球的体积教案
——MM教育方式的实践研讨
数学科组 黄慧
教学目标:1、掌握球体的体积公式及其推导线索,并能初步掌握其应用;
2、通过球的体积公式的探求,提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力,
培养学生类比、归纳、猜想等合情推理方法及勇于探索的精神。 教学重点:球体积公式的探求
教学难点:几何体模型的构造
教学过程:
一、创设问题情景
有一种空心钢球,重142克,测得外径等于5.0厘米,求它的内径。(钢的比重是7.9g/cm3)
二、新课讲授
1、复习
(1)祖暅原理
(2)柱体、锥体体积公式的探索思路
(3)球的表面积公式的推导方法
2、球的体积
(1)提出问题:如果已知球的半径是R,能否用我们现有的数学知识、方法“制造”一个
球体积公式出来呢?
(2)分组讨论,设计方案
(3)
方案
(4)方案验证
途径一:“化整为零,无限逼近”——由球的表面积公式的推导类比联想到球的体积。 途径二:祖暅原理,构造新的几何体
?研究半球,先把它截面朝下,扣在平面上,那么应该选择怎样的几何体作为辅助体(参照
体)呢?
?新构造的几何体要满足哪些条件?
?球的截面是一个常量吗?设截面高度为x,写出它的表达式。(S=
22,,R—x) ?由这个表达式联想到了什么?
(圆环的面积,圆环的外半径是固定的,等于球半径,内半径是一个变化的量,正好等于截
2面高度,这是一个什么样的几何体的截面,好象弄不清楚。再分开想一想,,R是一个圆柱
222的截面,,,,x是个倒立圆锥的截面,(R—x)就是一个圆柱挖去一个倒立圆锥所形成
的几何体的截面,画一个图一目了然。)
?总结半球的体积公式:V=V=V—V 半球挖柱圆柱圆锥
?指出球的体积公式中字母的几何意义
?用公式解决开始提出的问题,求空心球的内径。
三、巩固练习
1、如果球的半径扩大3倍,那么它的体积扩大多少倍?直径扩大3倍,体积扩大多少倍? 2、如果球的直径为d,那么它的体积是多少?
3、三个球的半径比是1?2?3,
(1)求证:其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和。 (2)求这三个球的体积之比。
四、小结(请学生自行小结,师生共同补充完善) 1、知识方面:通过本节课的学习,我们利用“化整为零,无限逼近”以及祖暅原理,构造
新的几何体获得者了球的体积公式 ,并初步体会了它的应用。 2、思维能力方面:又一次体会到联想、类比、猜测、
等合情推理及逻辑推理的方法在
探索新知识方面的重要作用。
五、教学后记 BCD挖去四棱锥 1111六、阅读、思考题: A—ABCD。 1111如图(a)所示的几何体为以棱长为R的正方体ABCD—A(1)求平行于底面与A的距离为h的平面EM,截此几何体所得截面的面积;
(2)求此几何体的体积 ;
1(3)图(b)所示几何体为半径等于R的球的。过半径OD,与O的距离为h处作平行于18
底面的平面,求所得截面的面积;
(4)根据上述(1)、(2)、(3)及祖暅原理求球的体积。
(a) (b)
七、简附“MM教育方式”
数学方法论的教育方式(又称MM教育方式),是无锡市教科所徐沥泉先生于1989年
秋开始并先后在66个教学班进行实验之后,首先提出的。1996年始在北京全面推广。
MM教育方式,就是“教师遵循数学方法论的基本原理,遵循学生身心发展和学习的规
律,促使教学、学习和数学发现过程同步”,即“教学、学习、研究三者同步协调”的一种
教育方式。
MM教育方式在数学教学中要充分发挥数学教育的两个功能——数学的科学技术功能
和文化教育功能;贯彻两条原则——教学、学习、发现同步协调原则和既教猜想又教证明原
则;瞄准三个具体目标——引导学生不断自我增进一般科学素养,提高他们的社会文化修养,
形成和发展数学品质;自觉、恰当地操作八个变量——数学的返璞归真教育、数学教学中的
美育、数学发现法教育、数学家优秀品质教育、数学史志教育和数学中合情推理、逻辑推理
与一般解题方法的教学。
MM实验课的教学,并不是每一节课都贯彻执行以上所有内容,而是体现其精神,在几
个方面能自觉应用。
八、课堂设计
图
开始
创设问题情景(例1)
复习
祖暅原理 柱、锥体积公式探索思路 球表面积公式推导方法
提出问题
分组讨论
小结方案
方案验证
问题解决
形成性练习
全课小结
思考题
作业布置
结 束