数学建模之贷款问题

数学建模之贷款问题 之 姓名1: 张昌会 学号: 201105514 姓名2: 郭娟丽 学号: 201105534 学号: 201105547 姓名3: 武申金 专 业:统计学 班 级:统计学1101班 2013年 11 月 25 日 题目:贷款问题 组员1: 姓名 张昌会 学号 201105514 班级 统计1101班 组员2: 姓名 郭娟丽 学号 201105534 班级 统计1101班 组员3: 姓名 武申金 学号 201105547 班级 统计1101班 摘 要 随着我国改革开放的发展和人民生活水平的提高，人们越来越不满足于只是吃饱、 穿暖， 而是向更高的目标迈进，房子、车子，自然成了人们渴求的目标。 俗话说: “安居才能乐业”，摆在人们面前的问题也就浮于水面。同时，从某种意义上来说，人类文明的进程就是建筑和城市化的过程，人类对居所的投资，直接为社会劳动生产力的延续与发展创造了物质载体。特别是国家的宏观调控激活了房地产市场和汽车消费市场，扩大了内需。社会传统的房屋卖买方式受到较大冲击而日趋缩萎， 取而代之的银行按揭贷款买房买车成为新的购房趋势,并日渐盛行。 本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的分析，比较并分析等额本息和等额本金两种贷款方式，一是等额本息贷款, 计算原则是银行从每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金;二是等额本金贷款, 计算原则是每月归还的本金额始终不变，利息随剩余本金的减少而减少。推导出月均还款及累计利息总额的公式，建立数学模型。其次根据给出的银行利率，利用vc++软件和已求出的公式，计算出月均还款额和所花费的利息总额，制成图表并借以分析贷款的期限与月还款之间的关系。 最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。这些天来我们对贷款买房的研究，使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的 使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，未来发展一定有很大的帮助。 关键词:贷款，利率，月均还款额，累计利息总额，等额本息，等额本金 一、 问题的提出 随着国家住房商品化及家用轿车商业化政策的推行，于是银行提供了购房贷款项目及轿车贷款项目，帮助很多人解决了购房款和购车款的问题。人民群众住房条件改善的同时也带来了不小的问题，极少数居民有能力一次性付清房款，我国现行主流的两种购房贷款还款方式:等额本息和等额本金。 现通过数学模型完成以下任务: 1、 分别给出等额本金还款法和等额本息还款法的月供金额的计算。 2、 通过具体的数据计算每种贷款方法月供金额和月支付利息。 3、 分别计算两种方法在贷款期限内的总还款额和总支付利息。 4、 由计算数据分析两种方法的还款特点及规律，并分析适用的人群。 二、 模型的假设 1、 银行在贷款期利率不变 2、 在这段期间内不考虑经济波动的影响 3、 银行利息按复利计算 4、 客户在还款期内还款能力不变 三、 模型的参数及说明 、 A:表示贷款总额(本金); 1 2、 :表示第i个月还款本金; Bi 3、 ?:表示月利率; 4、 m:表示总期数(还款月数); 5、 :表示第i个月的还款额; Xi 6、 X:表示等额本息还款法的月供金额 i7、 :表示第个月还款前所剩贷款额; Qi 8、 L:表示总还款金额; 9、 S:表示总支付利息; 10、:表示第i个月支付的利息; si 11、:表示年利率; R 四、 模型的分析 银行贷款还款的利息方式计算方法有等额本息还款法和等额本金还款法。 在本例中，贷款总额A为300000 元，年利率R为6%，即0.06，则月利率r=年利率/12=0.5%，即0.005，贷款期数m为120 个月，即10年。 (一)等额本金还款方式 等额本金，即每个月偿还的本金是固定的。等额本金还款方式，即借款人除了每个月偿还的固定本金之外，每个月还要支付月初剩余本金在本月的利息。 