24.4.2 圆锥的侧面积和全面积

达标训练 基础·巩固·达标 1．圆锥的底面积为25π，母线长为13 cm，这个圆锥的底面圆的半径为__________cm，高为_________cm，侧面积为__________cm2. 提示：圆的面积为 S=πr2，所以 r==5(cm)；圆锥的高为=12(cm)；侧面积为 ×10π·13=65π(cm2). ：5　12　65π  2.圆锥的轴截面是一个边长10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为__________cm2，锥角为_________，高为__________cm. 提示：S侧面积=×10π×10=50π(cm2)；锥角为正三角形的内角，高为正三角形的高. 答案：50π 　60° 　 3.已知Rt△ABC的两直角边AC=5  cm，BC=12  cm，则以BC为轴旋转所得的圆锥的侧面积为___________cm2，这个圆锥的侧面展开图的弧长为_________cm，面积为_________cm2. 提示：以BC为轴旋转所得圆锥的底面半径为5 cm，高为12 cm，母线长为13 cm.利用计算. 答案：65π 　10π 　65π      4.如图24-4-16，已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的全面积为__________. 图24-4-16 提示：圆锥的全面积为侧面积加底面积. 答案：16π 5.若圆锥的底面直径为6 cm，母线长为5 cm，则它的侧面积为___________.（结果保留π） 提示：已知底面直径和母线长直接代入圆锥侧面积公式即可.设圆锥底面半径为r，母线为l，则r=3 cm，l=5 cm， ∴S侧=πr·l=π×3×5=15π（cm2）. 答案：15π  6.若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（）       A.a   B.   C.a   D.a 提示：展开图的弧长是aπ，故底面半径是，这时母线长、底面半径和高构成直角三角形.答案： D 7.粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长为3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（）       A.6 m2  B.6π m2  C.12 m2  D.12π m2 提示：侧面积=底面直径·π·母线长=×4×π×3=6π(m2). 答案： B 8．在Rt△ABC中，已知AB=6，AC=8，∠A=90°.如果把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S2.那么S1∶S2等于（）         A.2∶3   B.3∶4   C.4∶9   D.5∶12 提示：根据题意分别计算出S1和S2即得答案.在求S1和S2时，应分清圆锥侧面展开图（扇形）的半径是斜边BC，弧长是以AB（或AC）为半径的圆的周长. ∵∠A=90°，AC=8，AB=6， ∴BC==10. 当以AC为轴时，AB为底面半径，S1=S侧＋S底=πAB·BC＋πAB2=π×6×10＋π×36=96π. 当以AB为轴时，AC为底面半径，S2=S侧＋S底=80π＋π×82=144π. ∴S1∶S2=96π∶144π=2∶3，故选 A . 答案： A  综合·应用·创用 9．一个圆锥的高为33　cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥母线与底面半径的比；（2）锥角的大小；（3）圆锥的全面积. 提示：圆锥的母线在侧面展开图中是扇形的半径，底面周长是展开图中扇形的弧长,锥角是轴截面的等腰三角形的顶角.知道圆锥母线和底面半径，就可由扇形面积公式求侧面积，底面积加侧面积就得圆锥全面积. 解：如图，AO为圆锥的高，经过AO的截面是等腰△ABC，则AB为圆锥母线l，BO为底面半径r. （1）因圆锥的侧面展开图是半圆，所以2πr=πl，则=2； （2）因=2，则有AB=2OB，∠BAO=30°，所以∠BAC=60°，即锥角为60°. （3）因圆锥的母线l，高h和底面半径r构成直角三角形，所以l2=h2＋r2；又l=2r，h= cm，则r=3 cm，l=6 cm. 所以S表=S侧＋S底=πrl＋πr2=3·6π＋32π=27π（cm2）. 10．已知圆锥底面直径AB=20，母线SA=30.C为母线SB的中点.今有一小虫沿圆锥侧面从A点爬到C点觅食.问它爬过的最短距离应是多少？ 提示：小虫沿圆锥侧面从A点爬到C点，其轨迹是空间的一条曲线，且在一曲面上.依题意画出圆锥的侧面展开图，如图所示.不难看出，母线SB把扇形分成相等的两部分.从A点到C点的线段AC的长度就是所求的最短距离. 答案： . 回顾·热身·展望 11．（2010东北师大附中月考） 如图24-2-17①，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成如图24-2-17②所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系是（  ）   　A.R=2r  B.R=94r    C.R=3r    D.R=4r 图24-2-17 答案： D 12．（河北模拟） 如图24-4-18，已知圆锥的母线长OA=8，地面圆的半径r=2.若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是__________.（结果保留根式） 图24-4-18 提示：如右图，圆锥的侧面展开图是扇形，它的圆心角是，连接AB，则△AOB是等腰直角三角形，OA=OB=8，所以AB=. 答案： 13.(江苏南通模拟) 已知圆锥的母线与高的夹角为30°，母线长为4 cm，则它的侧面积为__________cm2（结果保留π）. 提示：S圆锥侧=×2×π××4×4=8π. 答案：8π 14.(四川内江课改区模拟) 如图24-1-19，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6ｍ的正三角形ABC，母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是____________ｍ.（结果不取近似数） 图24-4-19 提示：小猫经过的最短路程是圆锥侧面展开图中的PB（如图）. 则扇形的圆心角为=180°.因为P在AC的中点上， 所以∠PAB=90°.在Rt△PAB中，PA=3，AB=6， 则PB=. 答案：