用等效法分析实验“测电源电动势和内阻”测量误差

用等效法分析实验“测电源电动势和内阻”测量误差 用等效法分析实验“测电源电动势和内阻”测量误差 罗平一中 徐勇 关键词:等效法 测电动势和内阻 测量误差 合理性证明 摘 要: “等效”是物理学中的重要的学习和研究方法，恰当的应用往往能化难为易，化繁为简。例如变力做功可等效为恒力做功，非匀强电场等效为匀强电场等。实验误差分析是中学生物理学习中的难点，尤其像在“测电动势和内阻”这样的实验中，电路复杂多变，涉及误差分析时学生往往束手无策，而一般分析方法复杂而又难记难理解。为解决学生困扰，笔者认为可借用“等效”法来快速、准确分析“测电源电动势和内电阻”实验中电动势和内阻的测量误差。在本文中笔者先给出不同实验方式中等效的方法和结果，再加以证明，希望有益于师生教、学。 一、 电流相对电源外接法测电源电动势和内阻的等效误差分析 如图1所示的电路为“电流表相对电源外接”。这是实验中最常用的方法。 实验误差分析方法: E用此法测电源电动势和内阻时，设电动势真实值为，测量值为，内阻E测真 rr的真实值为，测量值为，则可将R等效这电源内阻的一部分，图中虚线框V测真 内为等效电源，进一步简化得到等效电路图，则此时等效电源的电动势为测量值 rE，等效电源的内阻为。 测测 A A V 等效后 Er测 测Er真真 图1 等效电路 E“等效电路”可知，当外电路断开时，即为电压表两端电压，即由图1测 rEU,。由图可知，电压表内阻R与串联，由电流相等有: V真V测 EEREV真真测, ; ? E, ; 测RR，,R，,VVV真真 第 1 页 共 8 页 E,E?，即电动势测量值小于真实值。 测真 rr仍由图1可知，电源内阻的测量值等效于电压表内阻R与电源内阻并V真测 联的总电阻，所以有: rRV真r,,; 可见，，即测量值比真实值偏小。 r,测真测R，,V真 在“电流表相对电源外接”中，短路电流的测量值和真实值相等。即 I,I。 短测短真 “等效法”的可靠性证明如下: 设电压表两次测量的读数依次为U、U，电流表示数依次为I、I，在不考1212 虑电压表内阻的情况下，电动势和内阻均为测量值。由图1有: U,E,Ir„„„„„„„„„„„„„„„„„? 11测测 U,E,Ir „„„„„„„„„„„„„„„„ ? 22测测 联立??得: U,U2,r,„„„„„„„„„„„„„„„„„ ? 测I,I,, IU,IU,,,2E,„„„„„„„„„„„„„„„ ? 测I,I,, 考虑电压表内阻时，电动势和内阻对应真实值。由图1有: „„„„„„„„„„„„„„? U,E,(I，I)r11V真真 , „„„„„„„„„„„„„ ? U,E,(I，I)r,,V真真 UU,,,,,II其中， „„„„„„„„„„„„„ ? VVRRVV E联立???消去得: 真 UU,,,r,U,U，分子分母同除得: 2,真UU,,,II(,),,,RV U,U,2,r,r,，考虑到 测真I,I,I,I,,,,,U,UR,,V 第 2 页 共 8 页 ,,r,,? 真I,I,,,,,,,,RU,URV测,,V ,R,,1V真移项整理得:,或写成:。,，,, ，测,，Rr,RVV真测真 即:电流表相对电源外接测得电源内阻等于电压表内阻与电源真实内阻的并联电阻。 r再联立???消去得: 真 (UI,UI)R,,,,VE,，分子分母同除(I,I)得: ,,真(I,I)R，(U,U),,V,, UI,UI,,,,RVI,I2,E,， 真(U,U),,R，VI,I,, U,UU,,IU,IUIU,IU,,,,,,,,2212E,,r,,,考虑到，，代入上测测I,II,II,II,I,,,,,,,,式有: ,RREVV真测，又? ,,E,，测真,，RR,,VV真测 ERV真?化简可得:E, 。 测,，RV真 即:电流表相对电源外接测得电源电动势值等于电压表两端电压，因此小于电动势真实值。 