f(2k-1)=0，k?Z. 又可作一个函数满足问题中的条件，且的 fxfx，，，，一个零点恰为，k?Z. 所以至少有50个零点. xk,,21 1，xf(x),f(f(x))f(x)14(设f(x)=，又记f(x)=f(x),,k=1,2,……则= 1k，1k20101,x 1，f1，f1，f11，xx,1312fxfx,,,,,fxfxx,,,,,解:，，，，，，，，，，123411,,xfx111,，,fxf123 11，xx,1据此，，，因2010为4n+2型，fxfx,,,,fxfxx,,,，，，，，，，，4142nn，，434nn，1,xxx，1 故选. B 15(已知偶函数y=f(x)定义域为R，且恒满足f(x+2)=f(2-x)，若方程f(x)=0在[0,4]上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间(-8,10]中的根( 方程的根为-6,-4,-2,0,2,4,6,8,10共9个根( 16(设函数在上满足，，且在闭区间,0，fx()(,),,，,fxfx(2)(2),,，fxfx(7)(7),,，7,上，只有( ff(1)(3)0,, (?)试判断函数的奇偶性; yfx,() (?)试求方程=0在闭区间,-2005，2005,上的根的个数，并证明你的结论( fx() 【考点分析】本题考查函数的奇偶性与周期性 解析:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为, y,f(x)x,2和x,7从而知函数不是奇函数, y,f(x) f(2,x),f(2，x)f(x),f(4,x),,由 ,,f(4,x),f(14,x),,f(7,x),f(7，x)f(x),f(14,x),, ,从而知函数的周期为 ,f(x),f(x，10)y,f(x)T,10f(3),f(0),0,而f(7),0又,故函数是非奇非偶函数; y,f(x) f(2,x),f(2，x)f(x),f(4,x),,(II)由 ,,f(4,x),f(14,x),,f(7,x),f(7，x)f(x),f(14,x),, ,f(x),f(x，10) (II) 又f(3),f(0),0,f(11),f(13),f(,7),f(,9),0 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数y,f(x)在[0,2005]上有402个解,在 [-2005.0]上有400个解,所以函数y,f(x)在[-2005,2005]上有802个解. 17(定义域为R，对于任意x都有且 fxfxfx11，,,,，，，，，， 问是否是周期函数,如是则周期是多少, fxfx44，,,,fx，，，，，， 解:如图可知M(1，0)，N(4，0)是对称中心，设为的任意一点，它的关于fx，，x0 11,,,,M的对称点是则: xxx101 xxxx？,，xx6设与关于N点对称则4–=–4， 211220 由题意 fxfx,,,fxfx,,，，，，，，，，0112 x 即对于任意都有 ？,fxfxfxfx6，,,R，，，，，，，，20 是周期函数，周期为6. ？fx，， ()xR,结论:若函数的图象为对称中心在X轴上的中心对称图形，则为周期函fxfx，，，， 数，周期为两对称中心距离的2倍。