每月还款额 = (贷款本金 / 还款月数)+(本金 — 已归还本金累计额)×每月利率 ii第个月月支付利息=第个月后所剩余的贷款额×月利率 用数学公式直观的表示如下: A第i月还款时需还款的本金为:, i=1,2,3„„,m Bim 第1个月应还利息: A, AA,,第2个月应还利息: A,,A,,,,,,mm,, 2A2A,,第3个月应还利息: A,,A,,,,,,mm,,… … … (i,1)A(i,1)A,,第i个月应还利息: A,,A,,,,,,mm,, … … A,第m个月应还利息: m (i,1)AAA,，,,所以，第i个月的月款金额= Ximm 由上面的推导知，这m个月的利息逐月递减，呈等差数列。 ,n，n(n,1)d/2附:因为首相为，公差为d的等差数列，前n项和为 aSa1n1 A,则首项为，公差为-，这m个月的总支付利息 A,m AmA，mm,,*,(1)(,)/2S= m = A,(m,(m,1)/2) =A,(m，1)/2 (二)等额本息还款方式 等额，即每个月的月供金额是固定的，本息=本金总额+利息总额。等额本息还款方式，即把贷款的本金总额和利息总额加起来，然后均分到每个月。 每月的还款金额=(本金总额+利息总额)/m 各个月所欠银行的贷款: 第1个月: A，A,,X,A(1，,),X 第2个月:= [A(1，,),X]，[A(1，,),X],,X[A(1，,),X](1，,),X , = A2,X[1，(1，,)](1，,) ,,第3个月: {A2,X[1，(1，,)]}，{A2,X[1，(1，,)]},,X(1，,)(1，,) , = {A2,X[1，(1，,)]}(1，,),X(1，,) ,, = A3,X[1，(1，,)，2](1，,)(1，,) … …n (1,)qa1[附:等比数列求和 首项为，公比为q，则前n项和为 ] ,San11,q ,,,第m个月: Am,X[1，(1，,)，2，....，(m,1)](1，,)(1，,)(1，,) ,,1*(1)m,(1，,) =,[]AmX(1，),,，,1(1) ,, = Am,X[(m,1)/,](1，,)(1，,) 因为第m个月欠款已全部换完，即为0。 ,,则 =0 Am,X[(m,1)/,](1，,)(1，,) ,Am,,(1，)所以每个月的月供金额为 X= ,m,1(1，,) A累计利息，即m个月的总支付利息为 S=(X-)*m m ,第i个月所还本金为: ,(i,1,m)X(1，,)Bi ,第i个月所还利息为: ,(1,(i,1,m))X(1，,)Si 五、 模型的建立及解 我们建立了一个关于等额本金与等额本息的贷款问题模型如下: 模型一: 00000 元，年利率R为0.06，月利在满足模型假设的情况下，贷款金额为3 率?为0.005，贷款期数m为120 个月。 (一)等额本金还款法 A第i月还款时需还款的本金为: i=1,2,3„„,m ,Bim (i,1)A(i,1)A,,第i个月应还利息: A,,A,,,,,,mm,, (i,1)AA第i个月的月款金额=A, ，,,Ximm 总支付利息S= A,(m，1)/2 计算得到如下表格: 第i个月 所还本金(元) 月供金额所还利息BXiisi (元) (元) 1 2500 1500 4000 2 2500 1487.5 3987.5 3 2500 1475 3975 4 2500 1462.5 2962.5 ………… ………… 118 2500 37.5 2537.5 119 2500 25 2525 120 2500 12.5 2512.5 求和 300000 90750 390750 由上表画出的多线线图如下: 由上述统计数据表及统计图可得到等额本金还款法有以下特点: 等额本金还款，月供金额逐月递减。月支付利息也是逐月递减的，因此，等 额本金还款法在贷款初期月还款额大，此后逐月递减。 (二)等额本息还款法 ,第i个月所还本金为: ,(i,1,m)X(1，,)Bi ,第i个月所还利息为: ,(1,(i,1,m))X(1，,)Si ,Am,,(1，)每个月的月供金额为 X= ,m,1(1，,) A总支付利息为 S=(X-)*m m 计算得到如下表格: 第i个月 所还本金(元) 月供金额(元) 所还利息(元) BXiisi 1 1830.61 1500.00 3330.61 2 1839.77 1490.84 3330.61 3 1848.96 1481.65 3330.61 4 1858.21 1472.40 3330.61 ………… ………… 118 3281.15 49.46 3330.61 119 3297.55 33.06 3330.61 120 3314.04 16.57 3330.61 求和 300000 99673.8 399673.8 由上表画出的多线线图如下: 由上述统计数据表及统计图可得到等额本息还款法有以下特点: 等额本息还款，月供金额固定。月支付利息逐月递减，月支付本金逐月递增，因此，等额本息还款法每月还款额中的本金比重逐月递增，利息比重逐月递减。 比较等额本金还款法和等额本息还款法，得出如下结论: 等额本金还款法相对等额本息而言，总的利息支出较低，但是前期支付的本金和利息较多，还款负担逐月递减。这种方式很适合目前收入较高，但是已经预计到将来收入会减少的人群。实际上，很多中年以上的人群，经过一断时间事业打拼，有一定的经济基础，考虑到年纪渐长，收入可能随着退休等其他因素减少，就可以选择这种方式进行还款。 等额本息贷款法相对于等额本金还款法的劣势在于支出利息较多，还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。但该方法每月的还款额固定，可以有地控制家庭收入的支出，也便于每个家庭根据自己的收入情况，确定还贷能力。该方法比较适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士，一般为青年人，特别是刚开始工作的年轻人也适合选用这种方法，以避免初期太大的供款压力。 模型二: 由于模型一是建立在一个没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，例如在假设还款能力和不考虑经济波动这些方面的理想情况，所以由模型一得出的结果可能会与实际情况有一定出入。 由此我们在考虑还款人在还款期间能够将所剩金额一次还清其他假设均不变的情况下建立了模型二如下: (一)等额本金还款法 假设贷款人在第i个月将所剩金额一次还清，则第i个月所还金额为: AiAmiA(,1)(,)A,,,，,， Ximmm 则全部还完后总的还款金额为: Ai(i,1)AL,A，iA，ii,,,A，iA,,(1)(,)/2,, m2m (二)等额本息贷款法: 假设贷款人在第i个月将所剩金额一次还清，则第i个月应还款金额为: ,,,,,,,Xi,[Am]/[m,1]，Ai,{[Am]/[m,1]},,,,,(1，)(1，)(1，)(1，)(1，) ,,[1，(1，,)，2，...，(i,1)](1，,)(1，,) ,,,,,,,[Am]/[m,1]，Ai,{[Am],,,,(1，)(1，)(1，)(1，) ,,/[m,1]}[(i,1)/,](1，,)(1，,) ,, ,X，Ai,X[(i,1)/,] (1，,)(1，,) 则全部还完后总的还款金额为: ,, L,iX，Ai,X[(i,1)/,](1，,)(1，,) 提前还款一次性付清的等额本金和等额本息对比曲线如下: 由上图可发现，对于可以在未来的某个月一次性付清的人群来说，可以选择等额本金还款法，因为两种还款方式最初性差不大，但是越往后，等额本金的优势就越明显。 六、 模型的合理性讨论 建模时我们人为忽略还贷人可能出现的导致还贷不能进行的特殊情况，例如市场经济的变动，个人收入水平的波动，全球范围的金融危机，利率调整及经济波动等干扰事件都有可能导致还款人对自己的还款计划作出调整。在出现这些情况时，模型可能不再适用。但是在还款人收入稳定，全球经济形势没有大的波动，或者国家银行的货币政策没有改革的前提下，本模型明确的建立了还贷时间与还贷金额之间的关系，能够较准确反映每种还贷方式的特点，在忽略特殊情况的时候，模型可以用于解释，说明各还贷方式在实际情况中的运作过程。