二、电流表相对电源内接测电源电动势和内阻 如图2所示的连接方式称为“电流表相对电源内接”。 V 等效后 V Er测 测 ,E真真 图2 A 等效电路 图3 图3 第 3 页 共 8 页 实验误差分析方法: 电流表相对电源内接时，测量中没有考虑其内阻的影响，实为将电流表等效 为电源内阻，故有: rR,,，,,A测真真 即:电流表内接时，内阻的测量值大于真实值。 当外电路断开时，电流表等效为导线，此时电动势测量值等于真实值。即: EE, 测真 此方法的可靠性证明如下: UIUI设任两次测量电压表和电流表示数分别为、和、，所测电动势和1122 rErR内阻分别为、，真实值为、，由图2，不考虑电流表内阻时，根EA测测真真 据闭合电路欧姆定律有: EUI,，, „„„„„„„„„„„„? ,,测测 EUI,，,„„„„„„„„„„„„ ? ,,测测 由??两式解得: UU,UIUI,,,,,,,,,E,; 测测II,II,,,21 R考虑电流表内阻时，根据闭合电路欧姆定律有: A „„„„„„„„„ ? EUIR,，(,，),,A真真 „„„„„„„„„ ? EUIR,，(,，),,A真真 ??两式联立得: UU,UU,,,,,R，,,,,，又 A测真II,II,,,,, ? ,,R，,A测真 即:内阻测量值等于真实值与电流表内阻之和。 r又由??两式消得: 真 UIUI,UIUI,,,,,,,,,E,E,，由前可知: 测真II,II,2121 EE,? 测真 第 4 页 共 8 页 即:电流表内接法测得的电源电动势测量值等于真实值。 三、用电流表和可变电阻测电源电动势和内阻。 实验误差分析方法: 如图3所示，在不使用电压表的情况下，可利用可变电阻R，和一块电流表 测量电源电动势和内阻。 R R 等效后 A Er E 真真r 测测 图3 等效电源 RIRI当改变R的阻值为、时，电流表中的电流为、，由于不考虑电流1212RR表内阻，可将等效为电源内阻。因此内阻测量值为: AA rR,,，,, A测真真 即:此法测出的电源内阻大于真实值( 而当外电路断开时，端电压等于电源电动势，电流表等效为导线，故测得的 E端电压等于电源电动势的测量值，也就等于真实的电动势，即: E测真EE, 测真 证明如下: IR设电阻为时电流为，则: 11 EI,(R，,)„„„„„„„„ ? ,,测测 RI当可变电阻为时电流为: 22 EI,(R，,)„„„„„„„„„? ,,测测 由??两式有: IRIR,,,,,r,;„„„„„„„„„? 测II,,, IIRR(,),,,,E,„„„„„„„„„ ? 测II,,, RIRI考虑电流表内阻，当可变电阻分别为、，电流、时，由图3知: 1212 第 5 页 共 8 页 „„„„„„„„„„„„„„„„„ ? EI,(R，,+R),,A真真 EI,(R，,+R)„„„„„„„„„„„„„„„„„„? 22A真真 由??消得: E真 (,)(,)(,)IRIRIIRIRIR,,,,,,A,,,,rR,，,,„„„„„„? A真IIIIII,,,,,,,,, 将?代入?式得: ,,,-RA测真 ? ,,,+RA测真 即:用电流表和可变电阻测得的电源内阻等效于真实电阻现电流表内阻串 联的总电阻。这个阻值显然大于真实值。 ,又由??消得到电动势的真实值表达式: 真 IIRR(,),,,,E,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„? 真II,,, EE,? 由??式可知，，即用电流表和可变电阻测得电源电动势的值等测真 于真实值。 四、用电压表和可变电阻测电源电动势和内阻。 实验误差分析方法: 如图4所示，只用一块电压表和一个可变电阻R测量电源电动势和内阻，当 RURU改变R的阻值为、时，电压表示数为、，由于实验中不考虑电压表内1212 rRRR阻对结果的影响，可将等效为电源内阻。因此内阻测量值为与的并VVV真联电阻，即: ,RV真。