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数学:《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)

2017-09-17 10 侵权/举报
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数学:《函数的对称性与周期性》教案(新人教A版)

1(函数对称性与周期性

知识归纳:

一(函数自身的对称性结论

结论1. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2a,x) = 2b

证明:(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点,?点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称

‘点P(2a,x,2b,y)也在y = f (x)图像上,? 2b,y = f (2a,x) 即y + f (2a,x)=2b故f (x) + f (2a,x) = 2b,必要性得证。

(充分性)设点P(x,y)是y = f (x)图像上任一点,则y = f (x) 0000

? f (x) + f (2a,x) =2b?f (x) + f (2a,x) =2b,即2b,y = f (2a,x) 。 0000

‘‘ 故点P(2a,x,2b,y)也在y = f (x) 图像上,而点P与点P关于点A (a ,b)对称,充分性得00

征。

推论:函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (,x) = 0

ab,结论2. 若函数 y = f (x)满足f (a +x) = f (b,x)那么函数本身的图像关于直线x = 对称,反2之亦然。

xy,xxy证明 :已知对于任意的都有f(a+) =f(b,)= 00000

'"xxx 令a+=, b,=x 00

'"yyx 则,(,),,(x,)是函数y=f(x)上的点 00

ab,


显然,两点是关于x= 对称的。 2

ab,

反之,若已知函数关于直线x = 对称, 2

xy,xy, 在函数y = f (x)上任取一点,()那么() P0000

ab,'xy关于x = 对称点(a+ b,,)也在函数上 P200

xxxx故f()=f(a+ b,)f(a+(-a))=f(b-(-a)) ,0000

所以有f (a +x) = f (b,x)成立。

推论1:函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (a,x) 即f (x) = f

(2a,x)

推论2:函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (,x) 结论3. ?若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a?b),则y = f (x)是周期函数,且2| a,b|是其一个周期。

?若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a?b),则y = f (x)

是周期函数,且2| a,b|是其一个周期。

?若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a?b),

则y = f (x)是周期函数,且4| a,b|是其一个周期。

??的证明留给读者,以下给出?的证明:

?函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,

?f (x) + f (2a,x) =2c,用2b,x代x得:

f (2b,x) + f [2a,(2b,x) ] =2c………………(*)

又?函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,


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