同时本模型直观的反映出了等额本息和等额本金两种还款方式的利弊，可以供不同收入人群参考，在我国大的经济市场背景和国家的宏观调控下，我国的贷款政策或银行利率近期不会变化，因此此种模型符合我国的贷款政策。 七、 模型的改进方向 虽然等额本金还款法比等额本息还款法要还更少的钱，但开头的几期或几十 期的负担相对的会很重。而等额本息还款法是每月还银行相等的金额,客户的负担没那么大,所以,银行一般都推荐等额本金还款法等额本金还款，适合目前收入较高的人群。 借款人在开始还贷时，等额本金还款每月负担比等额本息要重。随着时间推移，还款负担便会逐渐减轻。这种还款方式相对同样期限的等额本息法，总的利息支出较低。 等额本息还款法的特点是每个月归还一样的本息和，容易作出预算。还款初期利息占每月供款的大部分，随本金逐渐返还供款中本金比重增加。 等额本息还款法更适用于现期收入少，预期收入将稳定或增加的借款人，或预算清晰的人士和收入稳定的人士。 固定利率贷款就是在贷款签订时即设定好固定的利率，在贷款合同期内，不论市场利率如何变动，借款人都按照固定的利率支付利息，不需要“随行就市”。 等额递增(减)还款方式，是指投资者在人住房商业贷款业务时，与银行商定还款递增或递减的间隔期和额度。在初始时期，按固定额度还款，此后每月根据间隔期和相应递增或递减额度进行还款的操作。其中，间隔期最少为1个月。它把还款年限进行了细化分割，每个分割单位中，还款方式等同于等额本息，灵活性强。区别在于，每个时间分割单位的还款数额可能是等额增加或者等额递减。 还可以有递增法，气球贷等等，核心都是根据贷款人经济实力制定不同时期的本金和利息的还款额，理论上占用时间越少越省钱。 模型的优点: (1)采用的数学模型有成熟的理论基础，可信度较高; (2)本文建立的模型有相应的软件支持，推广容易; (3)本文建立的模型与实际紧密联系，考虑现实情况的多样性，从而使模型更贴近实际，实用性也更高; (4)本文用数学工具，对模型严密求解，具有较强的科学性; (5)为了更贴近实际，在静态模型的的基础上，考虑未来现金折现对模型进行改进，加以验证; (6)借助图表，比较形象直观，从多方面对结果进行分析与验证。 模型缺点: (1)模型复杂因素较多，不能对其进行全面考虑; (2)利率的精确度不同可能造成一定误差; (3)经济社会中随机因素较多，使模型不能将其准确反应出来。 模型的改进: (1)考虑通货膨胀等市场经济中的因素; (2)考虑国家政策、重大事件比如加息对人们还贷行为的影响; (3)对利率有更准确的计算方法; (4)考虑不同人群的消费观念和收入水平。 八、 模型的应用 本模型适于银行在贷款期利率不变 ，在这段期间内不考虑经济波动的影响，银行利息按复利计算 ，客户在还款期内还款能力不变的情况下等额本息和等额本金的贷款以及提前一次性还清的贷款问题。 参考文献 【1】 张广庆等 《C++程序基础》 中国社会出版社。 【2】 方道元，韦明俊，数学建模:方法导引与案例分析，浙江大学出版社。 【3】 周凯，宋军全，邬学军，数学建模竞赛入门与提高，浙江大学出版社。 【4】 吴礼斌 李柏年 《数学实验与建模》 国防工业出版社。 【5】 袁震东 《数学建模方法》 华东师范大学出版社 。 附件 1、等额本金还款法程序: #include #include using namespace std; int main() { int c; float a,b,d,e,f,sum=0; cout<<"请输入贷款金额(元):"; cin>>a; cout<<"请输入年利率:"; cin>>b; cout<<"请输入还款期限(年):"; cin>>c; d=a/(c*12); cout<<"等额本金还款法结果如下:"< #include using namespace std; int main() { int c; float a,b,f,g,e; cout<<"请输入贷款金额(元):"; cin>>a; cout<<"请输入年利率:"; cin>>b; cout<<"请输入还款期限(年):"; cin>>c; f=a*b/12*pow((1+b/12),c*12)/(pow((1+b/12),c*12)-1); e=f-a/(c*12); g=e*120; cout<<"等额本息还款法结果如下:"<