椭圆参数方程

椭圆参数方程 椭圆的参数方程 教学目的 1.建立椭圆的参数方程 2.正确理解离心角的意义 3.正确运用离心角解题 教学重点 椭圆的参数方程及其应用 教学难点 正确理解椭圆离心角的几何意义 辅教工具 自制、多媒体计算机、投影仪、大屏幕 教学过程 一、椭圆参数方程的构建 问题:以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B 是大圆半径与小圆的交点，过点A作AN?x轴于点N，再过点B作BM?AN于点M。求当半径 OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。 首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时运用《几何画板》制作出合符题意的图形。 其次，引导学生选择恰当的参数，构建椭圆的参数方程。 ?提问学生选取什么作为参数, ?再问学生选择该参数的理由; (因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择?xOA为参数) ?构建椭圆的参数方程: 如图，设?xOA,θ，点M的坐标为(x,y)。 则x,ON,|OA|cosθ,acosθ， y,NM,|OB|sinθ,bsinθ。 x,acos,即 (θ为参数)。 ,y,bsin, 这就是点M轨迹的参数方程。 最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线,为什么,并引出离心角的概念。 ?直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆; ?利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆; 二、正确理解椭圆离心角θ的几何意义 1.给出离心角与旋转角的概念 如图，我们称?xOA为椭圆的离心角，而把?xOM叫做椭圆的旋转角。 2.初步认识椭圆的离心角θ ?由图可知?xOA??xOM; ?提问:?xOA与?xOM有相等的可能吗,一共有多少次, (缓慢拖动点A，引导学生进行观察) 3.通过下面的练习加深对离心角的认识 22yx练习:已知椭圆,1，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且?xOM,60?。，94 求点M的坐标。 ?首先让学生自行解答，期望得到以下不同的解题方法与过程。 (错)解:由已知可得a,3，b,2，θ,60?。 3?x,acosθ,3cos60?,，y,bsinθ,2sin60?,。32 3(,3)从而，点M的坐标为。 2 (正)解:设点M的坐标为(x,y)，则由已知可得y,3x。 22y66x3193与,1联立，解得x,，y,。 ，313194 663193所以点M的坐标为(,)。 3131 另解:??xOM=60?，?可设点M的坐标为(|OM|cos60?，|OM|sin60?)。 代入椭圆方程解出|OM，进而得到点M的坐标(略)。 ?提问:上面的解题方法哪些是正确的,哪些又是错误的,为什么, ?提问:如何示椭圆在第一象限的弧, ,(将椭圆参数方程中θ的取值范围限定为(0，)即可) 2 三、正确利用椭圆的离心角解题 1.巩固练习 22yx四边形ABCD内接于椭圆,1，其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限，916 与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。 2.本课小结 x,acos,?椭圆的参数方程: (θ为参数)。,y,bsin, ?参数θ是椭圆的离心角，它不同于椭圆的旋转角。