微分中值定理(怎样构造辅助函数)

微分中值定理中用积分因子(微分方程)来构造辅助函数的方法 相信同学们在微分中值定理这一块不是很懂，特别是构造辅助函数这一部分相当困难。本人今天有幸在书上看到一个方法叫做用积分因子(微分方程)来构造函数的方法，个人感觉这方法特别有用。于是我百度找到了下面内容： 先看这一题，已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证在（a，b）中存在ε使f’(ε)=f(ε) 证明过程： f’(ε)=f(ε), 所以f’(x)=f(x), 让f(x)=y, 所以 ,即 ，所以对两边简单积分，即 ，所以解出来（真的是不定积分的话后面还要加个常数C，但这只是我的经验方法，所以不加）就是 ，也就是 ，这里就到了最关键的一步，要使等式一边为1！，所以把 除下来，就是 ，所以左边就是构造函数，也就是 ，而y就是f(x)，所以构造函数就是 ，你用罗尔定理带进去看是不是。再给大家举几个例子。 二、已知f(x)连续，且f(a)=f(b)=0,求证： 在（a，b）中存在ε使f’(ε)+2εf(ε)=0 证：一样的， ，把x,y移到两边，就是 ，所以积分出来就是 ，注意y一定要单独出来，不能带ln，所以就是 ，移出1就是 所以构造函数就是 ，再用罗尔定理就出来了。 三、已知f(x)连续，且f(a)=f(-a),求证在（-a，a）中存在ε使f’(ε) ε+2f(ε)=0. 证： ，移项就是 ，所以 ，所以就是 ，移项就是 ，所以构造的函数就是 ，再用罗尔定理就可以了。 注：这种方法不是万能的， 结合下面例题尝试做下。 微分中值定理的证明题 1. 若 在 上连续，在 上可导， ，证明： ， 使得： 。 证：构造函数 ，则 在 上连续，在 内可导， 且 ，由罗尔中值定理知： ，使 即： ，而 ，故 。 经典题型二： 思路： 实战分析： 设 ，证明： ，使得 。 证：将上等式变形得： 作辅助函数 ，则 在 上连续，在 内可导， 由拉格朗日定理得： ， 即       ， 即：     。 经典题型三 设 在 内有二阶导数，且 ，有 证明：在 内至少存在一点 ，使得： 。 证：显然 在 上连续，在 内可导，又 ，故由罗尔定理知： ，使得 又 ，故 ，    于是 在 上满足罗尔定理条件，故存在 ， 使得： ，而 ，即证