正弦线、余弦线、正切线教授教化设计[整理版]

正弦线、余弦线、正切线教授教化设计[整理版] 正弦线、余弦线、正切线教学设计 (高二年级数学集体备课) 教学:人教版，高中数学必修4p,1.2.1任意角的三15-17 角函数--正弦线、余弦线、正切线 一、教学目标 (一)知识目标 1、有向线段的概念。 2、正弦线、余弦线、正切线的概念。 3、用正弦线、余弦线、正切线示任意角的三角函数值。 (二)能力目标 1.理解并掌握有向线段的概念。 2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用正弦线、余弦线、正切线表示出来。 三)德育目标 ( 通过三角函数值的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间. 二、教学重点、难点 重点:正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 难点:正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值 三、教学 学生已经学过学习任意角的三角函数, 本节利用单位圆上的线段定义三角函数的正弦线、余弦线、正切线。三角函数的正弦线、余弦线、正切线在研究三角函数中的数形结合思想中起着非常重要的作用。 利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来。所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质。激发学生对三角函数研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。 教学过程: 一、复习 师:角α的正弦、余弦、正切在各象限的函数值符号分别如何, 生:可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。 一全正，二正弦，三正切，四余弦 二、新课推进 1、引入:前面我们研究了三角函数值在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0º到360º角的三角函数值的一组公式， 我们知道角是一个图形概念，表示角的大小是一个数量概念(弧度数)。作为角的函数——三角函数值是一个数量概念(比值)，能否用几何方式来表示三角函数值呢, 由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数值我们都是用比值(数)来表示的，代数表示法。今天我们再来学习角α的正弦、余弦、正切函数值的另一种表示方法——几何表示法 知识探究(一):有向线段 2、有向线段(板书) 师:顾名思义，有方向的线段(即规定了起点与终点的线段)叫做有向线段， 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。 那么如何建立有向线段与数的对应关系呢,这需要借助坐标轴。平行于坐标轴的线段可以规定两种方向。 如图2，线段AB可以规定从点A(起点)到点B(终点)的方向，或从点B(起点)到点A(终点)的方向。 当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的;当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的。 如图中AB=3(长度单位)(A为起点，B为终点)，BA=-3(长度单位)(B为起点，A为终点)，类似地有CD=-4(长度单位)，DC=4(长度单位)。 知识探究(二):角α的正弦线、余弦线 (板书) 3、正弦线和余弦线 师问题:我们学过任意角的三角函数，在平面直角坐标系下，利用单位圆对角α的正弦、余弦、正切是如何定义的, 生:如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),r=op=1。那么: (1) yy,sin,,,y,MPr1， yyxxy叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; ,sin,,,y,MPcos,,,,x,OMr1r1(2)xxcos,,,,x,OMr1 x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; yyy (3),tan,,叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x?0)。xxx (同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。) 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。 可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。 由此看出，角α与单位圆的交点P(x，y)的纵坐标恰是角α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数。 :能不能找一条有向线段表示sinα, 思考1 生:找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为,y,。(同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。) 师:理论上很对，到底选择哪条线段呢,我们不妨分象限来看看。 如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P(x，y)，则 sinα=y ，cosα=x 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗, ||sinMPy,,, ||cosOMx,,, y ,tan,AT=,x?0. x (图3中的线段随教学过程逐渐添加。)其余三个象限角分别进行。 生:如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段。因为α 的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα。 师:第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢,注意此时sinα是负值。 生:这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是,y,=-y。所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=-y。 师:归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于,y,。所以有MP=y=sinα。同样方式得余弦线。 称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。正弦线是角α的正弦值的几何形式。余弦线是角α的余弦值的几何形式。 (1)正弦线——有向线段MP (2)余弦线——有向线段OM 师:对轴上角这个结论还成立吗, (学生经过思考，答案肯定。) 图3 (图3中的线段随教学过程逐渐添加。)其余三个象限角分别进行。 生:如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段。因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα。 师:第一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第三、四象限呢,注意此时sinα是负值。 生:这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是,y,=-y。所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=-y。 师:归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长 度等于,y,。所以有MP=y=sinα。同样方式得余弦线。 称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。正弦线是角α的正弦值的几何形式。余弦线是角α的余弦值的几何形式。 (1)正弦线——有向线段MP (2)余弦线——有向线段OM 师:对轴上角这个结论还成立吗, (学生经过思考，答案肯定。) 知识探究(三):角α的正切线 (3)正切线——有向线段AT 师:那么哪条有向线段叫正切线呢,不妨先找某一个象限角的正切线。 生:设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线。(同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。) 师:的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分。注意正切值不是每个角都有。 师:刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线、余弦线、正切线，轴上角有正弦线、余弦线、正切线吗, 生:当角α终边在x轴上时，P和M重合, 正弦线退缩成了一个点，正弦值 T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0;当角α终边在y轴上为0; 时， M和O重合, 余弦线退缩成了一个点，余弦值为0;α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在。 我们把角α与单位圆有关的三条正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。 归纳: 师:现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法。其步骤是: (1)作直角坐标系和角的终边，并在单位圆中找出角α的终边，设α的终边与单位圆的交点为P(x，y)。 (2)过P点作PM?x轴，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，OM叫做角α的余弦线。 (3)设单位圆与x轴正半轴的交点为A，过A(1，0)点作x轴的垂线AT，使AT与α的终边或其反向延长线交于T点，那么有向线段AT叫做角α的正切线。 利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题，如准确求得角α的各个三角函数值，求三角函数的定义域、值域，准确画出各三角函数的图象等。 3、三角函数线的应用(观看) 例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: ,,54,(1) (2) 65 练习:课本第17页:第2题的(1)、(3)题。 三、小结及作业 三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的 体现(我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问 题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确。 作业:1、课本第17页:第2题的(4)题。第3题。